Himmelsgesetze der Bewegung/ Größen und Einheiten

Unterschied zwischen Größe und Einheit

In der Physik, wie in jeder Wissenschaft, wird die Sprache in einer besonderen Weise benutzt. Die Grundbegriffe werden definiert und manchmal kommt es vor, dass ein Wort, das im Alltag benutzt wird, in der Wissenschaft eine genauere oder sogar andere Bedeutung hat.

Ein Grundunterschied in der Physik ist der Unterschied zwischen physikalische Größe und physikalische Einheit. Eine physikalische Größe ist eine allgemeinere Eigenschaft mit der wir die Welt und ihre Objekte beschreiben. Für jede Größe gibt es in der Physik mehrere Einheiten, mit denen wir diese Größe messen. Beispielsweise ist die Länge eines Gegenstands eine physikalische Größe. Diese Größe kann man mit Meter, Kilometer, Meile, Parsec, Lichtjahr, Ångström usw.. Meter, Kilometer usw. sind also Einheiten für die Größe „Länge“.

Sowohl für die Größen als auch für die Einheiten benutzt man in der Physik Symbole. Diese sind in der Regel eine bis drei Buchstaben. Beispielsweise ist das Symbol für die Größe „Masse“ die Buchstabe m. Die SI Einheit (SI: frz. Système international d’unités, ein durch viele Staaten vereinbartes Einheitensystem) für die Masse ist das Kilogramm. Das Symbol dafür ist kg.

Vorsicht: Manchmal wird das gleiche Symbol für verschiedene Begriffe benutzt. Die Buchstabe m z.B. wird nicht nur für die Größe „Masse“ benutzt, sondern auch für die Einheit „Meter“, die die Einheit für die Größe „Länge“ ist. In solchen Fällen versteht man nur vom Zusammenhang, auf was das Symbol bezieht.

Probiere folgende Begriffe einzuordnen: Welche sind Größen und welche Einheiten?

Watt, Druck, Frequenz, Kelvin, Sekunde, Kubikmeter, Drehmoment, Energie.

Anschließend probiere mit Hilfe von Wikipedia folgende Tabelle zu vervollständigen. Als Beispiel wurden in der ersten Zeile die Daten für Masse ausgefüllt.

Physikalische Konstanten

Ein Begriff, der etwa zwischen Größe und Einheit steht, ist die „physikalische Konstante“. Eine Konstante ist zwar eine Eigenschaft der Natur, hat aber einen gewissen Wert. Die Lichtgeschwindigkeit (c) z.B. stellt nach der speziellen Relativitätstheorie eine Grenze für die Fortbewegung in der Natur. Keine Information und kein Objekt kann sich schneller als die Lichtgeschwindigkeit verbreiten. Sie ist also eine Eigenschaft der Natur. Gleichzeitig aber stellt sie heutzutage die Basis für die Definition des Meters dar. Sie kann sogar selber als Einheit benutzt werden. Das gilt für alle Konstanten.

Andere Beispiele (in Klammer sind die entsprechenden Symbole) sind die Planck-Konstante (ћ), die Boltzmann-Konstante (k_B), die Elementarladung (e), die Avocadro-Konstante (N_A), die Gravitationskonstante (G).

Grundgrößen und -Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI)

Im Altertum waren die verschiedenen Einheiten nicht festgelegt. Beispielsweise war gebräuchlich fürs Messen von kleineren Abständen der Fuß. Es gab aber viele Leute (Könige, Priester usw.), die das Sagen haben wollten und als Maßstab für einen Fuß einen Abdruck ihres eigenen Fußes bestimmt hatten. Selbstverständlich waren alle Füße nicht gleich lang! Das hatte aber als Folge, dass, wenn ein Baustellenleiter Einleitungen geben wollte, er doch wieder seinen eigenen Fuß (statt des königlichen!) als Maßstab benutzt hat. Gleiches gilt für alle Einheiten des Altertums, mit dem Ergebnis, dass wir heutzutage nicht genau (aber doch ungefähr) wissen, welche Längeneinheit jeweils benutzt wurde.

