Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Gammafunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Wir hatten im letzten Kapitel die Gammafunktion und die Betafunktion benötigt und wollen der Vollständigkeit halber deren Beziehungen hier herleiten.
Die Gammafunktion interpoliert die Fakultät für . Für die Betafunktion existiert keine so einfache Anschauung.
Die Gammafunktion
BearbeitenDefinition
Die Gammafunktion ist definiert als
Beweis
Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist und teilen es dazu bei in zwei Teile auf. Die Idee ist, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion.
Sei fest. Wir wählen mit dem kleinsten . Durch Anwenden des monoton steigenden Logarithmus gilt für alle wegen
Damit folgt
d.h.
Somit gilt für das eine Integral wegen der Monotonie
Das andere Integral können wir mit abschätzen zu
Mit dem Satz über monotone Konvergenz existiert das Integral, siehe
Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Maß-Integral_und_Riemann-Integral
Satz
Für die Gammafunktion gilt
Die erste Relation heißt Funktionalgleichung.
Beweis
a) Sei . Wir integrieren partiell mit und . Dann gilt
Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion bleibt nur der Term übrig.
b)
c)
Mit Polarkoordinaten
und dem Satz von Fubini Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Produktmaße#Rechenregel_zur_Integration_über_das_Produktmaß gilt
d.h. wegen der Symmetrie von
Substituiere nun , d.h.
Das ergibt
Das Volumen einer Kugel
BearbeitenSatz
Das Volumen der Kugel ist
Beweis
Wir verwenden Induktion nach der Raumdimension .
Für ist die Kugel das Intervall mit dem Volumen
Induktionsschritt : Der Schnitt der -dimensionalen Kugel mit der Ebene konstant ist eine -dimensionale Kugel mit Radius
Nun integrieren wir diese Schnitte auf, um das Gesamtvolumen der -dimensionalen Kugel zu erhalten:
Mit der Substitution lässt sich das Integral vereinfachen, da der Cosinuns im Intervall monoton steigend ist
zu
Im letzten Schritt wurde verwendet, dass der Sinus im Intervall symmetrisch ist zu . Das erhaltene Integral lässt sich rekursiv auflösen durch partielle Integration:
Dabei tritt das Integral erneut auf. Bringen wir die Integrale auf eine Seite, gilt
Damit ist ein Induktionsschritt möglich, wenn wir die beiden Induktionsanfänge berechnen:
Einsetzen ergibt für gerades :
und für ungerades
Zusammengefasst folgt mit der Funktionalgleichung
und
Insgesamt
Das ergibt für das Volumen
Die Betafunktion
BearbeitenDefinition
Die Betafunktion ist definiert für durch
Beweis
Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist. Für ist der Integrand beschränkt und damit existiert das Integral.
Sei oder . Wenn ein Term gegen Unendlich strebt, schätzen wir den jeweils anderen Term durch eine Konstante wie folgt ab
und können die Integrale abschätzen zu
und das Integral existiert.
Beziehung zwischen Gammafunktion und Betafunktion
BearbeitenSatz
Es gilt
Insbesondere ist die Betafunktion symmetrisch.
Beweis
Wir benutzen die Definition der Gammafunktion und erhalten ein Doppelintegral
Mit der Transformation und ihrer Umkehrung folgt
Das ergibt