Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Wärmekugel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

 

Sie heißt homogen für  , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung   zum Zeitpunkt   und Wärmequellen und -senken   vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Nun führen wir die Wärmekugel ein.

Die Wärmekugel (engl. heat ball)Bearbeiten

Wir benötigen einige Begriffe.

Definition

Sei   und   offen und beschränkt.

  1. Der parabolische Zylinder ist  . Er beschreibt   im Zeitraum   bis  . Sein Rand ist
     
    To-Do:

    Bild einfügen inklusive Rand

  2. Eine klassische Lösung der Wärmeleitungsgleichung im parabolischen Zylinder heißt kalorische Funktion.
  3. Der parabolische Rand ist eine Teilmenge des Randes von  , wobei der Zeitpunkt   weggelassen wird:
     
  4. Sei   und  . Dann ist die Wärmekugel (englisch heat ball) definiert als
     
    To-Do:

    Bild einfügen Wärmekugel

Eigenschaften der WärmekugelBearbeiten

Wir tragen einige Eigenschaften der Wärmekugel zusammen.

Satz

  1. Die Wärmekugel ist beschränkt.
  2. Für alle   und   gilt
     
  3. Für alle   und gibt es einen kleinen Radius   sodass
     
  4. Für alle   und   gilt
     

Beweis

1.):

Da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist und gegen Unendlich geht, fällt die Exponentialfunktion bei negativer werdendem Argument streng monoton und geht gegen Null.

2.):

Nach Definition der Wärmekugel gilt

 

Wegen   folgt

 

3.):

Sei  . Wegen 2.) und durch Logarithmieren gilt

 

Multiplizieren mit   ergibt

 

Die erste Ableitung der rechten Seite nach   ist mit der Kettenregel

 

Das ist monoton fallend in  , ist größer Null für   (da der erste Term Null wird) und wird negativ für   von unten gegen  . Das Maximum wird angenommen für

 

Daher gilt

 

Da   offen ist, gibt es ein   mit  . Wähle nun   gemäß der letzten Gleichung klein genug, dann gilt  . Wähle zudem   so klein, dass  , dann gilt

 

4.):

Mit der Transformation

 

gilt

 

Mit 2.) und 3.) gilt

 

Setze

 

dann gilt mit dem Satz von Fubini

 

In Polarkoordinaten berechnet sich das innere Integral zu

 

Damit berechnet sich das gesamte Integral mit den Substitution   und   und   und   zu

 

Mit den weiteren Substitutionen   und   und   und   folgt

 

wobei verwendet wurde   siehe Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Gammafunktion