Hilfreich für das Kapitel
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Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a x = b {\displaystyle a^{x}=b} bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (bspw. x) im Exponenten vorkommt. Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.
Schauen wir uns einfache Gleichungen wie 3 x = 27 {\displaystyle 3^{x}=27} an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: x = 3 {\displaystyle x=3} .
Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. 3 x = 20 {\displaystyle 3^{x}=20} . Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren. Spoiler: es macht keinen Spaß!
Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus !
Mathematisch gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren , genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.
Es gilt also:
Merke:
a x = b {\displaystyle a^{x}=b} genau dann wenn x = l o g a ( b ) {\displaystyle x=log_{a}(b)} .
Dabei nennt man a die Basis und b das Argument.
Gesprochen: "Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt..."
Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:
Merke:
l o g a ( b ) = l o g ( b ) l o g ( a ) {\displaystyle log_{a}(b)={\frac {log(b)}{log(a)}}}
Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.
Wir rechnen ein paar Beispiele:
( a ) 4 x = 20 ⇒ x = log 4 ( 20 ) ≈ 2 , 16 {\displaystyle (a){\begin{aligned}4^{x}&=20\\\Rightarrow x&=\log _{4}(20)\approx 2,16\end{aligned}}}
( b ) 51 x = 200 ⇒ x = log 51 ( 200 ) ≈ 1 , 34 {\displaystyle (b){\begin{aligned}51^{x}&=200\\\Rightarrow x&=\log _{51}(200)\approx 1,34\end{aligned}}}
Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen.
0 , 5 x = 2 {\displaystyle 0,5^{x}=2}
2 x = 0 , 5 {\displaystyle 2^{x}=0,5}
3 , 141 x = 5 {\displaystyle 3,141^{x}=5}
( − 2 ) x = 4 {\displaystyle (-2)^{x}=4} Lösungen:
x = l o g 0 , 5 ( 2 ) = − 1 {\displaystyle x=log_{0,5}(2)=-1}
x = l o g 2 ( 0 , 5 ) = − 1 {\displaystyle x=log_{2}(0,5)=-1}
x = l o g 3 , 141 ( 5 ) ≈ 1 , 406 {\displaystyle x=log_{3,141}(5)\approx 1,406}
Hier gibt es einen Fehler.
Merke: Der Logarithmus ist für negative Basen nicht definiert. Auch das Argument darf nicht negativ sein.
Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei ( − 2 ) x = 4 {\displaystyle (-2)^{x}=4} , nämlich x = 2 {\displaystyle x=2} .
Merke:
Besondere Logarithmen:
Beim Logarithmus zur Basis 10 wird oft die Basis weggelassen, also meint: l o g 10 ( b ) = l o g ( b ) {\displaystyle log_{10}(b)=log(b)}
Logarithmus zur Basis e wird auch als der natürliche Logarithmus bezeichnet: l o g e ( b ) = l n ( b ) {\displaystyle log_{e}(b)=ln(b)}
Der natürliche Logarithmus
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Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e . Die Eulersche Zahl e ist ungefähr e ≈ 2 , 718 {\displaystyle e\approx 2,718} .
Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt
Merke:
l o g e ( b ) = l n ( b ) {\displaystyle log_{e}(b)=ln(b)}
Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:
e x = 5 ⇒ x = l n ( 5 ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=5\\\Rightarrow x&=ln(5)\end{aligned}}}
Berechne den Exponenten x, der folgende Gleichungen löst:
e x = 4 {\displaystyle e^{x}=4}
e x = 2 {\displaystyle e^{x}=2}
e x = 0 , 5 {\displaystyle e^{x}=0,5} Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.
Direktes Auflösen und Logarithmieren
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Schauen wir uns die Gleichung e x − 5 = − 2 {\displaystyle e^{x}-5=-2} , dann können wir diese vergleichen mit der quadratischen Gleichung x 2 − 5 = − 2 {\displaystyle x^{2}-5=-2} . Die Lösung davon kennen wir:
x 2 − 5 = − 2 | + 5 x 2 = 3 | ⇒ x 1 = − 1 , 71 x 2 = + 1 , 71 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-5&=-2&|+5\\x^{2}&=3&|{\sqrt {}}\\\Rightarrow x_{1}&=-1,71\\x_{2}&=+1,71\\\end{aligned}}}
Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein a b x {\displaystyle a^{bx}} vorkommt. Anstatt die Wurzel zu ziehen müssen wir hierbei den Logarithmus von oben verwenden.
e x − 5 = − 2 | + 5 e x = 3 | ln ( ) x = ln ( 3 ) ≈ 1 , 10 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-5&=-2&|+5\\e^{x}&=3&|\ln()\\x&=\ln(3)\\&\approx 1,10\end{aligned}}}
Merke:
Auflösen von Exponentialgleichungen mit nur einem Typ a b x {\displaystyle a^{bx}} :
Auflösen, sodass a b x {\displaystyle a^{bx}} auf einer Seite alleine steht.
