Himmelsgesetze der Bewegung/ Übungen über Geschwindigkeit und Beschleunigung

Gleichförmige BewegungBearbeiten

Obwohl in den folgenden Beispielen keine tatsächliche gleichförmige Bewegung angenommen wird, wird die mittlere Geschwindigkeit benutzt, was einer gleichförmigen Bewegung entspricht.


Geschwindigkeit berechnen und umrechnenBearbeiten

  • Ein Auto legt in 4 Sekunden 100 Meter zurück. Wie viel ist seine mittlere Geschwindigkeit? Rechnen Sie sie sowohl in m/s als auch in km/h.

Man kann hier direkt die Formel für die mittlere Geschwindigkeit benutzen. Die Einheiten sind alle Basiseinheiten, daher braucht man sie nicht umrechnen.

 

Um dieses Ergebnis in km/h umzurechnen braucht man die entsprechenden Kenntnisse benutzen:

 

Hier haben wir folgende Kenntnisse benutzt: 1km ist 1000m (daher 1 m = 1/1000 km), 1h ist 3600s (daher 1 s = 1/3600 h), Doppelbruch: Division durch ein Bruch ist wie Multiplikation mit dem Kehrwert.

Wenn man m/s in km/h umrechnen will, muss man den m/s Wert mit 3,6 multiplizieren.

Hinweis: Man kann zwar diese Regel auswendig lernen, am besten ist es den Weg zu lernen, wie man das macht, wie wir es hier gezeigt haben.

Strecke berechnenBearbeiten

  • Ein Auto legt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 54 km/h eine Strecke in 5 Sekunden zurück. Wie lang ist die Strecke?

Die Einheit für die Geschwindigkeit ist in diesem Fall km/h und für die Zeit 5s. Die Einheiten stimmen nicht überein (Stunden gegen Sekunden), daher müssen wir eine Einheit umrechnen. In diesem Fall ist es günstiger die km/h in m/s umzurechnen (da 5s in Stunden umzurechnen eine Komma-zahl ergibt). Im vorherigen Beispiel haben wir m/s in km/h umgerechnet und haben wir festgestellt, dass 1 m/s 3,6km/h ist. Umgekehrt ist daher 1km/h       m/s. Also:

 

Die Formel für die mittlere Geschwindigkeit soll man hier zuerst auf die Strecke umformen:

     ⇔     

Daher ist die zurückgelegte Strecke:

Δs=15 m/s ⋅ 5 s = 75 m

Wenn man km/h in m/s umrechnen will, soll man den km/h Wert durch 3,6 dividieren.

Das Ergebnis hier ist in Meter, was schon zu erwarten war, da wir die Basiseinheiten des SI benutzt haben.

Zeit berechnenBearbeiten

  • Ein Auto fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 90 km/h eine 3 km lange Strecke. Wie viel Zeit braucht es dafür?

Hier kann man schon die angegebenen Einheiten benutzen, das Ergebnis wird dann in Stunden sein.

Wieder muss man die Formel für die mittlere Geschwindigkeit umformen, diesmal auf die Zeit:

     ⇔     

Daher:

 

1 Stunde ist 60 Minuten daher ist      h = 2 Minuten (oder 120s).

Gleichmäßig beschleunigte BewegungBearbeiten

Beschleunigung berechnen bei direkt angegebenen GeschwindigkeitenBearbeiten

  • Ein Auto fährt mit 36 km/h. Nach 5 Sekunden ist seine Geschwindigkeit 90 km/h. Wie groß ist seine mittlere Beschleunigung?

Die einzige in Verwendung Einheit für die Beschleunigung ist m/s². Daher soll man zuerst die Geschwindigkeiten in m/s umwandeln. Wie im vorherigen Abschnitt erklärt, um km/h in m/s umzurechnen, muss man den km/h Wert der Geschwindigkeit durch 3,6 dividieren. Die Geschwindigkeit am Anfang ist daher 36:3,6=10m/s und am Ende 90:3,6=25m/s. Die Einheit für die dafür benötigte Zeit (Sekunde) ist ebenfalls die Basiseinheit des SI, also stimmt mit der Einheit m/s² überein. Um die mittlere Beschleunigung zu berechnen benutzt man die Formel:

 

Beschleunigung berechnen bei indirekt angegebenen GeschwindigkeitenBearbeiten

  • Mit einem Verfahren wird gemessen, dass ein Auto in 3 ms (Millisekunden) 4,5 cm zurückgelegt. Nach 4 Sekunden ist seine Geschwindigkeit 18 km/h. Wie viel ist seine mittlere Beschleunigung?

