Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K5: Identisch verteilte Zufallsvariablen

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K5: Identisch verteilte stochastische Variablen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

5.5 Identisch verteilte Zufallvariablen

Zwei Zufallvariablen X und Y können, obwohl sie verschieden sind und möglicherweise auf ganz unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsräume definiert sind, doch dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben.

Beispiel 1

Wir werfen einen fairen Würfel und nennen die Augenzahl X. Wenn wir Y=7–X definieren, ist Y verschieden von X, aber hat dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung wie X.

Beispiel 2

Es sei X binomialverteilt mit Parametern n und 1/2, und Y = n - X; dann sind X und Y verschieden, aber haben dieselbe Verteilung.

Definition 5.5.1

Wir nennen zwei stochastische Variablen oder Vektoren X und Y identisch verteilt, und notieren X ~ Y, wenn X und Y dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, also wenn S_X = S_Y und p_X = p_Y.

Wir können identisch verteilte Zufallvariablen manchmal geschickt benutzen, denn, wenn X und Y identisch verteilt sind, sind z.B. auch X² und Y² oder X-3 und Y-3 identisch verteilt. Allgemein gilt:

Satz 5.5.1

Wenn X und Y identisch verteilt sind, sind auch g(X) und g(Y) identisch verteilt.

Wir zeigen eine Anwendung.

Beispiel 3

Es seien X und Y unabhängig und beide binomialverteilt mit Parametern bzw. m und p, und n und p. Im vorigen Paragrafen berechneten wir dass X+Y auch binomialverteilt ist, und zwar mit Parametern m+n und p. Wir können dieses Ergebnis auch auf ganz einfache Weise bekommen mit Hilfe identisch verteilter Zufallvariablen. Es seien Z₁,...,Z_m,Z_m+1,...,Z_m+n unabhängige identisch verteilte Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Also P(Z_k=1) = 1 – P(Z_k=0) = p. Wir wissen schon dass X ~ Z₁+...+Z_m und Y ~ Z_m+1+...+Z_m+n. Wegen der Unabhängigkeit ist also (X,Y) ~ (Z₁+...+Z_m, Z_m+1+...+Z_m+n). Wir dürfen nun konkludieren dass X + Y ~ Z₁+...+Z_m+n, also dass X + Y binomialverteilt ist mit Parametern m+n und p.