Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossenheit und Offenheit

Abgeschlossenheit und Offenheit

Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge $A$ eines kompakten Raums $X$ kompakt ist.

Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $A$ eine Teilmenge von $X$. Sei $A^{\circ }=\left\{x\in X:x{\text{ ist innerer Punkt von }}A\right\}$ das Innere und ${\overline {A}}=\left\{x\in X:x{\text{ ist Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A\right\}$ der Abschluss von $A$. Man Beweise

1. $A$ ist genau dann offen, wenn $A=A^{\circ }$
2. $A^{\circ }$ ist offen
3. $A$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $A={\overline {A}}$
4. ${\overline {A}}$ ist abgeschlossen
5. Der Rand $\partial A$ von $A$ ist abgeschlossen

Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

Sei $A$ eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums $X$. Beweise, dass $A$ abgeschlossen ist.

Untersuchung der Sphäre, der offenen und der abgeschlossenen Kugel auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und sei $x\in X$ sowie $r\in \mathbb {R} ^{+}$ beliebig. Beweise, dass die folgende Menge $B_{r}(x)$ offen ist:

$B_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)<r\}$

Beweise außerdem, dass folgende Mengen $K_{r}(x)$ und $S_{r}(x)$ abgeschlossen sind:

$K_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)\leq r\}$

$S_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)=r\}$

Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $x\in X$ sowie $r\in \mathbb {R} ^{+}$ beliebig. Sei ${\overline {K_{r}(x)}}$ der Abschluss des offenen Balls $K_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(x,y)<r\}$. Sei außerdem ${\overline {K}}_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(x,y)\leq r\}$ der abgeschlossene Ball um $x$ mit Radius $r$. Beweise

1. ${\overline {K_{r}(x)}}\subseteq {\overline {K}}_{r}(x)$
2. Ist $X$ ein normierter Raum mit $\|\cdot \|$ als Norm, so ist ${\overline {K_{r}(x)}}={\overline {K}}_{r}(x)$.
3. Es gibt metrische Räume $X$ mit einem Punkt $x\in X$ und einem Radius $r\in \mathbb {R} ^{+}$, so dass ${\overline {K_{r}(x)}}\neq {\overline {K}}_{r}(x)$.