Die Geschwindigkeit am Anfang v1 ist hier nur indirekt angegeben (4,5 cm in 3ms). 3ms (Millisekunden) ist eine sehr geringe Zeit im Vergleich zu den 3 Sekunden, die die Beschleunigung dauert. Daher können wir die mittlere Geschwindigkeit für diese 3ms als die Geschwindigkeit am Anfang der Beschleunigung annehmen. Sie ist:

 

wobei hier als Δs die ganz geringe Strecke, die am Anfang in 3 ms (Δt) zurückgelegt wird, gemeint ist.

 

Diese Einheit (cm/ms) sollen wir wie in der letzten Aufgabe in m/s umrechnen, damit die Einheiten übereinstimmen.

 

Die Geschwindigkeit am Ende soll man aus den gleichen Gründen in m/s umrechnen. 18km/h sind 18:3,6 m/s (siehe vorherige Aufgabe) also    .

Daher ist die mittlere Beschleunigung:

 

Die Beschleunigung ist negativ, was ein Bremsverfahren bedeutet.

Endgeschwindigkeit und zurückgelegte Strecke berechnenBearbeiten

  • Ein Auto fährt mit 30m/s und bremst. Seine konstante (negative weil Bremsen) Beschleunigung ist -5m/s2. Wie viel ist seine Geschwindigkeit nach 3 Sekunden? Wie lang ist die zurückgelegte Strecke?

Die Formel für die Beschleunigung ist:

 

Man formt diese Formel auf die Geschwindigkeit am Ende v2 um:

 

 

und daher

 

Für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung) gibt es eine Formel:

 

Diese Formel kann man mit Hilfe des entsprechenden v-t Diagramms zeigen. In unserem Beispiel hier stimmen die Einheiten überein und daher können wir sie direkt in die Formel einsetzen:

 

Die Geschwindigkeit nach 3s ist 15 m/s und die zurückgelegte Strecke 45m.

Die für die Beschleunigung notwendige Zeit berechnenBearbeiten

  • Ein Auto fährt mit 50m/s und bremst. Seine konstante (negative weil Bremsen) Beschleunigung ist -4m/s2. Nach wie viel Zeit ist seine Geschwindigkeit 22 m/s?

Die Formel für die Beschleunigung ist:

 

Man formt diese Formel auf die Zeit um:

 


 

und daher

 

Mit dieser negative Beschleunigung braucht man 7s um die Geschwindigkeit auf 22m/s zu reduzieren.

Zurückgelegte Strecke beim BremsenBearbeiten

Wie schnell ein Auto bremst ist von unterschiedlichen Faktoren abhängig: Zustand der Strasse (z.B. bei Nässe ist die Bremsstrecke größer) und der Reifen, Reaktionszeit des Fahrers (z.B. Alkohol beeinflusst den Fahrer negativ), Qualität der Bremsen (z.B. ABS) usw. Wenn man zwei Variablen von folgenden drei kennt kann man in vereinfachten Fällen die dritte berechnen: (konstante) Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit und Bremsstrecke. In diesem Problem ist selbstverständlich die Endgeschwindigkeit null (man will wissen, wie lang es braucht bis zum Stillstand).

  • Ein Auto fährt mit 86,4 km/h und bremst mit -3m/s². Wie lang wird die Bremsstrecke sein (bis es stoppt)?

Hier soll man die Formel sowohl für die Beschleunigung     als auch für die Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung    b enutzten. Mit der ersten kann man die für den Bremsvorgang notwendige Zeit berechnen, wobei v2 null ist:

 

Wer sich über das negative Vorzeichen wundert, darf nicht vergessen, dass die Beschleunigung beim Bremsen doch negativ ist. Die Zeit ist daher:

 

Setzen wir dieses Ergebnis in der zweiten Formel ein:

 

also

 

Die Geschwindigkeit muss man wieder in m/s umrechnen:

v1 = 86,4:3,6 = 24 m/s

In diesem Beispiel ist daher die zurückgelegte Strecke:

 

KombinationenBearbeiten

  • Ein Auto fährt um 10:30:20 auf der Autobahn mit 126 km/h. Um 10:31:00 wird seine Geschwindigkeit gemessen und das Gerät zeigt, dass das Auto in 3 ms 7,5 cm zurücklegt. Finden Sie die Beschleunigung und die zurückgelegte Strecke heraus, wenn eine konstante Beschleunigung angenommen wird. Berechnen Sie auch die mittlere Geschwindigkeit in diesem Fall.

