Link zum Erklärvideo auf Video-Cave-v2
Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form
a
x
=
b
{\displaystyle a^{x}=b}
Schauen wir uns einfache Gleichungen wie
3
x
=
27
{\displaystyle 3^{x}=27}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw.
3
x
=
20
{\displaystyle 3^{x}=20}
Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus !
Mathematisch gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren , genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.
Es gilt also:
Merke:
a
x
=
b
{\displaystyle a^{x}=b}
x
=
l
o
g
a
(
b
)
{\displaystyle x=log_{a}(b)}
Dabei nennt man a die Basis und b das Argument.
Gesprochen: "Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt..."
Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:
Merke:
l
o
g
a
(
b
)
=
l
o
g
(
b
)
l
o
g
(
a
)
{\displaystyle log_{a}(b)={\frac {log(b)}{log(a)}}}
Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.
Wir rechnen ein paar Beispiele:
(
a
)
4
x
=
20
⇒
x
=
log
4
(
20
)
≈
2
,
16
{\displaystyle (a){\begin{aligned}4^{x}&=20\\\Rightarrow x&=\log _{4}(20)\approx 2,16\end{aligned}}}
(
b
)
51
x
=
200
⇒
x
=
log
51
(
200
)
≈
1
,
34
{\displaystyle (b){\begin{aligned}51^{x}&=200\\\Rightarrow x&=\log _{51}(200)\approx 1,34\end{aligned}}}
Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen.
0
,
5
x
=
2
{\displaystyle 0,5^{x}=2}
2
x
=
0
,
5
{\displaystyle 2^{x}=0,5}
3
,
141
x
=
5
{\displaystyle 3,141^{x}=5}
(
−
2
)
x
=
4
{\displaystyle (-2)^{x}=4}
Lösungen:
x
=
l
o
g
0
,
5
(
2
)
=
−
1
{\displaystyle x=log_{0,5}(2)=-1}
x
=
l
o
g
2
(
0
,
5
)
=
−
1
{\displaystyle x=log_{2}(0,5)=-1}
x
=
l
o
g
3
,
141
(
5
)
≈
1
,
406
{\displaystyle x=log_{3,141}(5)\approx 1,406}
Hier gibt es einen Fehler.
Merke: Der Logarithmus ist für negative Basen nicht definiert. Auch das Argument darf nicht negativ sein.
Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei
(
−
2
)
x
=
4
{\displaystyle (-2)^{x}=4}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
Merke:
Besondere Logarithmen:
Beim Logarithmus zur Basis 10 wird oft die Basis weggelassen, also meint:
l
o
g
10
(
b
)
=
l
o
g
(
b
)
{\displaystyle log_{10}(b)=log(b)}
Logarithmus zur Basis e wird auch als der natürliche Logarithmus bezeichnet:
l
o
g
e
(
b
)
=
l
n
(
b
)
{\displaystyle log_{e}(b)=ln(b)}
Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e . Die Eulersche Zahl e ist ungefähr
e
≈
2
,
718
{\displaystyle e\approx 2,718}
Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt
Merke:
l
o
g
e
(
b
)
=
l
n
(
b
)
{\displaystyle log_{e}(b)=ln(b)}
Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:
e
x
=
5
⇒
x
=
l
n
(
5
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=5\\\Rightarrow x&=ln(5)\end{aligned}}}
Berechne den Exponenten x, der folgende Gleichungen löst:
e
x
=
4
{\displaystyle e^{x}=4}
e
x
=
2
{\displaystyle e^{x}=2}
e
x
=
0
,
5
{\displaystyle e^{x}=0,5}
Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.
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Schauen wir uns die Gleichung
e
x
−
5
=
−
2
{\displaystyle e^{x}-5=-2}
x
2
−
5
=
−
2
{\displaystyle x^{2}-5=-2}
x
2
−
5
=
−
2
|
+
5
x
2
=
3
|
⇒
x
1
=
−
1
,
71
x
2
=
+
1
,
71
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-5&=-2&|+5\\x^{2}&=3&|{\sqrt {}}\\\Rightarrow x_{1}&=-1,71\\x_{2}&=+1,71\\\end{aligned}}}
Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein
a
b
x
{\displaystyle a^{bx}}
e
x
−
5
=
−
2
|
+
5
e
x
=
3
|
ln
(
)
x
=
ln
(
3
)
≈
1
,
10
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-5&=-2&|+5\\e^{x}&=3&|\ln()\\x&=\ln(3)\\&\approx 1,10\end{aligned}}}
Merke:
Auflösen von Exponentialgleichungen mit nur einem Typ
a
b
x
{\displaystyle a^{bx}}
Auflösen, sodass
a
b
x
{\displaystyle a^{bx}}
Logarithmieren mit der Basis a.
