Wir beschäftigen uns hier mit der mittleren Lage der Verteilung von
X
{\displaystyle X}
E
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X)}
X
{\displaystyle X}
Um die Streuung zu messen, betrachten wir, wie stark die Werte von
X
{\displaystyle X}
E
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X)}
|
X
−
E
(
X
)
|
{\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|}
X
{\displaystyle X}
E
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X)}
E
(
|
X
−
E
(
X
)
|
)
{\displaystyle \operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|)}
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
{\displaystyle \operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}
Das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen
X
{\displaystyle X}
Varianz von
X
{\displaystyle X}
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
Var
(
X
)
:=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (X):=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2}).}
Weil die Varianz eine quadratische Größe ist, wird, wenn
X
{\displaystyle X}
2 ausgedrückt. Das bildet eine Schwierigkeit bei der praktischen Anwendung, die sich noch deutlicher zeigt, wenn wir die Varianz von z. B.
10
X
{\displaystyle 10X}
Var
(
10
X
)
=
100
⋅
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (10X)=100\cdot \operatorname {Var} (X)}
Unter der Standardabweichung einer Zufallsvariablen
X
{\displaystyle X}
σ
X
{\displaystyle \sigma _{X}}
σ
(
X
)
{\displaystyle \sigma (X)}
σ
X
:=
V
a
r
(
X
)
.
{\displaystyle \sigma _{X}:={\sqrt {\mathrm {Var} (X)}}.}
Um
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
Für die Varianz einer Zufallvariablen
X
{\displaystyle X}
V
a
r
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
.
{\displaystyle \mathrm {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.}
Vorsicht ist geboten bei Berechnungen mit dieser Formel. Außer durch Rechenfehler entsteht auch durch vorzeitiges oder zu grobes Abrunden der Zwischenergebnisse leicht ein ungenauer Wert für die Varianz, oft sogar ein negativer Wert.
Wir zeigen an Hand eines Beispiels einige Berechnungen.
Bearbeiten
Die nächste Tabelle zeigt die Verteilung von
M
{\displaystyle M}
Var
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (M)}
m
{\displaystyle m}
P
(
M
=
m
)
{\displaystyle P(M=m)}
m
P
(
M
=
m
)
{\displaystyle mP(M=m)}
m
−
E
(
M
)
{\displaystyle m-\operatorname {E} (M)}
(
m
−
E
(
M
)
)
2
{\displaystyle (m-\operatorname {E} (M))^{2}}
(
m
−
E
(
M
)
)
2
P
(
M
=
m
)
{\displaystyle (m-\operatorname {E} (M))^{2}P(M=m)}
m
2
P
(
M
=
m
)
{\displaystyle m^{2}P(M=m)}
1
1/36
1/36
−125/36
15625/1296
15625/46656
1/36
2
3/36
6/36
−89/36
7921/1296
23763/46656
12/36
3
5/36
15/36
−53/36
2809/1296
14045/46656
45/36
4
7/36
28/36
−17/36
289/1296
2023/46656
112/36
5
9/36
45/36
19/36
361/1296
3249/46656
225/36
6
11/36
66/36
55/36
3025/1296
33275/46656
396/36
Total
36/36
161/36
91980/46656
791/36
Es ergibt sich
E
(
M
)
=
161
/
36
{\displaystyle \operatorname {E} (M)=161/36}
V
a
r
(
M
)
=
E
(
(
M
−
E
(
M
)
)
2
)
=
∑
m
=
1
6
(
m
−
161
36
)
2
⋅
P
(
M
=
m
)
=
91980
46656
≈
1
,
97
.
{\displaystyle \mathrm {Var} (M)=\operatorname {E} ((M-\operatorname {E} (M))^{2})=\sum _{m=1}^{6}{\big (}m-{\tfrac {161}{36}}{\big )}^{2}\cdot P(M=m)={\tfrac {91980}{46656}}\approx 1{,}97\,.}
Mit dem Verschiebungssatz bekommen wir gleichfalls:
V
a
r
(
M
)
=
E
(
M
2
)
−
(
E
(
M
)
)
2
=
∑
m
=
1
6
m
2
P
(
M
=
m
)
−
(
E
(
M
)
)
2
=
791
36
−
(
161
36
)
2
=
91980
46656
.
