Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Wärmeleitungsgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times U:\ u_{t}(t,x)-\Delta _{x}u(t,x)=f(t,x)$

Sie heißt homogen für $f=0$, sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung $g$ zum Zeitpunkt $t=0$ und Wärmequellen und -senken $f$ vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt und die Mittelwerteigenschaft bewiesen. Nun folgern wir daraus das Maximumprinzip.

Das Maximumprinzip

Der nachfolgend verwendete Begriff des (Weg-)Zusammenhangs wird hier erläutert Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Zusammenhang_und_Wegzusammenhang

Satz

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ beschränkt und offen und für $u\in C^{1,2}(U_{T})\cap C({\overline {U_{T}}})$ gelte $u_{t}-\Delta u\leq 0$ auf ganz $U_{T}$. Dann gilt

1.) das schwache Maximumprinzip

${\begin{aligned}\max _{\overline {U_{T}}}=\max _{\partial _{par}U_{T}}u\end{aligned}}$

mit dem Mantel und Boden $\partial _{par}U_{T}$ von $U_{T}$.

2.) das starke Maximumprinzip

Sei $U$ zusammenhängend und es existiere ein $(t_{0},x_{0})\in U_{T}$, in dem das Maximum angenommen wird

${\begin{aligned}u(t_{0},x_{0})=\max _{\overline {U_{T}}}u\end{aligned}}$

Dann ist $u$ konstant auf $U_{t_{0}}=[0,t_{0}]\times U$. $u$ muss also konstant sein zu jedem früheren Zeitpunkt.

Beweis

2.) $\implies$ 1.):

Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Annahme: 1.) ist falsch, dann ist das Maximum im Inneren echt größer als auf dem Rand

${\begin{aligned}u(t_{0},x_{0})=\max _{\overline {U_{T}}}>\max _{\partial _{par}U_{T}}u\end{aligned}}$

Sei $U(x_{0})$ die Zusammenhangskomponente von $x_{0}$ in $U$ und betrachte

${\begin{aligned}\lbrack 0,t_{0}]\times U(x_{0})\end{aligned}}$

Weil der Rand der Zusammenhangskomponente im Gesamtrand enthalten ist, gilt

${\begin{aligned}\max _{\overline {[0,t_{0}]\times U(x_{0})}}u=\max _{\overline {U_{T}}}u>\max _{\partial _{par}U_{T}}u\geq \max _{\partial _{par}([0,t_{0}]\times U(x_{0}))}u\end{aligned}}$

Das ist ein Widerspruch, da $u$ nach 2.) konstant sein müsste auf $[0,t_{0}]\times U(x_{0})$

2.):

Sei $(t_{0},x_{0})\in U_{T}$ mit

${\begin{aligned}u(t_{0},x_{0})=\max _{\overline {U_{T}}}u=:M\end{aligned}}$

Sei $r>0$ mit $E(t_{0},x_{0},r)\subseteq \subseteq U_{T}$, d.h. der Abschluss der Wärmekugel ist ganz in $U_{T}$ enthalten. Wegen $u_{t}-\Delta u\leq 0$ und der Mittelwerteigenschaft Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Mittelwerteigenschaft_der_Wärmeleitungsgleichung und wegen $u\leq M$ gilt

${\begin{aligned}M=u(t_{0},x_{0}){\stackrel {u_{t}-\Delta u\leq 0}{\leq }}&{\frac {1}{4r^{n}}}\int _{E(t_{0},x_{0},r)}u(t,x){\frac {|x-x_{0}|^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}dtdx\\{\stackrel {u\leq M}{\leq }}&M{\frac {1}{4r^{n}}}\underbrace {\int _{E(t_{0},x_{0},r)}{\frac {|x-x_{0}|^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}dtdx} _{=4r^{n}}\\=&M\end{aligned}}$

Das Integral hatten wir bei der Wärmekugel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Wärmekugel ausgerechnet. Das ergibt

${\begin{aligned}{\frac {1}{4r^{n}}}\int _{E(t_{0},x_{0},r)}(u(t,x)-M){\frac {|x-x_{0}|^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}dtdx=0\end{aligned}}$

und wegen $u-M\leq 0$ auf $E(t_{0},x_{0},r)$ folgt

${\begin{aligned}u\equiv M\quad {\text{ auf }}\quad E(t_{0},x_{0},r)\end{aligned}}$

