Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Varianz bekannter Verteilungen

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K7: Varianz bekannter Verteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

7.3 Varianz bekannter Verteilungen

Als Erweiterung des Paragrafen 6.2 listen wir in diesem Paragrafen die Varianzen einiger bekannten diskreten Verteilungen auf.

Satz 7.3.1

1. Entartete Verteilung.

$\!\;\mathrm {Var} (X)=0.$

2. Bernoulli-Verteilung (mit Parameter p = p_X(1)). .

$\!\;\mathrm {Var} (X)=p(1-p).$

3. Uniforme oder Gleichverteilung (auf den Zahlen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}\,$).

$\!\;\mathrm {Var} (X)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.$

4. Binomial-Verteilung (mit Parametern n und p).

$\!\;\mathrm {Var} (X)=np(1-p).$

5. Hypergeometrische Verteilung (mit Parametern N, M und n).

$\mathrm {Var} (X)=n{\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N}}{\frac {N-n}{N-1}}=np(1-p){\frac {N-n}{N-1}}.$

worin wir M/N = p gestellt haben.

6. Geometrische Verteilung (mit Parameter p).

$\!\;\mathrm {Var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$.

7. Poisson-Verteilung (mit Parameter μ).

$\!\;\mathrm {Var} (X)=\mu .$

Wir merken auf dass die Varianz der hypergeometrische Verteilung sich um einen Faktor (N-n)/(N-1) unterscheidet von der Varianz der Binomialverteilung. Dieser Faktor heißt Korrektionsfaktor für endliche Gesamtheiten, weil bei Ziehungen ohne Zurücklegen aus eine dichotome Masse (d.h. eine Gesamtheit mit zwei Merkmalen, z.B. Erfolg und Misserfolg) die Anzahl der Erfolge X bei einer endlichen Gesamtheit hypergeometrisch Verteilt ist und bei einer unendlichen Gesamtheit (oder bei Ziehungen mit Zurücklegen) binomialverteilt.