2
x
−
1
=
4
|
+
1
2
x
=
5
|
l
o
g
2
x
=
l
o
g
2
(
5
)
≈
2
,
32
{\displaystyle {\begin{aligned}2^{x}-1&=4&|+1\\2^{x}&=5&|log_{2}\\x&=log_{2}(5)\approx 2,32\end{aligned}}}
2
⋅
e
x
=
20
|
:
2
e
x
=
10
|
l
n
x
=
l
n
(
10
)
≈
2
,
30
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot e^{x}&=20&|:2\\e^{x}&=10&|ln\\x&=ln(10)\approx 2,30\end{aligned}}}
3
2
x
+
5
=
15
|
−
5
3
2
x
=
10
|
l
o
g
3
2
x
=
l
o
g
3
(
10
)
|
:
2
x
=
l
o
g
3
(
10
)
2
≈
2
,
10
2
=
1
,
05
{\displaystyle {\begin{aligned}3^{2x}+5&=15&|-5\\3^{2x}&=10&|log_{3}\\2x&=log_{3}(10)&|:2\\x&={\frac {log_{3}(10)}{2}}\approx {\frac {2,10}{2}}=1,05\end{aligned}}}
−
e
1
2
x
−
7
=
−
9
|
+
7
−
e
1
2
x
=
−
2
|
⋅
(
−
1
)
e
1
2
x
=
2
|
l
n
1
2
x
=
l
n
(
2
)
|
⋅
2
x
=
2
⋅
l
n
(
2
)
≈
2
⋅
0
,
69
=
1
,
38
{\displaystyle {\begin{aligned}-e^{{\frac {1}{2}}x}-7&=-9&|+7\\-e^{{\frac {1}{2}}x}&=-2&|\cdot (-1)\\e^{{\frac {1}{2}}x}&=2&|ln\\{\frac {1}{2}}x&=ln(2)&|\cdot 2\\x&=2\cdot ln(2)\approx 2\cdot 0,69=1,38\end{aligned}}}
3
⋅
e
x
+
5
=
0
|
−
5
3
⋅
e
x
=
−
5
|
:
3
e
x
=
−
5
3
|
l
n
x
=
l
n
(
−
5
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}3\cdot e^{x}+5&=0&|-5\\3\cdot e^{x}&=-5&|:3\\e^{x}&=-{\frac {5}{3}}&|ln\\x&=ln\left(-{\frac {5}{3}}\right)\\\end{aligned}}}
Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:
5
x
−
9
=
−
2
{\displaystyle 5^{x}-9=-2}
e
3
x
−
2
=
−
1
,
5
{\displaystyle e^{3x}-2=-1,5}
2
+
e
x
=
1
−
e
x
{\displaystyle 2+e^{x}=1-e^{x}}
e
−
x
+
1
=
3
{\displaystyle e^{-x}+1=3}
Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69
Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:
Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich
x
2
−
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-x=0}
Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
x
2
−
x
=
0
x
⋅
(
x
−
1
)
=
0
=>
x
1
=
0
=>
x
−
1
=
0
=>
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-x&=0\\x\cdot (x-1)&=0\\=>x_{1}&=0\\=>x-1&=0\\=>x_{2}&=1\end{aligned}}}
Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:
(
e
x
)
2
−
e
x
=
0
{\displaystyle (e^{x})^{2}-e^{x}=0}
Wenn wir hier
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
∗
(
e
x
−
1
)
=
0
{\displaystyle e^{x}*(e^{x}-1)=0}
Da
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
−
1
=
0
|
+
1
e
x
=
1
|
l
n
x
=
l
n
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-1&=0&|+1\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}}
Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.
