Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge   eines kompakten Raums   kompakt ist.

Beweis

Sei   eine Indexmenge und   eine Überdeckung offener Mengen   von  . Weil   abgeschlossen ist, ist   offen und damit   eine offene Überdeckung von  . Weil   kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge  , so dass   eine Überdeckung von ganz X ist. Da   und   disjunkt sind, muss   die Menge   überdecken. Dies beweist, dass es eine endliche Teilüberdeckung von   gibt, womit   kompakt ist.