Aufgabensammlung Mathematik: Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Sei $(X,d)$ ein kompakter, metrischer Raum. Beweise, dass $X$ beschränkt ist (also dass es ein $M\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ mit $d(x,y)\leq M$ für alle $x,y\in X$ gibt).

Beweis

Wenn $X$ leer ist, ist $X$ beschränkt. Sei also $X$ nicht leer und $x_{0}\in X$ beliebig. Nun ist $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}(x_{0})$ eine offene Überdeckung von $X$, wobei $B_{n}(x_{0}):=\{y\in X\,|\,d(y,x_{0})<n\}$ ist. Da $X$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von $X$ und damit ein $N\in \mathbb {N}$ mit $X\subseteq B_{N}(x_{0})$. Es gilt also $d(y,x_{0})<N$ für alle $y\in X$. Sei nun $x,y\in X$ beliebig. Es ist dann:

$d(x,y)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},y)\leq N+N\leq 2N$

Damit ist $X$ beschränkt.