Aufgabensammlung Mathematik: Untersuchung der Sphäre, der offenen und der abgeschlossenen Kugel auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit

Untersuchung der Sphäre, der offenen und der abgeschlossenen Kugel auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und sei $x\in X$ sowie $r\in \mathbb {R} ^{+}$ beliebig. Beweise, dass die folgende Menge $B_{r}(x)$ offen ist:

$B_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)<r\}$

Beweise außerdem, dass folgende Mengen $K_{r}(x)$ und $S_{r}(x)$ abgeschlossen sind:

$K_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)\leq r\}$

$S_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)=r\}$

Beweis

Sei $x\in X$ beliebig und sei $f:X\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}:y\mapsto d(y,x)$. $f$ ist eine stetige Funktion (weil die Metrik $d$ bzgl. jeder Komponente stetig ist).

Teilaufgabe 1: $B_{r}(x)$ ist offen

Es ist

${\begin{aligned}B_{r}(x):=&\{y\in X\,|\,d(y,x)<r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)<r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)\in [0,r)\}\\=&f^{-1}\left([0,r)\right)\end{aligned}}$

Nun ist $[0,r)$ in der Grundmenge $\mathbb {R} _{0}^{+}$ eine offene Menge. Somit ist $B_{r}(x)$ als Urbild der offenen Menge $[0,r)$ unter der stetigen Funktion $f$ wieder eine offene Menge (Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder offen).

Teilaufgabe 2: $K_{r}(x)$ ist abgeschlossen

Es ist

${\begin{aligned}K_{r}(x):=&\{y\in X\,|\,d(y,x)\leq r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)\leq r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)\in [0,r]\}\\=&f^{-1}\left([0,r]\right)\end{aligned}}$

Somit ist $K_{r}(x)$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $[0,r]$ unter der stetigen Funktion $f$ wieder eine abgeschlossene Menge (Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder abgeschlossen).

Teilaufgabe 3: $S_{r}(x)$ ist abgeschlossen

Es ist

${\begin{aligned}S_{r}(x):=&\{y\in X\,|\,d(y,x)=r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)=r\}\\=&\{y\in X\,|\,f(y)\in \{r\}\,\}\\=&f^{-1}\left(\{r\}\right)\end{aligned}}$

Somit ist $S_{r}(x)$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{r\}$ unter der stetigen Funktion $f$ wieder eine abgeschlossene Menge.