Himmelsgesetze der Bewegung/ Stoßvorgänge

(aus Wikipedia leicht geändert)

Einteilung mechanischer Stoßprozesse

Ein Stoß ist ein Vorgang, bei dem zwei oder mehr Körper kurzzeitig Kraft aufeinander ausüben. Als Folge ändern die Körper ihren Bewegungszustand, möglicherweise auch ihre Form und Zusammensetzung. In einem abgeschlossenen System gilt für alle Stöße der Impulserhaltungssatz – die Summe aller Impulse bleibt konstant.

Die grundlegenden Stoßgesetze und ihre mathematische Beschreibung wurden in der Zeit zwischen 1651 und 1655 von Christiaan Huygens aufgestellt.

Man unterscheidet zwei ideale Grenzfälle, den elastischen Stoß und den vollplastischen Stoß (auch inelastisch oder unelastisch).

• Beim elastischen Stoß wird kinetische Energie von Körper zu Körper weitergegeben ohne Bewegungsenergieverluste. In diesem idealen Fall gilt also der Energieerhaltungssatz. Einen elastischen Stoß kann man in der Natur nicht beobachten. Eine Ausnahme ist der Stoß zwischen Atomen, obwohl in diesem Fall die besondere Gesetze der Quantenphysik gelten und man nicht wirklich über zwei Körper sprechen kann.

• Beim plastischen Stoß geht ein Teil der kinetischen Energie in Wärme- oder innere Energie verloren. Beim vollplastischen Stoß stoßen sich die Körper nicht voneinander ab. Darum besitzen am Ende beide Körper dieselbe Geschwindigkeit.

• In der Natur beobachtet man nur Zwischenstufen, man spricht dann über einen realer Stoß.

Es gibt auch weitere Einteilungen der Stoßvorgänge:

• Bei einem geraden Stoß verlaufen die beiden Impulsvektoren parallel zur Stoßlinie, ansonsten handelt es sich um einen schiefen Stoß. Liegt der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Körper auf der Stoßlinie, so spricht man von einem zentralen Stoß, andernfalls von einem exzentrischen Stoß. Nur bei einem geraden zentralen Stoß findet der ganze Vorgang auf einer gerade statt (eindimensionaler Stoß).

• Darüber hinaus grenzt sich der glatte Stoß vom unglatten Stoß (auch rauer Stoß) ab. Beim rauen Stoß treten Reibungskräfte an der Berührungsfläche auf. Dadurch ändert sich die Rotationsbewegung der beteiligten Körper.

• 
  Gerader, zentraler, elastischer Stoß
• 
  Schiefer, zentraler, elastischer Stoß
• 
  Exzentrischer elastischer Stoß
• 
  Rauer Stoß

Vereinfachend wird für die folgenden Berechnungen angenommen, dass der Stoß in unendlich kurzer Zeit abläuft und sich währenddessen die Positionen der Stoßpartner nicht verändern. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner ändern sich sprunghaft. Des Weiteren wird die freie Beweglichkeit der Stoßpartner vorausgesetzt, so dass nur geradlinige Bewegungen stattfinden (also keine andere Kräfte außer den Stoßkräften treten auf).

Elastischer Stoß

Bild 1: Elastischer Stoß zweier Körper gleicher Masse

Bild 2: Elastische Stöße (verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten)

Bild 3: Elastischer Stoß (verschiedene Massen)

Zwei Körper stoßen aufeinander, ohne dass dabei Energie in innere Energie, beispielsweise Wärme oder Deformation, umgewandelt wird. Nach dem Energieerhaltungssatz ist also die Summe der Bewegungsenergien vor dem Stoß gleich der Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß. Dasselbe gilt nach dem Impulserhaltungssatz auch für die vektorielle Summe der Impulse.

Der ideale elastische Stoß in der klassischen Physik ist eine ideale Modellvorstellung. Aufgrund von Reibung und weiteren Einflüssen geht dem System in Wirklichkeit kinetische Energie verloren. Sehr nahe am Modell sind jedoch beispielsweise Billardkugeln oder ein Gummiball.