Diese Situation könnte selbstverständlich zu Missverständnissen bei der Messung von Größen führen. Nach dem großen Fortschritt der Technologie in den letzten Jahrhunderten haben sich die Leute entschlossen, dass ein einheitliches und für alle gebräuchliches Einheitensystem notwendig sei. Dann hat sich eine Komitee aus weisen Leuten versammelt und haben sich auf das heutige Einheitssystem vereinigt. Sie waren weise genug, als Maßstab nicht die Eigenschaften eines Menschen zu benutzen (wie z.B. die Länge seines Fußes), sondern Eigenschaften der Natur (z.B. die mittleren Dauer des Sonnentags oder die Masse des Wassers unter bestimmten Bedingungen).

Ein Einheitensystem hat Grundgrößen und entsprechenden Einheiten. Alle andere Größe kann man von diesen Grundgrößen durch Formeln ableiten. Das ist eine Grundaufgabe der Physik, Gesetzmäßigkeiten der Natur in der mathematischen Sprache auszudrücken. Die dadurch entstandenen Formeln kann man für die Definition von Größen benutzen. Man braucht aber doch Grundsteine, etwas mit dem man anfangen kann und alles anderes dadurch definieren. Jede Größe könnte als Grundgröße benutzt werden. Die Wahl der heutzutage als Grundsteine benutzten Größen war und bleibt völlig willkürlich. Es gibt keinen Grund, warum der Abstand und nicht die Geschwindigkeit als Grundgröße benutzt wird. Als die erste Komitee ihre Entscheidungen getroffen hat, gab es einfach praktische Gründe für die Wahl von bestimmten Größen.

Am Anfang gab es nur drei Grundgröße: Masse, Zeit, Länge. Später wurden noch vier gewählt. Die Grundeinheiten für diese Größen und alle Derivaten (also alle Größen, die durch die Grundgrößen definiert werden) sind so gewählt, dass man in den Formeln sie sofort einsetzen kann, ohne sie in eine andere Größe umwandeln zu müssen. Ein Beispiel wird klar machen, was damit gemeint ist. Um die Geschwindigkeit zu messen (Geschwindigkeit ist Strecke durch Zeit), misst man einen Gewissen Abstand, den man in einer gewisse Zeit zurücklegt. Es ist aber doch unterschiedlich, wenn man in die Formel Kilometer pro Minuten oder pro Sekunden misst. Im zweiten Fall wird der Zahlenwert 60 mal größer sein! Wenn ich also im Nachhinein die Geschwindigkeit angebe, muss ich klar machen, welche Einheit ich benutze. Wenn man Werte in eine Formel einsetzt, müssen diese in einem einheitlichen System gehören, damit der Zahlenwert am Ende stimmt und wieder in diesem Einheitensystem gehört.

Die Grundgröße und ihre Grundeinheiten (Basiseinheiten) für das SI sind:

10 als Basis des SI

Das SI ist allgemein ein dekadisches System. Das bedeutet, dass die unterschiedlichen Einheiten der gleichen Größe in diesem System sich durch eine ganzzahlige Potenz von 10 voneinander unterscheiden. Ein Beispiel wird klar machen, was damit gemeint ist:

Die Basiseinheit für die Strecke in SI System ist das Meter. Das ist aber doch nur die Basiseinheit. In einer Formel macht es in der Regel Sinn, alle Größen in Basiseinheiten einzusetzen. Das Ergebnis wird dann auch in Basiseinheiten sein. Es gibt aber auch andere Einheiten für die Strecke, z.B. ein Kilometer. Ein Kilometer ist 1000 Meter, also 10³ Meter. Es unterscheidet sich von einem Meter durch einen Faktor von 10³, was eine ganzzahlige Potenz von 10 ist (die Hochzahl ist eine ganze Zahl: 3). Ähnlich ist es bei cm. 1 cm ist 0,01 m also 10^-2 Meter. Wieder unterscheidet sich 1 cm von einem Meter durch 10^-2, was wieder eine ganzzahlige Potenz von 10 ist (die Hochzahl ist eine ganze Zahl: -2).

