Mathematikunterricht/ Quadratische Gleichungen
Gleichungen mit mindestens einem x2-Term (aber keiner höheren Potenz) heißen quadratische Gleichungen. Oft treten diese in den folgenden Formen auf:
- reinquadratische Gleichungen (ax2 + c = d): es gibt nur Terme mit x2 und ohne x.
- Gleichungen nur mit x (a x2 + bx = 0): es gibt nur Termglieder, die x enthalten und keine ohne x.
- gemischtquadratische Gleichungen (ax2 + bx + c = d): es gibt Terme mit x2, mit x1 und ohne x.
Rein quadratische Gleichungen (ax2 + c = 0)
BearbeitenZeichnerische Lösung
Bearbeiten- Den Graphen der zugehörigen Parabel zeichnen/ zeichne die Funktion y = ax2 + c
- An den Nullstellen des Graphen ist Y =0, also 0 = ax2 + c
- Die Nullstellen der Funktion y = ax2 + c sind die Lösungen der Gleichung ax2 + c = 0
Merke: Zeichnerische Lösungen sind häufig unpräzise.
Rechnerische Lösung
BearbeitenRein quadratische Gleichungen löst man durch Äquivalenzumformungen, wenn man nicht direkt eine binomische Formel erkennt.
Anleitung |
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Für binomische Formeln siehe Binomische_Formeln.
Merke: Beim Lösen quadratischer Gleichungen kann es
- keine
- eine
- zwei
Lösungen geben.
Algebraisch kommt das zustande, da man an irgendeiner Stelle die Wurzel ziehen muss. Dabei gibt es aber
- zwei Lösungen, denn beim Quadrieren (Rückwärts-Rechnen) fällt das Vorzeichen ja weg:
- eine Lösung, wenn auftritt.
- keine Lösung, wenn eine Seite negativ ist, denn ein Quadrat ist immer positiv (zumindest in ).
Graphisch: Das liegt daran, dass eine quadratische Gleichung immer als Nullstellen-Problem bei einer Parabel betrachtet werden kann. Dabei gibt es (graphisch) die drei Fälle:
Hier ein paar Beispiele:
(a)
(b)
(c)
(d)
=> Keine Lösung
Satz vom Nullprodukt (a x2 + bx = 0)
BearbeitenKommen in einer quadratischen Gleichung nur Termglieder mit x vor, so kann man x ausklammern:
An dieser Stelle hilft:
Merke: Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Das verwenden wir hier, indem wir die Faktoren einzeln prüfen, wann sie Null ergeben:
Gemischt quadratische Gleichungen (ax2 + bx + c = d)
Bearbeiten- pq-Formel: Umformen in die Normalform x² + px + q = 0
Lösungsformel verwenden:
Um heraus zu finden, welche X-Werte die Gleichung ax² + bx + c = 0 erfüllen, muss die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden, dazu muss sie durch den Faktor, der vor dem x² steht, geteilt werden. - abc-Formel: Umformen in die Form ax² + bx + c = 0
Lösungsformel verwenden:
Merke: Die abc-Formel ist immer auf quadratische Gleichungen anwendbar. Bei der pq-Formel muss man häufig durch den Faktor vor x² teilen, wodurch sich unschöne Brüche ergeben.
Wenn du dir noch keine der beiden Formeln gemerkt hast, dann ist die abc-Formel die bessere Empfehlung, da man weniger komplexe Rechnungen anfertigen muss.
Beispiel:
(a)
(b)
(c)
Merke:
- Auch bei der Lösungsformel ist auf das Vorzeichen innerhalb der Wurzel zu achten. Dieses darf nicht negativ sein.
- Auskunft über die Anzahl der Lösungen gibt die Diskriminante .
- Ist D < 0, gibt es keine Lösungen.
- Ist D = 0, gibt es genau eine Lösung (nämlich .
- Ist D > 0, so gibt es zwei Lösungen.
Exkurs: Quadratische Ergänzung zur Bestimmung des Scheitelpunkts
BearbeitenNach Umformen der Funktion y = ax2 + bx + c in die Scheitelform y = a(x + d)2+e lässt sich der Scheitelpunkt S (-d|e) der Parabel ablesen. Das Vorzeichen von d wird umgekehrt. Weil man die binomischen Formeln anwenden muss, ist eine quadratische Ergänzung nötig. Dabei wird ein Termglied so eingefügt, dass eine binomische Formel und ein Rest entstehen.
Beispiel:
y = 2x2 + 12x + 22 |Faktor vor X ausklammern = 2( x2 + 6x + 11) = 2( x2 + 2·3x + 3²-3² + 11) = 2[(x + 3)2 + 2] = 2( x + 3)2 + 4
Der Scheitelpunkt dieser Gleichung ist S(-3|4)
Übungen
BearbeitenAufgabe 1: Löse durch direktes Auflösen.
- x² - 3 = 0
- 2 x² - 8 = 0
- 3 x² + 4 = 0
Aufgabe 2: Löse durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt.
Aufgabe 3: Löse durch die abc-Lösungsformel.
Lösungen
BearbeitenAufgabe 1:
- Keine Lösung
Aufgabe 2:
Aufgabe 3: