Mathematikunterricht/ Sek/BKI/Polynomfunktionen/Loesen von Polynomgleichungen

Lösen von Polynomgleichungen

Siehe auch:

• Gleichungssysteme
• Lösen quadratischer Gleichungen

Nur ein Summand mit $x^{n}$

Wir wollen Gleichungen folgender Form lösen:

$a\cdot x^{n}+c=d$	$2x^{3}-2=-18$
1. Auflösen nach $x^{n}$:	$2x^{3}-2=-18$	$\mid +2$
	$2x^{3}=-16$	$\mid :2$
2. n-te Wurzel ziehen:	$x^{3}=-8$	$\mid {\sqrt[{3}]{\phantom {x}}}$
	$x=-2$

Beispiele:

(a)
${\begin{aligned}{\frac {1}{3}}x^{4}-3&=24&&\mid +3\\{\frac {1}{3}}x^{4}&=27&&\mid \cdot 3\\x^{4}&=81&&\mid {\sqrt[{4}]{\phantom {x}}}\\x_{1/2}&=\pm 3\\\end{aligned}}$

(b)
${\begin{aligned}{\frac {1}{5}}x^{3}-1&=24&&\mid +1\\{\frac {1}{5}}x^{3}&=25&&\mid \cdot 5\\x^{3}&=125&&\mid {\sqrt[{3}]{\phantom {x}}}\\x&=5\end{aligned}}$

Merke: Bei geraden Wurzeln (2, 4, 6,...) gibt es zwei Lösungen ($\pm$), bei ungeraden Wurzeln (3, 5, 7,...) gibt es nur eine Lösung.

Übungen: Lösen Sie folgende Polynomgleichungen

1. $x^{3}=8$
2. $x^{4}=-2$
3. $3x^{3}+3=195$
4. $4x^{4}-2=2$
5. $x^{3}+2=-62$
6. ${\frac {1}{2}}x^{4}+1=9$

Lösungen in durchmischter Reihenfolge:

• keine Lösung
• $\pm 1$
• +2
• $\pm 2$
• -4
• +4