Hier werden unterschiedliche Aufgaben, die wir schon gesehen haben, kombiniert. Da die Beschleunigung gefragt ist und wir nur die SI Basiseinheit benutzen, müssen wir alles in Basiseinheiten angeben.

Die Geschwindigkeit am Anfang ist in km/h angegeben, daher soll man ihren Wert durch 3,6 dividieren:

v1 = 126:3,6= 35 m/s

Die Geschwindigkeit am Ende ist hier als eine mittlere Geschwindigkeit in einer für die ganze Bewegung geringen und daher vernachlässigbar (für die ganze Bewegung) Zeit von 3 ms (Millisekunde). Die Vorgangsweise haben wir schon gesehen:

 

wobei hier als Δs die ganz geringe Strecke (7,5cm), die am Ende in 5 ms (Δt) zurückgelegt wird, gemeint ist.

 

 

Die für die Geschwindigkeitsänderung notwendige Zeit ist hier auch indirekt durch die Zeitangaben gegeben. Von 10:30:20 bis 10:31:00 sind es 40s.

Jetzt kann man die Beschleunigung berechnen:

 

Die Beschleunigung ist negativ, was ein Bremsverfahren bedeutet.

Da die mittlere Geschwindigkeit als zurückgelegte Strecke durch dafür notwendige Zeit definiert wird, soll man dann zuerst die Strecke in dieser beschleunigten Bewegung berechnen:

 

Jetzt kann man auch die mittlere Geschwindigkeit mit Hilfe ihrer Definition berechnen:

 

Die Beschleunigung ist also -0,25 m/s2, die zurückgelegte Strecke 1200 m und die mittlere Geschwindigkeit 30 m/s.

Bewegungsaufgaben mit zwei FahrzeugenBearbeiten

Entgegengesetzte BewegungBearbeiten

  • Ein PKW fährt um 1020 Uhr von Wien nach 185 km entfernten Linz mit einer mittleren Geschwindigkeit von 96 km/h. 40 Minuten später fährt ein PKW von Linz nach Wien mit einer mittleren Geschwindigkeit von 78 km/h. Um wie viel Uhr treffen sie einander?

Hier sind beide Geschwindigkeiten in km/h gegeben. Für die gefragte Größe (Uhrzeit) reicht es aus, die Zeit in Stunden zu finden, daher braucht man nicht die Geschwindigkeiten (in m/s) umrechnen. Das wäre zwar nicht "falsch", würde aber zu extra Berechnungen führen, die nicht notwendig sind (und daher doch irgendwie nicht ganz richtig). Der Abstand ist schon in km gegeben. Nur die 40 Minuten soll man in Stunden umrechnen, damit alle Einheiten übereinstimmen,das sind dann   h.


Es gibt verschiedene Wege zur Lösung des Problems.

Ein Weg ist zu denken, dass der erste PKW (PKW1) in den 40 min (  h) schon   km gefahren ist. Daher ist der Abstand zwischen den beiden PKWs, wenn der zweite (PKW2) losfährt etwas weniger: 185-64=121 km. Wir haben hier noch nicht über relative Geschwindigkeit (vr) gesprochen, man kann sich aber hoffentlich verstehen, dass sie in diesem Fall die Summe der Geschwindigkeiten ist, also 96+78=174km/h, das bedeutet, dass die PKWs zueinander mit dieser Geschwindigkeit fahren.

  und daher

  h nachdem PKW2 losgefahren ist.

Das sind ca. 41 min und 43 s.

