Aufgabensammlung Mathematik: Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls
Sei ein metrischer Raum und sowie beliebig. Sei der Abschluss des offenen Balls . Sei außerdem der abgeschlossene Ball um mit Radius . Beweise
- Ist ein normierter Raum mit als Norm, so ist .
- Es gibt metrische Räume mit einem Punkt und einem Radius , so dass .
Beweis
Beweis zu
ist eine abgeschlossene Menge (Beweis siehe diese Aufgabe). Außerdem enthält nach Definition alle Element von . Da der Abschluss der Menge ist, ist es der Schnitt aller abgeschlossener Mengen, die enthalten. Damit ist auch eine solche Menge des Schnitts und somit .
Beweis, dass ist, wenn ein normierter Raum ist
Gerade haben wir bewiesen, dass ist. Somit muss nur noch bewiesen werden. Sei beliebig. Ist so ist .
Sei nun . Wir betrachten nun die Folge . Es ist
Damit ist für alle das Folgenglied . Außerdem gilt:
Damit ist . Da aber für alle das Folgenglied ist nach Definition des Abschlusses .
Damit ist , was zu zeigen war.
Beweis, dass es metrische Räume mit gibt
Sei ausgestattet mit der diskreten Metrik . Es ist
Außerdem ist
Damit ist
- .