Logarithmieren mit der Basis a.
2 x − 1 = 4 | + 1 2 x = 5 | l o g 2 x = l o g 2 ( 5 ) ≈ 2 , 32 {\displaystyle {\begin{aligned}2^{x}-1&=4&|+1\\2^{x}&=5&|log_{2}\\x&=log_{2}(5)\approx 2,32\end{aligned}}}
2 ⋅ e x = 20 | : 2 e x = 10 | l n x = l n ( 10 ) ≈ 2 , 30 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot e^{x}&=20&|:2\\e^{x}&=10&|ln\\x&=ln(10)\approx 2,30\end{aligned}}}
3 2 x + 5 = 15 | − 5 3 2 x = 10 | l o g 3 2 x = l o g 3 ( 10 ) | : 2 x = l o g 3 ( 10 ) 2 ≈ 2 , 10 2 = 1 , 05 {\displaystyle {\begin{aligned}3^{2x}+5&=15&|-5\\3^{2x}&=10&|log_{3}\\2x&=log_{3}(10)&|:2\\x&={\frac {log_{3}(10)}{2}}\approx {\frac {2,10}{2}}=1,05\end{aligned}}}
− e 1 2 x − 7 = − 9 | + 7 − e 1 2 x = − 2 | ⋅ ( − 1 ) e 1 2 x = 2 | l n 1 2 x = l n ( 2 ) | ⋅ 2 x = 2 ⋅ l n ( 2 ) ≈ 2 ⋅ 0 , 69 = 1 , 38 {\displaystyle {\begin{aligned}-e^{{\frac {1}{2}}x}-7&=-9&|+7\\-e^{{\frac {1}{2}}x}&=-2&|\cdot (-1)\\e^{{\frac {1}{2}}x}&=2&|ln\\{\frac {1}{2}}x&=ln(2)&|\cdot 2\\x&=2\cdot ln(2)\approx 2\cdot 0,69=1,38\end{aligned}}}
3 ⋅ e x + 5 = 0 | − 5 3 ⋅ e x = − 5 | : 3 e x = − 5 3 | l n x = l n ( − 5 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}3\cdot e^{x}+5&=0&|-5\\3\cdot e^{x}&=-5&|:3\\e^{x}&=-{\frac {5}{3}}&|ln\\x&=ln\left(-{\frac {5}{3}}\right)\\\end{aligned}}}
Keine Lösung, da das Argument im Logarithmus negativ!
Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:
5 x − 9 = − 2 {\displaystyle 5^{x}-9=-2}
e 3 x − 2 = − 1 , 5 {\displaystyle e^{3x}-2=-1,5}
2 + e x = 1 − e x {\displaystyle 2+e^{x}=1-e^{x}}
e − x + 1 = 3 {\displaystyle e^{-x}+1=3} Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69
Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
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Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:
Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich
x 2 − x = 0 {\displaystyle x^{2}-x=0}
Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
x 2 − x = 0 x ⋅ ( x − 1 ) = 0 => x 1 = 0 => x − 1 = 0 => x 2 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-x&=0\\x\cdot (x-1)&=0\\=>x_{1}&=0\\=>x-1&=0\\=>x_{2}&=1\end{aligned}}}
Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:
( e x ) 2 − e x = 0 {\displaystyle (e^{x})^{2}-e^{x}=0}
Wenn wir hier e x {\displaystyle e^{x}} ausklammern, ergibt das:
e x ∗ ( e x − 1 ) = 0 {\displaystyle e^{x}*(e^{x}-1)=0}
Da e x {\displaystyle e^{x}} niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:
e x − 1 = 0 | + 1 e x = 1 | l n x = l n ( 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-1&=0&|+1\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}}
Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.
a x ⋅ a x = a x + x = a 2 x {\displaystyle a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x}=a^{2x}}
a x ⋅ a x ⋅ a x = a x + x + x = a 3 x {\displaystyle a^{x}\cdot a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x+x}=a^{3x}}
a x ⋅ a 2 x = a x + 2 x = a 3 x {\displaystyle a^{x}\cdot a^{2x}=a^{x+2x}=a^{3x}}
a 2 x ⋅ a 3 x = a 2 x + 3 x = a 5 x {\displaystyle a^{2x}\cdot a^{3x}=a^{2x+3x}=a^{5x}}
Merke:
Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein a b x {\displaystyle a^{bx}} enthält (abgesehen von 0).
