Aufgabensammlung Mathematik: Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt

Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt

Beweise, dass jedes Bild $f(A)$ einer kompakten Menge $A$ unter einer stetigen Abbildung $f:X\rightarrow Y$ kompakt ist.

Beweis

Sei $I$ eine Indexmenge und sei $\bigcup _{i\in I}O_{i}$ eine Überdeckung offener Mengen von $f(A)$. Da $f$ stetig ist, ist für jedes $i\in I$ die Menge $f^{-1}(O_{i})$ offen im topologischen Raum $X$. Wegen $f(A)\subseteq \bigcup _{i\in I}O_{i}$ ist $f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}O_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}\left(O_{i}\right)$ eine offene Überdeckung von $A$. Da $A$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup _{j\in J}f^{-1}(O_{j})$ von $\bigcup _{i\in I}f^{-1}(O_{i})$ über $A$. Damit ist aber auch $\bigcup _{j\in J}O_{j}$ eine endliche und offene Überdeckung von $f(A)$. Würde nämlich $\bigcup _{j\in J}O_{j}$ das Bild $f(A)$ nicht überdecken, dann gäbe es ein $x\in f(A)\setminus \left(\bigcup _{j\in J}O_{j}\right)$ und damit

${\begin{aligned}f^{-1}(\{x\})&\subseteq f^{-1}\left(f(A)\setminus \left(\bigcup _{j\in J}O_{j}\right)\right)\\&=f^{-1}\left(f(A)\right)\setminus f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}O_{j}\right)\\&=f^{-1}\left(f(A)\right)\setminus \bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(O_{j}\right)\\&\qquad \left\downarrow \ A\subseteq f^{-1}\left(f(A)\right)\right.\\&\subseteq A\setminus \bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(O_{j}\right)\end{aligned}}$

und somit wäre $\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(O_{j}\right)$ keine offene Überdeckung von $A$. Dies beweist, dass $f(A)$ kompakt ist.