Beweisarchiv: Lineare Algebra: Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

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Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

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Jeder Vektorraum hat eine Basis

Voraussetzungen

Wir setzen ZFC voraus und verwenden das Auswahlaxiom in Form des Lemmas von Zorn. Weiter sei $V$ ein beliebiger Vektorraum.

Behauptung

$V$ besitzt eine Basis.

Beweis

Basen sind maximale, linear unabhängige Teilmengen eines Vektorraums, wir betrachten also die Menge

$U=\{X\subseteq V|X{\text{ ist linear unabhängig}}\}\subseteq P(V).$

Weil die leere Menge immer linear unabhängig ist, gilt $\varnothing \in U$ und $U$ ist nicht leer. Um das Lemma von Zorn anwenden zu können, muss eine Halbordnung auf $U$ definiert werden. Die Inklusion $\subseteq$ ist eine solche. Sei nun $B$ eine Kette in $U$. Zu zeigen ist, dass $U$ eine obere Schranke besitzt, also eine Menge, die alle Mengen von $B$ enthält. $B$ habe die Gestalt

$B=\{A_{i}|i\in I\},$

mit $I$ als beliebige Indexmenge. Weil wir eine Menge suchen, die alle Mengen von $B$ enthält, bilden wir die Vereinigung aller Mengen von $B$:

$S=\bigcup _{i\in I}A_{i}.$

$S$ enthält offensichtlich alle Mengen von $B$, bleibt zu zeigen, dass $S$ in $U$ liegt. Dazu nehmen wir an, $S$ liege nicht in $U$. Dann enthält $S$ $n$ Vektoren, die linear abhängig sind. Betrachten wir die Gleichung

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}=0,\quad \alpha _{i}\in K,v_{i}\in A_{i}.$

Weil $B$ eine Kette ist, gilt $A_{1}\subseteq A_{2}$ oder $A_{2}\subseteq A_{1}$, also $v_{1}\in A_{2}$ oder $v_{2}\in A_{1}$. Es gibt also eine linear unabhängige Menge ($A_{1}{\text{ oder }}A_{2}$), die $v_{1}{\text{ und }}v_{2}$ enthält. Fährt man so fort, so folgt, dass $B$ eine Menge enthalten muss, die alle $v_{i}$ enthält. Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit aller Mengen in $B$. Also ist $S\in U$. Nun ist das Lemma von Zorn anwendbar: $U$ besitzt also ein maximales Element, welches gerade die gesuchte Basis ist.