PKW2 ist aber 40 min später als PKW1 losgefahren, also um 11 Uhr. Daher treffen die PKWs einander ca. um 1142

Der zweite Weg ist ein Gleichungssystem für die gegebenen Daten des Problems zu erstellen. Nennen wir die Geschwindigkeit von PKW1 v1, die Strecke des PKW1 bis zum Treffpunkt s1 und die entsprechende Zeit t1, die Geschwindigkeit von PKW2 v2, die Strecke des PKW2 bis zum Treffpunkt s2 und die entsprechende Zeit t2. PKW2 fährt 40 Minuten später los, also PKW1 ist   Stunden länger unterwegs. Es gilt daher:

t1=t2+ 

Die Teilstrecken kann man mit Hilfe der Formel für die Geschwindigkeit so ausdrücken:

  und daher

 

und

  und daher

 


Die Gesamtstrecke ist

s=s1+s2

Die Gesamtstrecke ist zwar bekannt (185km), die Teilstrecken aber nicht. Man kann aber die Teilstrecken durch die entsprechenden Formeln ersetzen:


 

 

Hier haben wir eine Gleichung mit immer noch zwei unbekannten (  und  ), wir können aber t1 durch t2+  ersetzen:

 

s=185km, v1=96 km/h, v2=78 km/h. Das kann man alles in der Gleichung einsetzen:

 

Die Lösung dieser Gleichung ist:

  h, wie wir es im ersten Weg auch gefunden haben. Daher treffen die PKWs einander ca. um 1142

Bewegung in die gleiche RichtungBearbeiten

  • Ein LKW fährt um 1230 Uhr von Wien nach 186 km entfernten Linz mit einer mittleren Geschwindigkeit von 63 km/h. 20 Minuten später fährt ein PKW auch von Wien nach Linz mit einer mittleren Geschwindigkeit von 105 km/h. Treffen sie einander vor Wien und wenn ja, wie weit von Wien entfernt und um wie viel Uhr?

Hier sind beide Geschwindigkeiten in km/h gegeben. Für die gefragte Größe (Uhrzeit) reicht es aus, die Zeit in Stunden zu finden, daher braucht man nicht die Geschwindigkeiten (in m/s) umrechnen. Das wäre zwar nicht "falsch", würde aber zu extra Berechnungen führen, die nicht notwendig sind (und daher doch irgendwie nicht ganz richtig). Der Abstand ist schon in km gegeben. Nur die 20 Minuten soll man in Stunden umrechnen, damit alle Einheiten übereinstimmen,das sind dann   h.


Es gibt verschiedene Wege zur Lösung des Problems.

Eine Lösung ist zu denken, dass der LKW in den 20 min (  h) schon   km gefahren ist. Wir haben hier noch nicht über relative Geschwindigkeit (vr) gesprochen, man kann sich aber hoffentlich verstehen, dass sie in diesem Fall die Differenz der Geschwindigkeiten ist, also 105-63=42 km/h, das bedeutet, dass der PKW den LKW mit dieser Geschwindigkeit annähert.

  und daher

  h nachdem der PKW losgefahren ist also um 1320 (1230 plus die 20 Minuten später plus die 30 Minuten bis zur Überholung). In dieser Zeit hat der PKW:

  km zurückgelegt, also der PKW überholt den LKW vor Wien und zwar 52,5 km von Linz entfernt!

Die zweite Lösung ist ein Gleichungssystem für die gegebenen Daten des Problems zu erstellen. Nennen wir die Geschwindigkeit von PKW v1, die Strecke des PKW bis zum Treffpunkt s und die entsprechende Zeit t1, die Geschwindigkeit von LKW v2, die Strecke des LKW bis zum Treffpunkt s (PKW und LKW legen die gleiche Strecke bis zum Treffpunkt, nur mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten) und die entsprechende Zeit t2. Der PKW fährt 20 Minuten später los, also ist er   Stunden weniger unterwegs. Es gilt daher:

t1=t2- 

Die Teilstrecken kann man mit Hilfe der Formel für die Geschwindigkeit so ausdrücken:

  und daher

 

und

  und daher

 


Daher kann man schreiben:

 


Hier haben wir eine Gleichung mit immer noch zwei unbekannten (  und  ), wir können aber t1 durch t2-  ersetzen:

 

v1=105 km/h, v2= 63 km/h. Das kann man alles in der Gleichung einsetzen:

 

Die Lösung dieser Gleichung ist:

  h, also 50 Minuten nachdem der LKW losgefahren ist, das ist um 1320, wie wir es im ersten Weg auch gefunden haben. Der Treffpunkt ist dann:

  km von Wien entfernt!