Nach der Definition von „elastisch“ muss die Summe der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß gleich hoch sein.

${\begin{aligned}\sum E_{\mathrm {kin} }&=\sum E'_{\mathrm {kin} }\\{\frac {m_{1}}{2}}{\vec {v_{1}}}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}{\vec {v_{2}}}^{2}&={\frac {m_{1}}{2}}{\vec {v_{1}'}}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}{\vec {v_{2}'}}^{2}\\m_{1}({\vec {v_{1}}}^{2}-{\vec {v_{1}'}}^{2})&=m_{2}({\vec {v_{2}'}}^{2}-{\vec {v_{2}}}^{2})\\m_{1}({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})({\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}'}})&=m_{2}({\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}})({\vec {v_{2}'}}+{\vec {v_{2}}})\qquad (1)\\\end{aligned}}$

Zugleich gilt der Impulserhaltungssatz:

${\begin{aligned}\sum {\vec {p}}&=\sum {\vec {p'}}\\m_{1}{\vec {v_{1}}}+m_{2}{\vec {v_{2}}}&=m_{1}{\vec {v_{1}'}}+m_{2}{\vec {v_{2}'}}\\m_{1}\,({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})&=m_{2}\,({\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}})\qquad (2)\\{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\,({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})&={\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}}\qquad (2')\\\end{aligned}}$

Dividieren wir die Gleichungen (1) und (2) seitenweise, ergibt sich:

${\begin{aligned}{\frac {m_{1}({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})({\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}'}})}{m_{1}\,({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})}}&={\frac {m_{2}({\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}})({\vec {v_{2}'}}+{\vec {v_{2}}})}{m_{2}\,({\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}})}}\\{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}'}}&={\vec {v_{2}'}}+{\vec {v_{2}}}\qquad (3)\end{aligned}}$

Subtrahieren wir (2') und (3) seitenweise, ergibt sich:

${\begin{aligned}{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\,({\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{1}'}})-({\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}'}})&={\vec {v_{2}'}}-{\vec {v_{2}}}-({\vec {v_{2}'}}+{\vec {v_{2}}})\\({\frac {m_{1}}{m_{2}}}-1){\vec {v_{1}}}-({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1){\vec {v_{1}'}}&=-2{\vec {v_{2}}}\qquad (4)\end{aligned}}$

Die letzte Gleichung können wir auf ${\vec {v_{1}'}}$ umformen:

${\vec {v_{1}'}}={\frac {(m_{1}-m_{2}){\vec {v_{1}}}+2m_{2}{\vec {v_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}$

und daher:

${\vec {v_{2}'}}={\frac {(m_{2}-m_{1}){\vec {v_{2}}}+2m_{1}{\vec {v_{1}}}}{m_{1}+m_{2}}}$

Eine andere Möglichkeit ist das Verhältnis der Massen gleich a zu setzen:  ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}=a$  (wobei a eine reine Zahl und nicht z.B. die Beschleunigung!) und dies in die Gleichung einzusetzen:

$(a-1){\vec {v_{1}}}-(a+1){\vec {v_{1}'}}=-2{\vec {v_{2}}}$

und daher:

${\vec {v_{1}'}}={\frac {(a-1){\vec {v_{1}}}+2{\vec {v_{2}}}}{a+1}}$

${\vec {v_{2}'}}={\frac {(1-a){\vec {v_{2}}}+2a{\vec {v_{1}}}}{a+1}}$

Sind   ${\vec {v_{1}}}$  und   ${\vec {v_{2}}}$  in die gleiche Richtung, dürfen wir die Lösungen so lassen, wie sie sind (ohne Vektorpfeile). Sind sie in die entgegengesetzte Richtung, müssen wir   ${\vec {v_{2}}}$  durch  $-v_{2}$  ersetzen.