Es gibt in SI auch Größen, deren Einheiten nicht durch Zehnerpotenzen verbunden werden, wie z.B. die Zeit (1 Tag ist 24 Stunden, 1 Stunde ist 60 Minuten, eine Minute ist 60 Sekunde usw.). Allgemein aber gilt für die Einheiten einer Größe im SI System, dass sie durch Zehnerpotenzen verbunden werden.

Andere Einheitensysteme

SI ist aber doch nicht das einzige Einheitensystem. Ein anderes Einheitensystem, das grundsätzlich auch dekadisch ist, ist das cgs System. In diesem System ist die Basiseinheit für die Strecke ein Zentimeter (cm), für die Masse ein Gramm (g) und für die Zeit eine Sekunde (s).

In USA und ein paar anderen Staaten wird ein nicht dekadisches System sondern das sogenannte imperial System (wegen des früheren britischen Imperiums) benutzt. Beispielsweise wird für die Länge ein Zoll benutzt (ein Zoll ist in SI Einheiten 2,54cm) und dazu ein Fuß (=12 Zoll), ein Schritt (= 3 Füße) und 1 Meile (= 1760 Schritte).

In Physik werden oft Einheitensysteme mit sogenannten natürlichen Einheiten benutzt. In diesen Systemen werden als Einheiten Naturkonstanten benutzt. Die Naturkonstanten sind Eigenschaften der Natur, die aber einen bestimmten Zahlenwert besitzen. Beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit ist eine Eigenschaft der Natur. Sie stellt die Obergrenze der Geschwindigkeit vor, mit der eine Wechselwirkung (oder der Austausch von Information) stattfinden kann. Sie hat aber auch einen gewissen Wert (ca. 300000 km/s). Diesen Wert benutzt man in der Tat heutzutage auch, um ein Meter zu definieren. Andere Konstanten, die in solchen Systemen benutzt werden, sind das plancksche Wirkungsquantum, die Elementarladung, die Boltzmann-Konstante, die Masse des Elektrons oder des Protons usw. in atomare Physik oder das Lichtjahr, das Parsec, die astronomische Einheit, die Sonnenmasse usw. in der Astronomie.

Wie notwendig ein einheitliches System bei den Berechnungen ist, hat sich auch bei der Mission Mars Climate Orbiter zum Mars gezeigt. Die Bahn wurde falsch gerechnet, weil ein Team SI Einheiten benutzt hat, bei einem Programm, das Angloamerikanische System verlangte!

Von einer in eine andere Einheit derselben Größe umwandeln

Einheiten in Basiseinheiten umwandeln

Oft sind die Werte einer Größe nicht in Basiseinheiten gegeben. Das geeignetste Beispiel dafür ist die Geschwindigkeit. Im Alltag wird nie m/s sondern km/h benutzt. Wenn man den Wert in eine Formel einsetzen will, wird man in der Regel die Einheit in die Basiseinheit umwandeln müssen. Wie geht das?

Das Beispiel der Geschwindigkeit macht das klar. Wie kann man km/h in m/s umwandeln? Man ersetzt in der Einheit km/h jede Einheit durch ihre Basiseinheit und den entsprechenden Wert. 1 km ist 1000 m und 1 Stunde (h) ist 60 · 60 = 3600 s (60 Minuten pro Stunde mal 60 Sekunden pro Minute). Ersetzen wir beides in der Einheit km/h, ergibt sich:

${\frac {1km}{1h}}={\frac {1000m}{3600s}}={\frac {1}{3,6}}m/s$

Das bedeutet dann, dass z.B. 72 km/h 20m/s sind:

$72km/h=72\cdot {\frac {1}{3,6}}m/s=72\div 3,6m/s=20m/s$

Einheiten von einem Einheitssystem zum Einheiten eines anderen Systems umwandeln

In der folgenden Weise kann man allgemeiner eine komplexe zusammengesetzte Einheit in eine andere umwandeln, auch wenn die Einheiten in unterschiedlichen Einheitssystemen gehören.