Das genügt noch nicht. Wir wollen zeigen, dass $u\equiv M$ auf ganz $U_{t_{0}}=[0,t_{0}]\times U$ gilt.

a) Sei $(t_{1},x_{1})$ sodass $t_{1}<t_{0}$ und die gesamte Linie $L$, die $(t_{0},x_{0})$ und $(t_{1},x_{1})$ verbindet liege in $U_{t_{0}}$. Wir wollen zeigen, dass

${\begin{aligned}u\equiv M\quad {\text{ auf }}\quad L((t_{0},x_{0}),(t_{1},x_{1}))\end{aligned}}$

Betrachte das Infimum auf $L$, ab dem $u$ nicht mehr maximal ist

${\begin{aligned}s_{0}:=\inf _{s}\{t_{0}\geq t>s\geq t_{1}:\forall (t,x)\in L:u(t,x)=M\}\end{aligned}}$

Da $L$ abgeschlossen ist und $u$ stetig ist, ist das Infimum ein Minimum.

Wir wollen nun zeigen, dass $s_{0}=t_{1}$. Da die Linie $L$ streng monoton fällt in $t$, schneidet sie jede kleine Wärmekugel $E(s_{0},x(s_{0}),\delta )$ unterhalb von $(s_{0},x(s_{0}))$, wobei $x(s_{0})\in U_{T}$ auf der Linie $L$ gemäß Zeit $s_{0}$ gewählt wird. Dadurch gibt es ein $\varepsilon >0$, sodass das ganze weitere Linienstück ${\tilde {L}}((s_{0},x(s_{0}),(s_{0}+\varepsilon ,x(s_{0}+\varepsilon )))$ in der Wärmekugel $E(s_{0},x(s_{0}),\delta )$ enthalten ist. Dann folgt wie oben, dass

${\begin{aligned}u\equiv M{\text{ auf }}{\tilde {L}}((s_{0},x(s_{0})),(s_{0}+\varepsilon ,x(s_{0}+\varepsilon )))\end{aligned}}$

im Widerspruch zum Minimum bei $s_{0}$. Damit gilt $s_{0}=t_{0}$.

b) Sei $(t^{\ast },x^{\ast })\in U_{t_{0}}=[0,t_{0}]\times U$ mit $t^{\ast }<t_{0}$.

Da $U$ zusammenhängend ist, ist es wegzusammenhängend. Wähle daher einen stetigen Weg von $x_{0}$ nach $x^{\ast }$. Wähle zudem die direkte Linie von $t_{0}$ nach $t^{\ast }$, diese ist insbesondere streng monoton fallend. Das ergibt einen stetigen Weg von $(t_{0},x_{0})$ nach $(t^{\ast },x^{\ast })$. Da dieser kompakt ist, ist sein Abstand $d$ vom Rand von $[0,t_{0}]\times U$ echt größer Null, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

Überdecke den Weg mit Kugeln der Größe $d$

${\begin{aligned}c((t_{0},x_{0}),(t^{\ast },x^{\ast }))\subseteq \bigcup _{(t,x)\in c((t_{0},x_{0}),(t^{\ast },x^{\ast }))}B((t,x),d)\subseteq [0,t_{0}]\times U\end{aligned}}$

Da der Weg kompakt ist, genügt eine endliche Überdeckung mit Kugeln. Diese ordnen wir an gemäß der Ordnung von $t$ längs $L$.

Nun verbinden wir die Mittelpunkte der Punkte $(t_{i},x_{i})$ durch Linien: diese verlaufen innerhalb der Kugeln und damit automatisch innerhalb von $[0,t_{0}]\times U$ und auf jeder dieser Linie folgt aus a) $u\equiv M$, also auch $u(t^{\ast },x^{\ast })=M$.

Da $(t^{\ast },x^{\ast })$ beliebig gewählt war, folgt $u\equiv M$ auf $[0,t_{0})\times U$.

Mit der Stetigkeit von $u$ folgt

${\begin{aligned}u\equiv M{\text{ auf }}U_{t_{0}}=[0,t_{0}]\times U.\end{aligned}}$