Mathematikunterricht/ Potenzen

Wir nutzen die Potenzen als verkürzte Schreibweise einer Multiplikation gleicher Zahlen.

• Werden zwei gleiche Zahlen miteinander multipliziert, so nennt man sie Quadratzahlen. Anstelle der Rechnung: 8 · 8 = 64, kann man 8² = 64 schreiben.

• Bei der Multiplikation von drei gleichen Zahlen, bezeichnet man diese als Kubikzahlen. Man kann Anstelle der Rechnung: 2 · 2 · 2 = 8, auch 2³ = 8 schreiben.

Bezeichnungen

Alle Zeichen und ihre Position haben eine bestimmte Bezeichnung:

Am Beispiel $3^{4}=81$, können wir anhand der verschiedenen Zahlen erklären, was was ist.

• Die Zahl die statt der 3 da steht, bezeichnet man als die Basis. Die Basis fasst alle gleichnamigen Faktoren zusammen.
• Die Zahl die statt der hochgestellten Vier steht, bezeichnet man als Exponent. Der Exponent gibt an, wie oft der Faktor (hier: 3) mit sich selber multipliziert wurde.
• Die Zahl die statt der 81 steht, bezeichnet man als Potenzwert. Der Potenzwert stellt das Ergebnis der vielfachen Multiplikation eines Faktors dar.

Kurz

Die Potenz $a^{n}$ ist ein Produkt mit n gleichen Faktoren a.

$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a$

Positiv und Negativ

• Man erhält einen positiven Potenzwert, wenn die Basis ohnehin schon positiv ist oder wenn die hochgestellte Zahl eine gerade Zahl ist, sprich: 2, 4, 6, 8, 10... .

Bei einer geraden hochgestellten Zahl wird der Potenzwert ebenfalls positiv, wenn die Basis negativ ist.

Beispiel 1: (-3)² = 9

Beispiel 2: 4² = 16

• Man erhält einen negativen Potenzwert, wenn die Basis ohnehin schon negativ ist, sie bleibt auch negativ wenn die hochgestellte Zahl eine gerade Zahl ist, aber nur wenn das Minuszeichen außerhalb einer Klammer steht, also wie ein Rechenzeichen behandelt wird. Oder steht eine negative Basis in einer Klammer sammt Minuszeichen und die Hochgestellte Zahl ist ungrade, sprich: 3,5,7,9 ..., wird das Ergebnis negativ. Gleiches gilt dafür, dass die Basis und der Exponent (ungerade) in Klammern stehen und außerhalb das Minuszeichen steht.

Beispiel 1: -3² = -9

Beispiel 2: -(3²) = -9

Beispiel 3: (-3)³ = -27

Beispiel 4: -3³ = -27

Beispiel 5: -(3³) = -27

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Potenzgesetze

1.

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

Bei einer Multiplikation von zwei oder mehreren Potenzen, wo die Basen gleich sind, sich die Exponenten jedoch unterscheiden, werden die Basen zusammengefasst und die Exponenten addiert.

Beispiel: $3^{2}\cdot 3^{4}=3^{6}=729$

2.

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Bei einer Division von zwei oder mehreren Potenzen, wo die Basen gleich sind, sich die Exponenten jedoch unterscheiden, werden die Basen zusammengefasst und die Exponenten subtrahiert.

Beispiel: ${\frac {5^{6}}{5^{4}}}=5^{6-4}=5^{2}=25$

3.

$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$

Sind die Basen einer Multiplikation von zwei oder mehereren Potenzen, wo die Basen unterschiedlich sind die Exponenten jedoch gleich sind, werden die Basen in einer Klammer gesetzt und hinter der Klammer der zusammengefasste Exponent.

Beispiel: $2^{3}\cdot 5^{3}=(2\cdot 5)^{3}=10^{3}=1000$

4.

${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

Sind in einer Division von zwei oder mehr Potenzen die Basen unterschiedlich, die Exponenten jedoch gleich, werden die Basen in eine Klammer gesetzt und dort dividiert, die Exponenten werden zusammengefasst und hinter die Klammer gesetzt.

Beispiel: ${\frac {60^{5}}{30^{5}}}=\left({\frac {60}{30}}\right)^{5}=2^{5}=32$

5.

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Exponenten die durch Klammern von einander getrennt sind werden miteinander multipliziert.

Beispiel:$(3^{2})^{4}=3^{2\cdot 4}=3^{8}=6561$

6.

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

Ist der Exponent einer Potenz negativ, so wird von dieser Potenz der Kehrwert genommen.

Beispiel:$2^{-5}={\frac {1}{2^{5}}}={\frac {1}{32}}=0{,}03125$

7.

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Ist der Exponent einer Potenz ein Bruch, so wandelt man diese in eine Wurzel. Dabei schreibt man die Basis unter die Wurzel und der Zähler des Bruches wird ihr neuer Exponent, der Nenner des Bruches gibt an die wievielte Wurzel es ist, n-ten Wurzel.