Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Der Satz von Liouville – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir Bearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten dann die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind.

Wir beweisen nun Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen und zeigen damit den Satz von Liouville, dass auf dem ganzen   definierte harmonische Funktionen automatisch konstant sind.

Diesen Satz von Liouville gibt es auch in der Funktionentheorie für holomorphe Funktionen.

Abschätzung der Ableitungen einer harmonischen Funktion Bearbeiten

Satz

Sei   offen und beschränkt. Ist   harmonisch, so gilt

 

für jede Kugel   mit   und jeden Multiindex   der Ordnung  , d.h. es liegt insgesamt eine  -fache Ableitung vor, aber ggf. nach verschiedenen Variablen.

Die Konstanten sind gegeben durch

 

mit   und es bezeichnet

 

Beweis

Wir verwenden Induktion über  . Dabei wenden wir den Mittelwertsatz in jedem Schritt auf immer kleinere Kugeln an.

:

k=0: Mit dem Mittelwertsatz gilt

 

k=1: Wegen   gilt   für ein  . Wegen

 

ist   harmonisch. Mit dem Mittelwertsatz und der partiellen Integration mit dem konstanten Vektorfeld

 

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

folgt, da die Ableitung des konstanten Vektorfeldes   Null ist  

 

Für jedes   gilt

 

und somit

 

Wie im Fall   gilt, da der Integrationsbereich sich vergrößert

 

Das ergibt durch Einsetzen in den Fall   wegen  

 

Induktionsschritt für  : Die Ausage gelte für Multiindizes der Ordnung kleiner gleich  .

Sei   ein Multiindex mit  . Dann gibt es einen Multiindex   der Ordnung   und ein   sodass gilt

 

und   ist harmonisch wegen

 

Analog zur Rechnung für   erhalten wir wieder mit der Mittelwertformel und partieller Integration mit dem konstanten Vektorfeld

 

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

 

Für alle   gilt

 

und somit

 


Da   folgt mit der Induktionsvorraussetzung für  

 

Damit lässt sich der Fall   fortsetzen zu

 

Mit   lässt sich der Vorfaktor abschätzen gemäß

 

Der Satz von Liouville Bearbeiten

Satz (Liouville)

Jede beschränkte harmonische Funktion   ist konstant.

Beweis (Liouville)

Sei  . Wir wenden den vorherigen Satz an mit   und erhalten

 

Damit folgt   und somit ist   konstant.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung Bearbeiten

Satz

Sei   und  . Dann hat jede beschränkte Lösung der Poissongleichung

 

die Form

 

mit einer Konstanten  .

Gilt   so ist die Lösung der Poissongleichung eindeutig gegeben durch

 

Die Existenz der Lösung haben wir schon gezeigt im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum

Beweis

Wähle   so groß, das  . Für ein   aus   gilt   und da die Fundamentallösung in   ist, wie wir gezeigt haben in Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung gilt für  

 

Damit ist   beschränkt und   ist ebenfalls beschränkt.   ist harmonisch in  , wegen  . Nach dem Satz von Liouville ist   damit konstant.

Für   und   gilt

 

Damit folgt

 

Jede weitere Lösung   der Poissongleichung hat notwendig die Gestalt  . Wegen   folgt aber  .