Aufgabensammlung Mathematik: Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Sei   ein metrischer Raum und   sowie   beliebig. Sei   der Abschluss des offenen Balls  . Sei außerdem   der abgeschlossene Ball um   mit Radius  . Beweise

  1.  
  2. Ist   ein normierter Raum mit   als Norm, so ist  .
  3. Es gibt metrische Räume   mit einem Punkt   und einem Radius  , so dass  .

Beweis

Beweis zu  

  ist eine abgeschlossene Menge (Beweis siehe diese Aufgabe). Außerdem enthält   nach Definition alle Element von  . Da   der Abschluss der Menge   ist, ist es der Schnitt aller abgeschlossener Mengen, die   enthalten. Damit ist auch   eine solche Menge des Schnitts und somit  .

Beweis, dass   ist, wenn   ein normierter Raum ist

Gerade haben wir bewiesen, dass   ist. Somit muss nur noch   bewiesen werden. Sei   beliebig. Ist   so ist  .

Sei nun  . Wir betrachten nun die Folge  . Es ist

 

Damit ist für alle   das Folgenglied  . Außerdem gilt:

 

Damit ist  . Da aber für alle   das Folgenglied   ist nach Definition des Abschlusses  .

Damit ist  , was zu zeigen war.

Beweis, dass es metrische Räume mit   gibt

Sei   ausgestattet mit der diskreten Metrik  . Es ist

 

Außerdem ist

 

Damit ist

 .