a
x
⋅
a
x
=
a
x
+
x
=
a
2
x
{\displaystyle a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x}=a^{2x}}
a
x
⋅
a
x
⋅
a
x
=
a
x
+
x
+
x
=
a
3
x
{\displaystyle a^{x}\cdot a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x+x}=a^{3x}}
a
x
⋅
a
2
x
=
a
x
+
2
x
=
a
3
x
{\displaystyle a^{x}\cdot a^{2x}=a^{x+2x}=a^{3x}}
a
2
x
⋅
a
3
x
=
a
2
x
+
3
x
=
a
5
x
{\displaystyle a^{2x}\cdot a^{3x}=a^{2x+3x}=a^{5x}}
Merke:
Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein
a
b
x
{\displaystyle a^{bx}}
Ausklammern von
a
b
x
{\displaystyle a^{bx}}
Den ausgeklammerten Teil ignorieren wir, da er niemals 0 wird.
Wir lösen die restliche Gleichung.
1
⋅
e
x
−
1
⋅
e
2
x
=
0
|
e
x
a
u
s
k
l
a
m
m
e
r
n
e
x
⋅
(
1
−
e
x
)
=
0
⇒
e
x
≠
0
⇒
1
−
e
x
=
0
|
−
1
−
e
x
=
−
1
|
⋅
(
−
1
)
e
x
=
1
|
l
n
x
=
l
n
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot e^{x}-1\cdot e^{2x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-e^{x})&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-e^{x}&=0&|-1\\-e^{x}&=-1&|\cdot (-1)\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}}
2
⋅
e
2
x
−
3
⋅
e
x
=
0
|
e
x
a
u
s
k
l
a
m
m
e
r
n
e
x
⋅
(
2
⋅
e
x
−
3
)
=
0
⇒
e
x
≠
0
⇒
2
⋅
e
x
−
3
=
0
|
+
3
2
⋅
e
x
=
3
|
:
2
e
x
=
3
2
|
l
n
x
=
l
n
(
3
2
)
≈
0
,
41
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot e^{2x}-3\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (2\cdot e^{x}-3)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 2\cdot e^{x}-3&=0&|+3\\2\cdot e^{x}&=3&|:2\\e^{x}&={\frac {3}{2}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {3}{2}}\right)\approx 0,41\end{aligned}}}
−
4
⋅
e
3
x
+
1
⋅
e
2
x
=
0
|
e
2
x
a
u
s
k
l
a
m
m
e
r
n
e
2
x
⋅
(
−
4
⋅
e
1
x
+
1
)
=
0
⇒
e
2
x
≠
0
⇒
−
4
⋅
e
1
x
+
1
=
0
|
−
1
−
4
⋅
e
x
=
−
1
|
:
(
−
4
)
e
x
=
1
4
|
l
n
x
=
l
n
(
1
4
)
≈
−
1
,
39
{\displaystyle {\begin{aligned}-4\cdot e^{3x}+1\cdot e^{2x}&=0&|e^{2x}ausklammern\\e^{2x}\cdot (-4\cdot e^{1x}+1)&=0\\\Rightarrow e^{2x}&\neq 0\\\Rightarrow -4\cdot e^{1x}+1&=0&|-1\\-4\cdot e^{x}&=-1&|:(-4)\\e^{x}&={\frac {1}{4}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {1}{4}}\right)\approx -1,39\end{aligned}}}
1
⋅
2
−
x
−
2
⋅
2
−
2
x
=
0
|
2
−
x
a
u
s
k
l
a
m
m
e
r
n
2
−
x
⋅
(
1
−
2
⋅
2
−
x
)
=
0
⇒
2
−
x
≠
0
⇒
1
−
2
⋅
2
−
x
=
0
|
−
1
−
2
⋅
2
−
x
=
−
1
|
:
(
−
2
)
2
−
x
=
1
2
|
l
o
g
2
−
x
=
l
o
g
2
(
1
2
)
|
⋅
(
−
1
)
x
=
−
l
o
g
2
(
1
2
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot 2^{-x}-2\cdot 2^{-2x}&=0&|2^{-x}ausklammern\\2^{-x}\cdot (1-2\cdot 2^{-x})&=0\\\Rightarrow 2^{-x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-2\cdot 2^{-x}&=0&|-1\\-2\cdot 2^{-x}&=-1&|:(-2)\\2^{-x}&={\frac {1}{2}}&|log_{2}\\-x&=log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)&|\cdot (-1)\\x&=-log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1\end{aligned}}}