Für die Grundgrößen sind in der Regel die Verhältnisse zwischen den Einheiten gegeben, z.B. 1 Zoll (Angloamerikanisches Maßsystem) ist 2,54 cm (S.I.). Dadurch kann man auch 1 Fuß berechnen: 1 Fuß = 12 Zoll = 30,48 cm usw. Für den Druck wird die Einheit PSI (Pound-Force pro Square Inch: „Pfund-Kraft pro Quadrat-Zoll“) benutzt. 1 Pfund-Kraft (Pound-Force) wird nicht durch anderen Einheiten und eine Formel definiert (wie z.B. ein Newton in SI System), sondern wird als die Kraft, die auf eine Masse von einem Pfund (Einheit dieses Systems für die Masse) auf der Erdoberfläche ausgeübt wird. Das ist dann ca. 4,4482N. Daher gilt:

$1PSI\approx {\frac {4,45N}{0,0254^{2}}}\approx 6894,7Pa$

Pa (Pascal) ist die SI Einheit für den Druck (also 1 Newton pro m²).

Die Einheit PSI sieht man immer noch oft heutzutage, wenn man die Reifen eines Autos pumpen will.

Noch ein Beispiel kann den Vorgang noch klarer machen:

In der imaginären Insel Atlantis messen die Leute die Masse in AM (Atlantis Masseneinheiten), die Strecke in AS (Atlantis Streckeneinheiten) und die Zeit in AZ (Atlantis Zeiteinheiten). 1 AM ist 9·10² kg, 1 Meter ist 25 AS und 1 AZ ist 12 Sekunde. Rechnen sie die Beschleunigung 4m/s² in Atlantiseinheiten (also in AS/AZ²) und die Dichte 0,007 AM/AS³ in kg/m³ um!

• Wir wollen zuerst 4m/s² in AS/AZ² umrechnen. Wir sollen also in der Angabe "4m/s²" 1m und 1s durch die entsprechenden Atlantiseinheiten ersetzen. 1m ist schon gegeben (1m=25AS). 1s ist aber nur indirekt gegeben (1AZ = 12s). Durch umformen finden wir aber leicht, dass  $1s={\frac {1}{12}}AZ$  ist. Wir können also schreiben:

$4\,m/s^{2}=4\cdot {\frac {1m}{(1s)^{2}}}=4\cdot {\frac {25AS}{({\frac {1}{12}}AZ)^{2}}}=4\cdot 25\cdot 12^{2}\cdot {\frac {AS}{AZ^{2}}}=1{,}44\cdot 10^{4}{\frac {AS}{AZ^{2}}}$

• In der gleichen Weise kann man bei der angegebenen Dichte 0,007 AM/AS³ die Atlantiseinheiten in SI Einheiten umrechnen. 1AM ist 9·10² kg (schon direkt gegeben) und   $1AS={\frac {1}{25}}m$  (durch Umformen, da 1m=25AS ist, ist dann 1AS=1:25). Wir können also schreiben:

$0{,}007\,AM/AS^{3}=0{,}007\cdot {\frac {1AM}{(1AS)^{3}}}=0{,}007\cdot {\frac {9\cdot 10^{2}kg}{({\frac {1}{25}}m)^{3}}}=0{,}007\cdot 9\cdot 25^{3}\cdot 10^{2}\cdot {\frac {kg}{m^{3}}}\approx 9{,}84\cdot 10^{4}{\frac {kg}{m^{3}}}$

Einheiten in eine Formel richtig einsetzen

Hoffentlich wurde es bisher klar, dass, wenn jemand Werte in eine Formel einsetzen will, auf die Einheiten aufpassen muss! Die Einheiten sollen übereinstimmen!

