Mathematikunterricht/ Sek/ Exponentialfunktionen/ Exponentialgleichungen

Hilfreich für das Kapitel Bearbeiten

Problemstellung Bearbeiten

Der Logarithmus Bearbeiten

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Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form   bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (bspw. x) im Exponenten vorkommt. Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.

Schauen wir uns einfache Gleichungen wie   an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden:  .

Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw.  . Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren. Spoiler: es macht keinen Spaß!

Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus!

Mathematisch gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren, genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.

Es gilt also:

Merke:   genau dann wenn  .

Dabei nennt man a die Basis und b das Argument. Gesprochen: "Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt..."

Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:

Merke:  

Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.

Wir rechnen ein paar Beispiele:

 

 

Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen.

  •  
  •  
  •  
  •  

Lösungen:

  •  
  •  
  •  
  • Hier gibt es einen Fehler.
Merke: Der Logarithmus ist für negative Basen nicht definiert. Auch das Argument darf nicht negativ sein.

Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei  , nämlich  .

Merke: Besondere Logarithmen:

  1. Beim Logarithmus zur Basis 10 wird oft die Basis weggelassen, also meint:  
  2. Logarithmus zur Basis e wird auch als der natürliche Logarithmus bezeichnet:  

Der natürliche Logarithmus Bearbeiten

Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr  .

Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt

Merke:  

Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:

 

Berechne den Exponenten x, der folgende Gleichungen löst:

  1.  
  2.  
  3.  

Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.

Direktes Auflösen und Logarithmieren Bearbeiten

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Schauen wir uns die Gleichung  , dann können wir diese vergleichen mit der quadratischen Gleichung  . Die Lösung davon kennen wir:

 

Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein   vorkommt. Anstatt die Wurzel zu ziehen müssen wir hierbei den Logarithmus von oben verwenden.

 

Merke: Auflösen von Exponentialgleichungen mit nur einem Typ  :

  1. Auflösen, sodass   auf einer Seite alleine steht.
  2. Logarithmieren mit der Basis a.

Beispiele Bearbeiten


 


 


 


 


 
Keine Lösung, da das Argument im Logarithmus negativ!


Übungen Bearbeiten

Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt Bearbeiten

Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:

Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich

 

Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

 

Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:

 

Wenn wir hier   ausklammern, ergibt das:

 

Da   niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:

 

Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.

  •  
  •  
  •  
  •  

Merke: Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein   enthält (abgesehen von 0).

  1. Ausklammern von  , sodass b den größten Wert hat.
  2. Den ausgeklammerten Teil ignorieren wir, da er niemals 0 wird.
  3. Wir lösen die restliche Gleichung.


Beispiele Bearbeiten


 


 


  1.  

  2.  

  3.  

Übungen Bearbeiten

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ergebnisse (durchmischt): -0,73; 0,35; -0,23; 0 und 1

Substitutionsverfahren Bearbeiten

Erinnerung: Gleichungen wie  konnten wir über Substitution lösen. Wenn wir nämlich statt ⁴ und ² dort ² und ¹ stehen hätten, wäre es eine quadratische Gleichung, die wir leicht lösen können:

  

Damit wir nicht durcheinander kommen, haben wir statt   und   geschrieben:

Substitution:   

Wir haben also  durch  ersetzt, als Fachwort: substituiert. Die Gleichung können wir jetzt leicht lösen über binomische Formeln oder die abc-/pq-Formel:

 

Das ist jetzt die Lösung für die Gleichung mit  , uns interessiert aber die Gleichung mit  . Deswegen machen wir die Ersetzung rückgängig, genannt Resubstitution:

Resubstitution:  |  

 

Das gleiche Verfahren können wir mit Gleichungen wie  machen, indem wir  durch z ersetzen:

Substitution:  

Die Lösung davon kennen wir bereits von oben:  . Durch Resubstitution erhalten wir:

Resubstitution:  | ln

 

Merke: Gleichungen der Form   ( ) löst man über Substitution:

  1. Substitution:  
  2. Auflösen der Gleichung nach z:  und  
  3. Resubstitution und Auflösen nach x:  und  

Beispiele Bearbeiten


  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

  5.  

Übungen Bearbeiten

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen mit dem Substitutionsverfahren:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ergebnisse (zufällige Reihenfolge):

  • -1,12
  • 0 und 1,39
  • 0,69
  • -0,55

Spezialfall Bearbeiten