Aufgabensammlung Mathematik: Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

Sei $A$ eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums $X$. Beweise, dass $A$ abgeschlossen ist.

Beweis

Sei $x\in A^{C}$ beliebig. Da $X$ ein Hausdorff-Raum ist, gibt es für jedes $a\in A$ offene Mengen $O_{a}$ und ${\tilde {O}}_{a}$ mit $a\in O_{a}$, $x\in {\tilde {O}}_{a}$ und $O_{a}\cap {\tilde {O}}_{a}=\emptyset$.

Nun ist $\bigcup _{a\in A}O_{a}$ eine offene Überdeckung von $A$. Da $A$ kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte $a_{1}$ bis $a_{n}$, so dass $A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}$. Nun ist $\bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}$ disjunkt zu $\bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}$, denn

${\begin{aligned}\left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap \left(\bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}\right)&=\bigcup _{i=1}^{n}\left(\left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap O_{a_{i}}\right)\\&\qquad \left\downarrow \ \forall i\in \{1,2,\ldots n\}:\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\subseteq {\tilde {O}}_{a_{i}}\right.\\&\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}\underbrace {\left({\tilde {O}}_{a_{i}}\cap O_{a_{i}}\right)} _{=\,\emptyset }\\&=\bigcup _{i=1}^{n}\emptyset \\&=\emptyset \end{aligned}}$

Weil $A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}$ und weil $\left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap \left(\bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}\right)=\emptyset$ ist, ist auch $\bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}\cap A=\emptyset$. Als endlicher Schnitt offener Mengen ist $\bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}$ eine offene Menge um $x$ (denn $x$ liegt in allen ${\tilde {O}}_{a}$), welche ganz in $A^{C}$ liegt. $x$ ist damit ein innerer Punkt von $A^{C}$. Weil jeder Punkt von $A^{C}$ ein innerer Punkt von $A^{C}$ ist, ist $A^{C}$ offen und damit $A$ abgeschlossen.