Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Einführung

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K6: Einführung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.1 Einführung

Was erwarten wir wenn wir einmal würfeln? Gemeint ist nicht alle mögliche Ergebnisse mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu nennen, sondern nur eine Zahl. Wir können auch fragen was jemand, der die Augenzahl X gewinnt, (maximal) pro Wurf bereit ist zu bezahlen. Diesen Betrag nennen wir die erwartete Augenzahl, oder die Erwartung(swert) der Augenzahl X. Um die erwartete Augenzahl zu bestimmen, wiederholen wir das Spiel. Nach n unabhängigen Würfen eines fairen Würfels, wird der Mittelwert der Augenzahl ${\bar {x}}$ für große n ein gutes Indiz für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X sein. Es gilt:

${\bar {x}}=fq(1)\times 1+fq(2)\times 2+fq(3)\times 3+fq(4)\times 4+fq(5)\times 5+fq(6)\times 6$,

worin fq(k) der Frequenzquotient ist des Ergebnisses k bei den n Würfen. Weil der Frequenzquotient Modell war für die Wahrscheinlichkeit, werden wir die erwartete Augenzahl EX definieren wie:

$EX=p_{X}(1)\times 1+p_{X}(2)\times 2+p_{X}(3)\times 3+p_{X}(4)\times 4+p_{X}(5)\times 5+p_{X}(6)\times 6$.

Im Fall eines fairen Würfels wird das:

$EX={\tfrac {1}{6}}\times 1+{\tfrac {1}{6}}\times 2+{\tfrac {1}{6}}\times 3+{\tfrac {1}{6}}\times 4+{\tfrac {1}{6}}\times 5+{\tfrac {1}{6}}\times 6=3{\tfrac {1}{2}}$

Die allgemeine Definition des Erwartungswerts lautet:

Definition 6.1.1

Unter die Erwartung (oder Erwartungswert) einer Zufallsvariable X verstehen wir die Zahl

$EX=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot p_{X}(x),$

vorausgesetzt die Summe konvergiert absolut, also wenn

$\sum _{x\in S_{X}}|x|\cdot P(X=x)<\infty .$

Wenn nicht, sagen wir dass die Erwartung nicht existiert.

Wie die Definition zeigt, ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable X der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte von X, mit den Wahrscheinlichkeiten der Werte als Gewichte.

Beispiel 1

Die untenstehende Verteilung betrifft die Anzahl der Kindern der Ehepaaren eines Landes.

$k$	0	1	2	3	4	Total
$p(k)$	0,15	0,30	0,30	0,20	0,05	1,00
$kp(k)$	0	0,30	0,60	0,60	0,20	1,70 = $\operatorname {E} X$

Es sei X die Anzahl der Kinder eines beliebigen Ehepaars in dem Land. Dann ist S_X = {0,1,2,3,4} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird gegeben durch die obigen Verteilung. Die mittlere Anzahl der Kinder pro Ehepaar ist dann die Erwartungswert EX von X; also

EX = 0 × 0,15 + 1 × 0,30 + 2 × 0,30 + 3 × 0,20 + 4 × 0,05 = 1,70.

Die Berechnung von EX kann leicht in der Tabelle ausgeführt werden, was gezeigt wird in der letzte Zeile der Tabelle.

Beispiel 2

Wir berechnen den Erwartungswert der B(9,3)-Verteilung.

$k$	$P(K=k)$	$kP(K=k)$
0	0,0260	0,0000
1	0,1171	0,1171
2	0,2341	0,4682
3	0,2731	0,8193
4	0,2049	0,8196
5	0,1024	0,5120
6	0,0341	0,2046
7	0,0073	0,0511
8	0,0009	0,0072
9	0,0001	0,0009
Total		3,0000

Also $\operatorname {E} X=3$, was wir auch heuristisch einsehen können.

Der Erwartungswert $\operatorname {E} X$ von $X$ wird auch mit $\mu _{X}$ bezeichnet oder sogar nur mit $\mu$ wenn es keine Gefahr für Missverständnis gibt. Der Erwartungswert $\operatorname {E} X$ is ein Maß für das "Zentrum" der Verteilung von $X$ oder für die Lage (Lokalisation) (d.h. Größeordnung) der Werten von $X$.

In den nächsten Beispielen existiert die Erwartung nicht.

Beispiel 3

Wir werfen eine faire Münze so lange bis wir "Kopf" werfen. Wenn wir dazu n Würfen brauchen, bekommen wir einen Betrag von 2ⁿ ausgezahlt. Der ausgezahlte Betrag nennen wir X. Dann ist: P(X=2ⁿ) = 2^-n, für n = 1,2,3,... Die Erwartung von X existiert nicht, denn:

$\sum _{n=1}^{\infty }|2^{n}|2^{-n}=\infty$.

In einem solchen Fall sagen wir dass EX = ∞.

Beispiel 4

Zwei Spieler, A und B, werfen nach einander eine faire Münze. Wer zuerst "Kopf" werft, gewinnt. A fängt an und beiden setzen einen Euro ein. Immer wenn "Zahl" geworfen wird, verdoppelt man den Einsatz. Für A scheint das Spiel vorteilhaft zu sein: schon beim ersten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit dass er gewinnt 50%. Das bedeutet also dass P(A gewinnt) > 1/2. Wir bezeichnen den Gewinn von A mit X. Die Verteilung von X wird gegeben durch P(X = (-2)ⁿ) = (1/2)ⁿ⁺¹, für n = 0,1,2,...

Der "mittlere Gewinn von A" ist also:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-2)^{n}({\tfrac {1}{2}})^{n+1}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}+...$.

Dieser Reihe konvergiert nicht und ist also bestimmt nicht absolut konvergent. Die Erwartung EX existiert folglich nicht und auch divergiert "EX" nicht nach ∞.

Bemerkung 1

Im Folgenden werden wir immer wenn wir über einen Erwartungswert sprechen, stillschweigend davon ausgehen dass dieser Erwartungswert existiert.

Wir können die Erwartungswert einer Zufallsvariable auch wie folgendes berechnen.

Satz 6.1.1

Für die Erwartung einer Zufallsvariable X gilt:

$EX=\sum _{s\in S}X(s)p(s)$;

es wird dabei summiert über alle möglichen Ergebnissen s.

Beweis

$EX=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in S_{X}}x\sum _{\{s\in S|X(s)=x\}}p(s)=\sum _{s\in S}X(s)p(s)$.