Ausklammern von a b x {\displaystyle a^{bx}} , sodass b den größten Wert hat.
Den ausgeklammerten Teil ignorieren wir, da er niemals 0 wird.
Wir lösen die restliche Gleichung.
1 ⋅ e x − 1 ⋅ e 2 x = 0 | e x a u s k l a m m e r n e x ⋅ ( 1 − e x ) = 0 ⇒ e x ≠ 0 ⇒ 1 − e x = 0 | − 1 − e x = − 1 | ⋅ ( − 1 ) e x = 1 | l n x = l n ( 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot e^{x}-1\cdot e^{2x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-e^{x})&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-e^{x}&=0&|-1\\-e^{x}&=-1&|\cdot (-1)\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}}
2 ⋅ e 2 x − 3 ⋅ e x = 0 | e x a u s k l a m m e r n e x ⋅ ( 2 ⋅ e x − 3 ) = 0 ⇒ e x ≠ 0 ⇒ 2 ⋅ e x − 3 = 0 | + 3 2 ⋅ e x = 3 | : 2 e x = 3 2 | l n x = l n ( 3 2 ) ≈ 0 , 41 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot e^{2x}-3\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (2\cdot e^{x}-3)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 2\cdot e^{x}-3&=0&|+3\\2\cdot e^{x}&=3&|:2\\e^{x}&={\frac {3}{2}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {3}{2}}\right)\approx 0,41\end{aligned}}}
− 4 ⋅ e 3 x + 1 ⋅ e 2 x = 0 | e 2 x a u s k l a m m e r n e 2 x ⋅ ( − 4 ⋅ e 1 x + 1 ) = 0 ⇒ e 2 x ≠ 0 ⇒ − 4 ⋅ e 1 x + 1 = 0 | − 1 − 4 ⋅ e x = − 1 | : ( − 4 ) e x = 1 4 | l n x = l n ( 1 4 ) ≈ − 1 , 39 {\displaystyle {\begin{aligned}-4\cdot e^{3x}+1\cdot e^{2x}&=0&|e^{2x}ausklammern\\e^{2x}\cdot (-4\cdot e^{1x}+1)&=0\\\Rightarrow e^{2x}&\neq 0\\\Rightarrow -4\cdot e^{1x}+1&=0&|-1\\-4\cdot e^{x}&=-1&|:(-4)\\e^{x}&={\frac {1}{4}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {1}{4}}\right)\approx -1,39\end{aligned}}}
1 ⋅ 2 − x − 2 ⋅ 2 − 2 x = 0 | 2 − x a u s k l a m m e r n 2 − x ⋅ ( 1 − 2 ⋅ 2 − x ) = 0 ⇒ 2 − x ≠ 0 ⇒ 1 − 2 ⋅ 2 − x = 0 | − 1 − 2 ⋅ 2 − x = − 1 | : ( − 2 ) 2 − x = 1 2 | l o g 2 − x = l o g 2 ( 1 2 ) | ⋅ ( − 1 ) x = − l o g 2 ( 1 2 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot 2^{-x}-2\cdot 2^{-2x}&=0&|2^{-x}ausklammern\\2^{-x}\cdot (1-2\cdot 2^{-x})&=0\\\Rightarrow 2^{-x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-2\cdot 2^{-x}&=0&|-1\\-2\cdot 2^{-x}&=-1&|:(-2)\\2^{-x}&={\frac {1}{2}}&|log_{2}\\-x&=log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)&|\cdot (-1)\\x&=-log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1\end{aligned}}}
1 ⋅ e x − x ⋅ e x = 0 | e x a u s k l a m m e r n e x ⋅ ( 1 − x ) = 0 ⇒ e x ≠ 0 ⇒ 1 − x = 0 | − 1 − x = − 1 | ⋅ ( − 1 ) x = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}1\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-x)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-x&=0&|-1\\-x&=-1&|\cdot (-1)\\x&=1\end{aligned}}}
− e 3 x + 2 ⋅ e x = 0 {\displaystyle -e^{3x}+2\cdot e^{x}=0}
e 2 x − 5 ⋅ e 4 x = 0 {\displaystyle e^{2x}-5\cdot e^{4x}=0}
x 2 ⋅ e x − x ⋅ e x = 0 {\displaystyle x^{2}\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}=0}