Vollkommen unelastischer Stoß

Beim unelastischen Stoß (auch inelastischer oder plastischer Stoß genannt) wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie U umgewandelt (z.B. in Wärme). Im einfachsten Fall geschieht das durch Deformation der beteiligten Körper. Die Energie kann jedoch auch in Reibungswärme umgesetzt werden, wie beispielsweise in einem Stoßdämpfer.

Beim ideal unelastischen Stoß (auch vollkommen unelastischer oder vollplastischer Stoß genannt) wird der maximal mögliche Anteil der kinetischen Energie in innere Energie umgewandelt, dabei „kleben“ die beiden Massen nach dem Stoß aneinander und bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit $v'$ weiter ($v_{1}'=v_{2}'=v'$). Ein Beispiel sind zwei Plastilinkugeln, die nach dem Stoß aneinander haften.

ideal unelastischer Stoß
mit zusätzlichen Sonderfällen $m_{1}=m_{2}=m$ und $v_{2}=0:$
$\Rightarrow v'={\frac {v_{1}}{2}}={\frac {v}{2}}$ und
:$U=E_{\mathrm {kin} }'={\frac {1}{2}}E_{\mathrm {kin} }={\frac {m\cdot v^{2}}{4}}$

Die folgenden Formeln beschreiben einen ideal bzw. vollkommen unelastischen Stoß. In diesem Fall gilt der Energieerhaltungssatz für die Bewegungsenergie nicht mehr:

$\sum p=\sum p'$

• vor dem Stoß:

$\sum p=m_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}$

$\sum E_{\mathrm {kin} }={\frac {m_{1}\cdot v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}\cdot v_{2}^{2}}{2}}$

• nach dem Stoß:

$\sum p'=(m_{1}+m_{2})\cdot {\vec {v'}}$

$\sum E'_{\mathrm {kin} }={\frac {(m_{1}+m_{2})\cdot v'^{2}}{2}}$

Aus dem Impulserhaltungssatz kann man Folgendes ableiten:

$m_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}=(m_{1}+m_{2})\cdot {\vec {v'}}$

$\Leftrightarrow {\vec {v'}}={\frac {m_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}$

Sei a das Verhältnis der Massen:  ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}=a$  (wobei a eine reine Zahl und nicht z.B. die Beschleunigung!), ergibt sich:

${\vec {v'}}={\frac {a{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}}{a+1}}$

Das ist

$v'={\frac {av_{1}+v_{2}}{a+1}}$

wenn die Anfangsgeschwindigkeiten in die gleiche Richtung sind und:

$v'={\frac {av_{1}-v_{2}}{a+1}}$

wenn sie entgegengesetzt sind und der Gesamtimpuls in die Richtung von  $v_{1}$  ist. Aus dem Energieerhaltungssatz lässt sich den Anteil p_U der verlorene Energie $U$ berechnen:

$p_{U}={\frac {\sum E_{\mathrm {kin} }-\sum E'_{\mathrm {kin} }}{\sum E_{\mathrm {kin} }}}$

Beispiele

• Ein Ball stoßt gegen eine Wand mit 43,2 km/h und springt zurück. Er bleibt 0,2 s in Kontakt mit der Wand und sein Impuls nach dem Stoß ist 6 kg ∙ m/s . Wie groß ist die auf den Ball ausgeübte Kraft (wenn sie konstant ist)? Masse des Balls: m=0,6 kg.

Lösung: Bei solchen Aufgaben soll man immer auf die Einheiten aufpassen. 43,2 km/h muss man hier in m/s umrechnen: 43,2 km/h= 43,2 : 3,6 = 12 m/s

Die Kraft kann man mit Hilfe der Definition des Impulses und der Kraft durch den Impuls berechnen:

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {{\vec {p}}_{2}-m\cdot {\vec {v}}_{1}}{t}}={\frac {6-0,6\cdot (-12)}{0,2}}=66N$

Man soll hier auf die Vorzeichen aufpassen: Man berechnet die Differenz der Impulse als Vektoren. Der Impuls am Ende ist in die Gegenrichtung vom Impuls am Anfang und die Kraft ist in die gleichen Richtung wie p₂. Daher muss v₁ ein negatives Vorzeichen in der Differenz haben und minus mal minus ist dann plus.