1
⋅
e
x
−
x
⋅
e
x
=
0
|
e
x
a
u
s
k
l
a
m
m
e
r
n
e
x
⋅
(
1
−
x
)
=
0
⇒
e
x
≠
0
⇒
1
−
x
=
0
|
−
1
−
x
=
−
1
|
⋅
(
−
1
)
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-x)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-x&=0&|-1\\-x&=-1&|\cdot (-1)\\x&=1\end{aligned}}}
−
e
3
x
+
2
⋅
e
x
=
0
{\displaystyle -e^{3x}+2\cdot e^{x}=0}
e
2
x
−
5
⋅
e
4
x
=
0
{\displaystyle e^{2x}-5\cdot e^{4x}=0}
x
2
⋅
e
x
−
x
⋅
e
x
=
0
{\displaystyle x^{2}\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}=0}
1
2
⋅
e
−
x
−
1
4
⋅
e
−
4
x
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot e^{-x}-{\frac {1}{4}}\cdot e^{-4x}=0}
Ergebnisse (durchmischt): -0,73; 0,35; -0,23; 0 und 1
Erinnerung: Gleichungen wie
x
4
−
2
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0}
x
4
−
2
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0}
x
2
−
2
x
1
+
1
=
0
{\displaystyle {x}^{2}-2{x}^{1}+1=0}
Damit wir nicht durcheinander kommen, haben wir statt
x
2
{\displaystyle {x}^{2}}
z
2
{\displaystyle {z}^{2}}
x
{\displaystyle x}
z
{\displaystyle z}
Substitution:
x
4
−
2
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0}
z
2
−
2
z
1
+
1
=
0
{\displaystyle {z}^{2}-2{z}^{1}+1=0}
Wir haben also
x
2
{\displaystyle {x}^{2}}
z
{\displaystyle z}
z
0
=
1
{\displaystyle {z}_{0}=1}
Das ist jetzt die Lösung für die Gleichung mit
z
{\displaystyle z}
x
2
{\displaystyle {x}^{2}}
Resubstitution:
x
2
=
1
{\displaystyle {x}^{2}=1}
{\displaystyle {\sqrt {~}}}
→
x
1
/
2
=
±
1
{\displaystyle \rightarrow {x}_{1/2}=\pm 1}
Das gleiche Verfahren können wir mit Gleichungen wie
e
2
x
−
2
⋅
e
x
+
1
=
0
{\displaystyle {e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0}
e
x
{\displaystyle {e}^{x}}
Substitution:
e
2
x
−
2
⋅
e
x
+
1
=
0
⟹
e
x
=
z
z
2
−
2
⋅
z
+
1
=
0
{\displaystyle {e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0\;{\stackrel {{e}^{x}=z}{\Longrightarrow }}\;{z}^{2}-2\cdot z+1=0}
Die Lösung davon kennen wir bereits von oben:
z
0
=
1
{\displaystyle {z}_{0}=1}
Resubstitution:
e
x
=
1
{\displaystyle {e}^{x}=1}
→
x
=
ln
(
1
)
=
0
{\displaystyle \rightarrow x=\ln \left(1\right)=0}
e
2
x
−
4
⋅
e
x
+
3
=
0
Substitution:
z
=
e
x
⇒
z
2
−
4
⋅
z
+
3
=
0
⇒
z
1
=
1
z
2
=
3
Resubstitution:
e
x
=
z
1
=
1
|
l
n
⇒
x
1
=
l
n
(
1
)
=
0
e
x
=
z
2
=
3
|
l
n
⇒
x
2
=
l
n
(
3
)
≈
1
,
10
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{2x}-4\cdot e^{x}+3&=0\\{\text{Substitution: }}z=e^{x}\Rightarrow z^{2}-4\cdot z+3&=0\\\Rightarrow z_{1}&=1\\z_{2}&=3\\{\text{Resubstitution: }}e^{x}&=z_{1}=1&|ln\\\Rightarrow x_{1}&=ln(1)=0\\e^{x}&=z_{2}=3&|ln\\\Rightarrow x_{2}&=ln(3)\approx 1,10\end{aligned}}}
e
4
x
−
5
⋅
e
2
x
+
6
=
0
Subst.:
z
=
e
2
x
⇒
z
2
−
5
⋅
z
+
6
=
0
⇒
z
1
=
2
z
2
=
3
Resubst.:
e
2
x
=
2
|
l
n
⇒
2
⋅
x
=
l
n
(
2
)
|
:
2
⇒
x
1
=
l
n
(
2
)
2
≈
0
,
35
e
2
x
=
3
|
l