1 2 ⋅ e − x − 1 4 ⋅ e − 4 x = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot e^{-x}-{\frac {1}{4}}\cdot e^{-4x}=0} Ergebnisse (durchmischt): -0,73; 0,35; -0,23; 0 und 1
Substitutionsverfahren
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Erinnerung: Gleichungen wie x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 {\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0} konnten wir über Substitution lösen. Wenn wir nämlich statt ⁴ und ² dort ² und ¹ stehen hätten, wäre es eine quadratische Gleichung, die wir leicht lösen können:
x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 {\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0} → x 2 − 2 x 1 + 1 = 0 {\displaystyle {x}^{2}-2{x}^{1}+1=0}
Damit wir nicht durcheinander kommen, haben wir statt x 2 {\displaystyle {x}^{2}} → z 2 {\displaystyle {z}^{2}} und x {\displaystyle x} → z {\displaystyle z} geschrieben:
Substitution: x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 {\displaystyle {x}^{4}-2{x}^{2}+1=0} → z 2 − 2 z 1 + 1 = 0 {\displaystyle {z}^{2}-2{z}^{1}+1=0}
Wir haben also x 2 {\displaystyle {x}^{2}} durch z {\displaystyle z} ersetzt, als Fachwort: substituiert. Die Gleichung können wir jetzt leicht lösen über binomische Formeln oder die abc-/pq-Formel:
z 0 = 1 {\displaystyle {z}_{0}=1}
Das ist jetzt die Lösung für die Gleichung mit z {\displaystyle z} , uns interessiert aber die Gleichung mit x 2 {\displaystyle {x}^{2}} . Deswegen machen wir die Ersetzung rückgängig, genannt Resubstitution:
Resubstitution: x 2 = 1 {\displaystyle {x}^{2}=1} | {\displaystyle {\sqrt {~}}}
→ x 1 / 2 = ± 1 {\displaystyle \rightarrow {x}_{1/2}=\pm 1}
Das gleiche Verfahren können wir mit Gleichungen wie e 2 x − 2 ⋅ e x + 1 = 0 {\displaystyle {e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0} machen, indem wir e x {\displaystyle {e}^{x}} durch z ersetzen:
Substitution: e 2 x − 2 ⋅ e x + 1 = 0 ⟹ e x = z z 2 − 2 ⋅ z + 1 = 0 {\displaystyle {e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0\;{\stackrel {{e}^{x}=z}{\Longrightarrow }}\;{z}^{2}-2\cdot z+1=0}
Die Lösung davon kennen wir bereits von oben: z 0 = 1 {\displaystyle {z}_{0}=1} . Durch Resubstitution erhalten wir:
Resubstitution: e x = 1 {\displaystyle {e}^{x}=1} | ln
→ x = ln ( 1 ) = 0 {\displaystyle \rightarrow x=\ln \left(1\right)=0}
e 2 x − 4 ⋅ e x + 3 = 0 Substitution: z = e x ⇒ z 2 − 4 ⋅ z + 3 = 0 ⇒ z 1 = 1 z 2 = 3 Resubstitution: e x = z 1 = 1 | l n ⇒ x 1 = l n ( 1 ) = 0 e x = z 2 = 3 | l n ⇒ x 2 = l n ( 3 ) ≈ 1 , 10 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{2x}-4\cdot e^{x}+3&=0\\{\text{Substitution: }}z=e^{x}\Rightarrow z^{2}-4\cdot z+3&=0\\\Rightarrow z_{1}&=1\\z_{2}&=3\\{\text{Resubstitution: }}e^{x}&=z_{1}=1&|ln\\\Rightarrow x_{1}&=ln(1)=0\\e^{x}&=z_{2}=3&|ln\\\Rightarrow x_{2}&=ln(3)\approx 1,10\end{aligned}}}