{\displaystyle \mathrm {Var} (M)=\operatorname {E} (M^{2})-(\operatorname {E} (M))^{2}=\sum _{m=1}^{6}m^{2}P(M=m)-(\operatorname {E} (M))^{2}={\tfrac {791}{36}}-{\big (}{\tfrac {161}{36}}{\big )}^{2}={\tfrac {91980}{46656}}\,.}
Die Standardabweichung ist:
σ
M
=
V
a
r
(
M
)
=
91980
46656
=
1
,
40
.
{\displaystyle \sigma _{M}={\sqrt {\mathrm {Var} (M)}}={\sqrt {\tfrac {91980}{46656}}}=1{,}40\,.}
Wir berechnen auch
Var
(
Z
{\displaystyle \operatorname {Var} (Z}
z
{\displaystyle z}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
P
(
Z
=
z
)
{\displaystyle P(Z=z)}
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
36/36
z
P
(
Z
=
z
)
{\displaystyle zP(Z=z)}
2/36
6/36
12/36
20/36
30/36
42/36
40/36
36/36
30/36
22/36
12/36
252/36
z
2
P
(
Z
=
z
)
{\displaystyle z^{2}P(Z=z)}
4/36
18/36
48/36
100/36
180/36
294/36
320/36
324/36
300/36
242/36
144/36
1974/36
Also ist
V
a
r
(
Z
)
=
E
(
Z
2
)
−
(
E
(
Z
)
)
2
=
1974
36
−
49
=
210
36
=
5
5
6
{\displaystyle \mathrm {Var} (Z)=\operatorname {E} (Z^{2})-(\operatorname {E} (Z))^{2}={\tfrac {1974}{36}}-49={\tfrac {210}{36}}=5{\tfrac {5}{6}}}
und
σ
Z
=
Var
(
Z
)
=
210
36
=
2
,
42
.
{\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {\operatorname {Var} (Z)}}={\sqrt {\tfrac {210}{36}}}=2{,}42\,.}
Man Bemerke, dass die Streuung in
Z
{\displaystyle Z}
M
{\displaystyle M}
Die nächsten Eigenschaften der Varianz sind von Bedeutung.
Bearbeiten
Für die Varianz einer Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
(a)
Var
(
X
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0}
σ
(
X
)
≥
0
{\displaystyle \sigma (X)\geq 0}
(b) wenn
Var
(
X
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0}
X
{\displaystyle X}
P
(
X
=
E
(
X
)
)
=
1
{\displaystyle P(X=\operatorname {E} (X))=1}
(c)
Var
(
a
X
+
b
)
=
a
2
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)}
σ
(
a
X
+
b
)
=
|
a
|
σ
(
X
)
{\displaystyle \sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Beweis
(c)
Var
(
a
X
+
b
)
=
E
(
(
a
X
+
b
−
E
(
a
X
+
b
)
)
2
)
=
E
(
(
a
X
+
b
−
a
E
(
X
)
−
b
)
2
)
=
a
2
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
=
a
2
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+b)=\operatorname {E} ((aX+b-\operatorname {E} (aX+b))^{2})=\operatorname {E} ((aX+b-a\operatorname {E} (X)-b)^{2})=a^{2}\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=a^{2}\operatorname {Var} (X)}
Bearbeiten
Wir haben berechnet:
Var
(
Z
)
=
E
(
Z
2
)
−
(
E
(
Z
)
)
2
=
5
5
6
{\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=\operatorname {E} (Z^{2})-(\operatorname {E} (Z))^{2}=5{\tfrac {5}{6}}}
und
σ
Z
=
210
36
=
2
,
42
.
{\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {\frac {210}{36}}}=2{,}42\,.}
Nun ist
Z
=
X
+
Y
{\displaystyle Z=X+Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
+
Y
{\displaystyle X+Y}
X
+
X
=
2
X
{\displaystyle X+X=2X}
2
X
{\displaystyle 2X}
Var
(
2
X
)
=
2
2
V
a
r
(
X
)
=
4
∑
x
=
1
6
(
x
−
7
2
)
2
⋅
1
6
=
4
⋅
105
36
=
11
2
3
≠
V
a
r
(
Z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (2X)=2^{2}\mathrm {Var} (X)=4\sum _{x=1}^{6}{\big (}x-{\tfrac {7}{2}}{\big )}^{2}\cdot {\tfrac {1}{6}}=4\cdot {\tfrac {105}{36}}=11{\tfrac {2}{3}}\neq \mathrm {Var} (Z)\,.}
