Aufgabensammlung Mathematik: Kompaktheit

Kompaktheit

Alle endlichen Mengen sind kompakt

Beweise, dass alle endlichen Mengen kompakt sind.

Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge $A$ eines kompakten Raums $X$ kompakt ist.

Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt

Beweise, dass jedes Bild $f(A)$ einer kompakten Menge $A$ unter einer stetigen Abbildung $f:X\rightarrow Y$ kompakt ist.

Die disjunkte Vereinigung kompakter Mengen ist nicht zusammenhängend

Sei $K$ und $L$ zwei disjunkte kompakte Mengen eines Hausdorff-Raums $X$. Beweise, dass $K\cup L$ nicht zusammenhängend ist, dass es also zwei disjunkte offene Mengen $U$ und $V$ mit $K\subseteq U$ und $L\subseteq V$ gibt.

Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Sei $(X,d)$ ein kompakter, metrischer Raum. Beweise, dass $X$ beschränkt ist (also dass es ein $M\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ mit $d(x,y)\leq M$ für alle $x,y\in X$ gibt).

Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

Sei $A$ eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums $X$. Beweise, dass $A$ abgeschlossen ist.