e 4 x − 5 ⋅ e 2 x + 6 = 0 Subst.: z = e 2 x ⇒ z 2 − 5 ⋅ z + 6 = 0 ⇒ z 1 = 2 z 2 = 3 Resubst.: e 2 x = 2 | l n ⇒ 2 ⋅ x = l n ( 2 ) | : 2 ⇒ x 1 = l n ( 2 ) 2 ≈ 0 , 35 e 2 x = 3 | l n ⇒ 2 ⋅ x = l n ( 3 ) | : 2 ⇒ x 2 = l n ( 3 ) 2 ≈ 0 , 55 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{4x}-5\cdot e^{\color {red}2x}+6&=0\\{\text{Subst.: }}z=e^{\color {red}2x}\Rightarrow z^{2}-5\cdot z+6&=0\\\Rightarrow z_{1}&=2\\z_{2}&=3\\{\text{Resubst.: }}e^{2x}&=2&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(2)&|:2\\\Rightarrow x_{1}&={\frac {ln(2)}{2}}\approx 0,35\\e^{2x}&=3&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(3)&|:2\\\Rightarrow x_{2}&={\frac {ln(3)}{2}}\approx 0,55\end{aligned}}}
3 2 x − 3 x − 2 = 0 Subst.: z = 3 x ⇒ z 2 − 1 ⋅ z − 2 = 0 ⇒ z 1 = − 1 z 2 = 2 Resubst.: 3 x = − 1 | l o g 3 ⇒ x 1 = l o g 3 ( − 1 ) ⇒ geht nicht 3 x = 2 | l o g 3 ⇒ x 0 = l o g 3 ( 2 ) ≈ 0 , 63 {\displaystyle {\begin{aligned}3^{2x}-{\color {red}3^{x}}-2&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow z^{2}-1\cdot z-2&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-1\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}3^{x}&=-1&|log_{3}\\\Rightarrow x_{1}&=log_{3}(-1)\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\3^{x}&=2&|log_{3}\\\Rightarrow x_{0}&=log_{3}(2)\approx 0,63\end{aligned}}}
1 2 ⋅ e 2 x + 3 ⋅ e x + 4 = 0 Subst.: z = 3 x ⇒ 1 2 ⋅ z 2 + 3 ⋅ z + 4 = 0 ⇒ z 1 = − 4 z 2 = − 2 Resubst.: e x = − 4 ⇒ geht nicht e x = − 2 ⇒ geht nicht ⇒ Keine Lösung! {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot e^{2x}+3\cdot e^{x}+4&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot z^{2}+3\cdot z+4&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=-2\\{\text{Resubst.: }}e^{x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{x}&=-2\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\\Rightarrow &{\text{Keine Lösung!}}\end{aligned}}}
e − 2 x + 2 ⋅ e − x = 8 | − 8 e − 2 x + 2 ⋅ e − x 8 = 0 Subst.: z = e − x ⇒ z 2 + 2 ⋅ z − 8 = 0 ⇒ z 1 = − 4 z 2 = 2 Resubst.: e − x = − 4 ⇒ geht nicht e − x = 2 | l n ⇒ − x = l n ( 2 ) | ⋅ ( − 1 ) ⇒ x 0 = − l n ( 2 ) ≈ − 0 , 69 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}&=8&|-8\\e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}8&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}e^{-x}}\Rightarrow z^{2}+2\cdot z-8&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}e^{-x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{-x}&=2&|ln\\\Rightarrow -x&=ln(2)&|\cdot (-1)\\\Rightarrow x_{0}&=-ln(2)\approx -0,69\end{aligned}}}
Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen mit dem Substitutionsverfahren:
e 2 x − 5 ⋅ e x + 4 = 0 {\displaystyle e^{2x}-5\cdot e^{x}+4=0}
e − 4 x + 3 ⋅ e − 2 x − 10 = 0 {\displaystyle e^{-4x}+3\cdot e^{-2x}-10=0}
14 = e x ⋅ ( e x + 5 ) {\displaystyle 14=e^{x}\cdot (e^{x}+5)}
3 ⋅ 4 x + 3 ⋅ 2 x = 2 {\displaystyle 3\cdot 4^{x}+3\cdot 2^{x}=2} Ergebnisse (zufällige Reihenfolge):
-1,12
0 und 1,39
0,69
-0,55