Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Einführung

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K7: Einführung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

7.1 Einführung

Um die Verteilung einer Zufallsvariable X zu charakterisieren, könnten wir bis jetzt die Erwartungswert EX benutzen als ein Maß des "Mitten", des "Zentrums", der Verteilung. Außer das "Mitten" der Verteilung möchten wir auch andere Aspekte der Verteilung von X mittels einer Zahl beschreiben. Dazu eignen sich die Erwartungswerte der Potenzen von X, die sogenannte Momente. Diese Momente spielen auch in der fortgeschrittenen Theorie eine wichtige Rolle.

Definition 7.1.1

Es sei X eine Zufallsvariable und n eine natürliche Zahl. Als Moment der Ordnung n, oder kurz n-tes Moment, von X, bezeichnen wir den Erwartungswert der n-ten Potenz von X, also die Zahl EXⁿ. Als zentrales Moment der Ordnung n, oder kurz n-tes zentrale Moment von X, bezeichnen wir den Erwartungswert der n-ten Potenz von X–EX, also die Zahl E(X–EX)ⁿ (alles vorausgesetzt die Erwartungswerte existieren).

Wir können sagen dass im Allgemeinen, neben das erste Moment EX als Bezeichnung der "Lage" der Verteilung von X, die höhere Momente und die zentrale Momente Kenngrößen sind der "Form" der Verteilung. Das ist auch verständlich, denn die "Form" der Verteilung ändert sich nicht wenn die Verteilung verschoben wird, d.h. wenn wir statt X die Zufallvariable X + b betrachten. Es liegt dann nah die Verteilung von X–EX zu betrachten, derer "Lage" rund 0 ist.

Nicht alle Momente einer Zufallsvariable brauchen zu existieren. Der nächste Satz gibt Ausschluss.

Satz 7.1.1

Wenn das n-te Moment einer Zufallvariable $X$ existiert, existieren auch das n-te zentrale Moment und alle niedrige Momente und zentrale Momente.

Beweis

Für $k\leq n$ gilt:

$|x|^{k}\leq 1+|x|^{n},$,

also ist

$\sum _{x\in S_{X}}|x|^{k}p_{X}(x)\leq 1+\sum _{x\in S_{X}}|x|^{n}p_{X}(x).$.

Und weiter

$|X-EX|^{n}=\left|\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}X^{k}(-EX)^{n-k}\right|\leq \sum _{k}{\tbinom {n}{k}}|X|^{k}|EX|^{n-k}$.