ÜberholenBearbeiten

Bei gleichförmiger BewegungBearbeiten

Ein PKW überholt ein LKW. Nach welcher Strecke wird er den LKW überholt haben? Oft wird dieser Abstand von Fahrern stark unterschätzt, was zu Unfälle führen kann. Nehmen wir an, dass der PKW sich am Anfang links befindet, seine Länge sP, seine Geschwindigkeit vP, die Länge des LKWs sL und seine Geschwindigkeit vL ist. Die Abstände s1 und s3 sind vorgegeben, also wie weit vor dem LKW die Überholung anfängt und wie weit nach dem LKW sie aufhört.

Die für die Überholung notwendige Zeit nennen wir t. Die unbekannten Größen sind die Zeit t und der Abstand s2.

In dieser Zeit ist der LKW sL2=s2+sL gefahren, die PKW hingegen sP2=s1+s2+2⋅sL+s3+sP. Nach der Formel für die Geschwindigkeit bei einer gleichförmige Bewegung gilt:

  also  

Der für die Überholung notwendiger Abstand ist:

 

Daher gilt:

s1+s2+2⋅sL+s3+sP= 

In dieser Gleichung haben wir 2 Unbekannten t und s2, t aber können wir durch die oben ernannte Formel ersetzen und dann können wir umformen:

s1+s2+2⋅sL+s3+sP= 

s1+s2+2⋅sL+s3+sP= 

 

also

 

Ein konkretes Beispiel:

Wenn der PKW mit 108km/h und der LKW mit 72km/h, der PKW 5m und der LKW 15m lang sind, die Überholung 20m vor dem LKW anfängt und 20m nach dem LKW aufhört, ist s2=105m und der für die Überholung notwendiger Abstand sP2=180m.

Der (prozentuale) Geschwindigkeitsunterschied spielt aber eine sehr große Rolle. Wenn der LKW doch mit 90km/h fährt, dann ist die für die Überholung notwendige Strecke viel größer! Das Ergebnis ist in diesem Fall 360m!

Bei gleichmäßig beschleunigte BewegungBearbeiten

Ein PKW überholt ein LKW, diesmal aber gibt der PKW-Fahrer ein bisschen Gas. Nach welcher Strecke wird er den LKW überholt haben? Nehmen wir wieder an, dass der PKW sich am Anfang links befindet, seine Länge sP, seine Geschwindigkeit am Anfang vPa, seine Beschleunigung aP, die Länge des LKWs sL und seine Geschwindigkeit vL ist. Die Abstände s1 und s3 sind wieder vorgegeben, also wie weit vor dem LKW die Überholung anfängt und wie weit nach dem LKW sie aufhört.

Die für die Überholung notwendige Zeit nennen wir wieder t. Die unbekannten Größen sind die Zeit t und der Abstand s2.

In dieser Zeit ist der LKW sL2=s2+sL gefahren, die PKW hingegen sP2=s1+sL+sL2+s3+sP. Nach der Formel für die Geschwindigkeit bei einer gleichförmige Bewegung gilt wie beim vorherigen Beispiel:

  also  

Der für die Überholung notwendiger Abstand ist diesmal durch die Formel für eine beschleunigte Bewegung gegeben:

 

Daher gilt:

s1+sL+sL2+s3+sP= 

In dieser Gleichung haben wir noch einmal 2 Unbekannten t und sL2, t aber können wir durch die oben ernannte Formel ersetzen und dann können wir umformen:

s1+sL+sL2+s3+sP= 

Aufpassen! Um die Aufgabe etwas leichter zu machen ist hier der unbekannte sL2 und nicht s2, wie im vorherigen Beispiel. Das Ergebnis ist allerdings diesmal eine Quadratische Gleichung:


 

Die Lösung mit Symbolen zu schreiben ist kompliziert, daher beschränken wir uns auf einem konkreten Beispiel:

Wenn der PKW mit 108km/h und der LKW mit 72km/h, der PKW 5m und der LKW 15m lang sind, die Überholung 20m vor dem LKW anfängt und 20m nach dem LKW aufhört und die Beschleunigung 1m/s², ist der für die Überholung notwendiger Abstand ca. sP2=167m.