Diffgeo: Kurventheorie: Frenetsches Dreibein

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Das Frenetsche Dreibein

Kurve mit den drei Vektoren des Frenetschen Dreibeins

Voraussetzung

Die zweite Ableitung nach s ist nicht Null: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} s^{2}}}\neq {\vec {0}}$

Berechnung

Definition des Frenetschen Dreibeins
${\vec {v}}_{1}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} s}}={\vec {x}}'(s)$ Tangentenvektor ${\vec {v}}_{2}={\frac {{\vec {x}}''(s)}{\|{\vec {x}}''(s)\|}}$ Hauptnormalenvektor ${\vec {v}}_{3}={\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}$ Binormalenvektor

Des Weiteren wird durch ${\vec {v}}_{1}$ und ${\vec {v}}_{2}$ die Schmiegebene und durch ${\vec {v}}_{2}$ und ${\vec {v}}_{3}$ die Normalebene in jedem Kurvenpunkt, der die Voraussetzung erfüllt, aufgespannt. Sie steht senkrecht zur Kurvenbahn. Die Vektorkombination aus ${\vec {v}}_{1}$ und ${\vec {v}}_{3}$ spannt die Streckebene oder rektifizierende Ebene auf.

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