• Ein Ball fällt aus 3m Höhe im Vakuum und springt zurück. Welche Höhe erreicht er nach dem Stoß, wenn er 20% seines Impulses beim Stoßvorgang verliert? Welchen Prozentsatz seines Impulses verliert er beim Stoßvorgang, wenn er 40% seiner Höhe verliert? Es wird angenommen, dass Energieverlust nur beim Stoßvorgang stattfindet.

Lösung: (Für ein Verständnis der Lösung sind die Kapitel "Freier Fall" und "Freier Fall: ein Schritt weiter" Voraussetzung) Es geht um einen freien Fall im Vakuum, also für den Fall gilt der Energieerhaltungssatz. Die potenzielle Energie E_P = m⋅g⋅H wird in Bewegungsenergie E_K=½⋅m⋅v² umgewandelt. Daher gilt für die Geschwindigkeit gerade vor dem Stoß:

$v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot H}}\approx 7,75m/s$

20% des Impulses, also 20% der Geschwindigkeit (Impuls ist m⋅v, die Masse m bleibt konstant, also muss der Verlust nur die Geschwindigkeit v betreffen) wird verloren, also ist v₂=80% ⋅ 7,75 = 0.8 ⋅ 7,75 = 6,2 m/s

Ohne weiteren Energieverlust ist die Höhe, die der Ball dann erreicht:

$H={\frac {v_{2}^{2}}{2\cdot g}}\approx 1,92m$

Man kann auch so denken: Da die Bewegungsenergie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, erreicht der Ball nach dem Stoß 0,8² = 0,64 seiner Höhe, also 1,92m (genau).

Entsprechend löst man den zweiten Teil.

• Bei einem elastischen Stoß sind m₁ = 6 kg, m₂ = 2 kg, v₁ = 4m/s und v₂ = 2 m/s (in die gleiche Richtung wie v₁). Berechnen Sie die Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Man soll hier den Energie- und Impulserhaltungssatz wie in der Theorie benutzen und die Formel, die herauskommen benutzen.

${\vec {v_{1}'}}={\frac {(m_{1}-m_{2}){\vec {v_{1}}}+2m_{2}{\vec {v_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}$

${\vec {v_{2}'}}={\frac {(m_{2}-m_{1}){\vec {v_{2}}}+2m_{1}{\vec {v_{1}}}}{m_{1}+m_{2}}}$

Da v₁ und v₂ in der gleichen Richtung sind, haben sie das gleiche Vorzeichen, also sind die Geschwindigkeiten am Ende (einfach Werte in die Formeln einsetzen!):

v₁' = 3 m/s und v₂' = 5 m/s

• Bei einem plastischen (vollkommen unelastischen) Stoß sind m1 = 6 kg, m2 = 2 kg, v1 = 4m/s und v2 = 2 m/s (in die Gegenrichtung von v1). Beide Gegenstände bewegen sich nach dem Stoß als ein Körper mit Geschwindigkeit v. Berechnen Sie den Energieverlust (in %).

Man soll hier wieder die Formeln aus der Theorie zeigen. Wir benutzen hier direkt die Formel für die Geschwindigkeit am Ende:

${\vec {v'}}={\frac {m_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\cdot {v_{1}}-m_{2}\cdot {v_{2}}}{m_{1}+m_{2}}}=2,5m/s$

Hier müssen wir wieder minus für v₂ benutzen, da sie in die Gegenrichtung von v₁ ist. Der Energieverlust ist daher:

$p_{V}={\frac {\sum E_{\mathrm {KA} }-\sum E_{\mathrm {KE} }}{\sum E_{\mathrm {KA} }}}\approx 80,77\%$

Mit p_V ist hier der Prozentsatz des Verlustes gemeint, mit E_KA und E_KE die kinetische Energie am Anfang bzw. am Ende. Zur Erinnerung ist die Formel für E_K=½⋅m⋅v²