n
⇒
2
⋅
x
=
l
n
(
3
)
|
:
2
⇒
x
2
=
l
n
(
3
)
2
≈
0
,
55
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{4x}-5\cdot e^{\color {red}2x}+6&=0\\{\text{Subst.: }}z=e^{\color {red}2x}\Rightarrow z^{2}-5\cdot z+6&=0\\\Rightarrow z_{1}&=2\\z_{2}&=3\\{\text{Resubst.: }}e^{2x}&=2&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(2)&|:2\\\Rightarrow x_{1}&={\frac {ln(2)}{2}}\approx 0,35\\e^{2x}&=3&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(3)&|:2\\\Rightarrow x_{2}&={\frac {ln(3)}{2}}\approx 0,55\end{aligned}}}
3
2
x
−
3
x
−
2
=
0
Subst.:
z
=
3
x
⇒
z
2
−
1
⋅
z
−
2
=
0
⇒
z
1
=
−
1
z
2
=
2
Resubst.:
3
x
=
−
1
|
l
o
g
3
⇒
x
1
=
l
o
g
3
(
−
1
)
⇒
geht nicht
3
x
=
2
|
l
o
g
3
⇒
x
0
=
l
o
g
3
(
2
)
≈
0
,
63
{\displaystyle {\begin{aligned}3^{2x}-{\color {red}3^{x}}-2&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow z^{2}-1\cdot z-2&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-1\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}3^{x}&=-1&|log_{3}\\\Rightarrow x_{1}&=log_{3}(-1)\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\3^{x}&=2&|log_{3}\\\Rightarrow x_{0}&=log_{3}(2)\approx 0,63\end{aligned}}}
1
2
⋅
e
2
x
+
3
⋅
e
x
+
4
=
0
Subst.:
z
=
3
x
⇒
1
2
⋅
z
2
+
3
⋅
z
+
4
=
0
⇒
z
1
=
−
4
z
2
=
−
2
Resubst.:
e
x
=
−
4
⇒
geht nicht
e
x
=
−
2
⇒
geht nicht
⇒
Keine Lösung!
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot e^{2x}+3\cdot e^{x}+4&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot z^{2}+3\cdot z+4&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=-2\\{\text{Resubst.: }}e^{x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{x}&=-2\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\\Rightarrow &{\text{Keine Lösung!}}\end{aligned}}}
e
−
2
x
+
2
⋅
e
−
x
=
8
|
−
8
e
−
2
x
+
2
⋅
e
−
x
8
=
0
Subst.:
z
=
e
−
x
⇒
z
2
+
2
⋅
z
−
8
=
0
⇒
z
1
=
−
4
z
2
=
2
Resubst.:
e
−
x
=
−
4
⇒
geht nicht
e
−
x
=
2
|
l
n
⇒
−
x
=
l
n
(
2
)
|
⋅
(
−
1
)
⇒
x
0
=
−
l
n
(
2
)
≈
−
0
,
69
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}&=8&|-8\\e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}8&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}e^{-x}}\Rightarrow z^{2}+2\cdot z-8&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}e^{-x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{-x}&=2&|ln\\\Rightarrow -x&=ln(2)&|\cdot (-1)\\\Rightarrow x_{0}&=-ln(2)\approx -0,69\end{aligned}}}
Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen mit dem Substitutionsverfahren:
e
2
x
−
5
⋅
e
x
+
4
=
0
{\displaystyle e^{2x}-5\cdot e^{x}+4=0}
e
−
4
x
+
3
⋅
e
−
2
x
−
10
=
0
{\displaystyle e^{-4x}+3\cdot e^{-2x}-10=0}
14
=
e
x
⋅
(
e
x
+
5
)
{\displaystyle 14=e^{x}\cdot (e^{x}+5)}
3
⋅
4
x
+
3
⋅
2
x
=
2
{\displaystyle 3\cdot 4^{x}+3\cdot 2^{x}=2}
Ergebnisse (zufällige Reihenfolge):
-1,12
0 und 1,39
0,69
-0,55 