Außerhalb der Grundgrößen gibt es auch die abgeleiteten Größen, wie Beschleunigung, Kraft, Arbeit, Spannung usw.. Diese Größen werden mit Hilfe von Formeln durch die Grundgrößen abgeleitet. Wenn man in diesen Formeln die Basiseinheiten benutzt, bekommt man die entsprechenden abgeleiteten Einheiten. Diese nennt man dann "kohärent". Nicht kohärente Einheiten sind die SI Einheiten die eine Vorsilbe haben (mit der Ausnahme von kg, das wohl eine kohärente und sogar Basiseinheit ist). cm ist nicht kohärent, kann man aber leicht in kohärent umwandeln, wenn man c (zenti) durch die entsprechende Zahl (10^-2) ersetzt. "Kohärent" ist also der offizielle Name dafür, dass die Einheiten "übereinstimmen" sollen.

In der Regel benutzt man in den Formeln die SI Basiseinheiten und ihre kohärenten Einheiten für die abgeleiteten Größen. Nehmen wir an, dass eine Formel so aussieht:

$p={\frac {m}{A}}\cdot {\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

mit p für den Druck, m für die Masse, A für die Fläche, Δv für die Geschwindigkeitsänderung und Δt für die dafür benötigte Zeit. Sei jetzt die Masse 670g, die Fläche 2 mm², die Geschwindigkeitsänderung 396km/h und die Zeit 4ms (Millisekunde). Um den Druck in Basiseinheiten zu berechnen, muss man alle Werte in Basiseinheiten ausdrucken. Also 670g=0,67kg, 2mm²=0,000002 m², 396km/h=110m/s und 4ms=0,004s. Nur dann wird das Ergebnis in SI kohärenten Einheiten sein (also in Pascal). Sonst hat man keine Ahnung, in welcher Einheit der berechnete Druck sein wird (man sollte in diesem Fall eine neue definieren).

$p={\frac {0,67}{0,000002}}\cdot {\frac {110}{0,004}}=9212500000Pa$

$p={\frac {670}{2}}\cdot {\frac {396}{4}}=33165$   → das ist schon ein Wert, aber die Einheit hier bleibt völlig unbekannt!!! Pascal ist sie sicher nicht!!!

Es ist aber nicht immer der Fall, dass die SI Basiseinheiten die geeignetsten sind. Wenn man z.B. die notwendige Zeit für eine Strecke berechnen will und die mittlere Geschwindigkeit in km/h gegeben ist, dann ist es doch vielleicht besser, die Strecke in km auszudrücken. Das Ergebnis für die Zeit wird dann selbstverständlich in Stunden sein (und nicht mehr in Sekunden).

Man muss also in einer Formel Einheiten benutzen, die übereinstimmen. In der Regel sind es die SI Basiseinheiten, manchmal aber vielleicht auch doch was anderes. Letzteres lernt man vor allem durch Erfahrung.

Vektor und Skalar

Man kann alle Größen in der Physik in zwei großen Kategorien einteilen, die skalaren und die vektoriellen Größen.

Wenn eine Größe eine Richtung im Raum haben kann, dann ist sie ein Vektor. Beispiele dafür sind die Geschwindigkeit, die Kraft usw. Es macht einen Unterschied, wenn ich nach oben, unten, rechts oder links eine Kraft ausübe und auch wenn ich nach oben, unten, rechts oder links mit 2 km/h laufe.

Wenn hingegen eine Größe keine Richtung haben kann, sondern nur einen Wert, dann ist sie ein Skalar. Beispiele sind die Zeit, die Masse, die elektrische Ladung.