Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Mittelwerteigenschaft der Wärmeleitungsgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

 

Sie heißt homogen für  , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung   zum Zeitpunkt   und Wärmequellen und -senken   vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt, mit der wir nun den Mittelwertsatz beweisen.

Ein Hilfssatz für den MittelwertsatzBearbeiten

Satz

Sei   und  , d.h.   ist einmal stetig differenzierbar nach   und zweimal stetig differenzierbar nach  . Sei

 

Dann gelten

 

mit

 

Beweis

1.):

 

siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_ Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Wärmekugel

2.):

Wir wollen die  -Abhängigkeit der Integrationsgrenzen auf den Integranden übertragen. Wir benutzen dazu die Transformation

 

damit gilt

 

Nach Voraussetzung ist   stetig differenzierbar, zudem sind   beschränkt auf dem kompakten   und damit integrierbar. Damit existiert die Ableitung von   und Integral und Ableitung vertauschen. Wir berechnen die Ableitung des Integranden zu

 

Durch Vertauschen von Ableitung und Integral und Rücktransformation erhalten wir

 

Nun wollen wir die Funktion   verwenden, für deren Ableitungen gilt

 

Wir wollen zwei Terme im obigen Integral ersetzen gemäß

 

Wir wollen gleich partielle Integration verwenden und benötigen dazu, dass   auf dem Rand von   Null wird, weil dann ein Integralterm wegfällt:

 

Damit ergeben Einsetzen und partielle Integration bzgl. des ersten Termes Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

 

Bei partieller Integration des dritten Termes nach   entfällt der Randterm

 

Bei erneuter partielle Integration Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes des vierten Termes entfällt wieder das Randintegral und wir erhalten das Ergebnis

 
To-Do:

Zeige noch: E(0,0,r) ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand

Mittelwerteigenschaft der WärmeleitungsgleichungBearbeiten

Satz

Sei   in   offen,   und   und  .

1.) Falls   in   so folgt

 

2.) Falls   in   so folgt

 

3.) Falls   in   so folgt

 

Beweis

1.):

Folgt aus 2.) angewendet auf   und  , da die Ableitung linear ist.

2.):

Sei

 

Dann gilt

 

Das ergibt mit dem gerade gezeigten Hilfssatz

 

Auf   ist   wegen

 

Wegen

 

ist   monoton steigend in   und es gilt für alle   mit dem Hilfssatz

 

d.h.

 

Mit der Transformation   folgt die Aussage.

3.):

Analog zu 2.)