Diffgeo: Kurventheorie: Krümmung

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Krümmung von Kurven

Krümmung bei natürlicher Parameterdarstellung

Ist die Kurve in der natürlichen Parameterdarstellung gegeben, also durch die Bogenlänge parametrisiert, so kann eine weitere die Kurve charakterisierende Größe berechnet werden, die Krümmung.

Ausgehend von der zweiten Ableitung (wichtige Voraussetzung: $\|{\vec {x}}'\|\neq 0$) definieren wir den Krümmungsvektor ${\vec {x}}''$:

${\vec {x}}''(s)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} s^{2}}}{\vec {x}}$

Der Krümmungsvektor steht senkrecht auf dem Tangentenvektor der Kurve. Der Betrag des Krümmungsvektors wird als Krümmung $\kappa$ bezeichnet:

$\kappa (s)=\|{\vec {x}}''(s)\|$

Er ist Maß dafür, wie stark die Kurve von der Geraden abweicht. Die Kurvenkrümmung ist immer positiv, erlaubt also keine Aussage über die Richtung. Die Krümmungsrichtung muss am Krümmungsvektor abgelesen werden.

Eine weitere Größe ist der Kehrwert der Krümmung, er wird als Krümmungsradius bezeichnet. Es ist der Radius eines bestangepassten Schmiegkreises im mit s parametrisierten Kurvenpunkt bzw. Abschnitt. Der Mittelpunkt des Schmiegkreises liegt auf der durch den Punkt und den Krümmungsvektor definerten Gerade.

Krümmung bei Parameterisierung nach t

Wenn es zu unbequem ist, extra die natürliche Parameterdarstellung zu berechnen, kann $\kappa$ auch aus einer mit t parametrisierten Kurve berechnet werden.

$\kappa (t)={\frac {\left\|{\dot {x}}(t)\times {\ddot {x}}(t)\right\|}{\left\|{\dot {x}}(t)\right\|^{3}}}$

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