Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Gammafunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Wir hatten im letzten Kapitel die Gammafunktion und die Betafunktion benötigt und wollen der Vollständigkeit halber deren Beziehungen hier herleiten.

Die Gammafunktion interpoliert die Fakultät für . Für die Betafunktion existiert keine so einfache Anschauung.

Die Gammafunktion

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Definition

Die Gammafunktion ist definiert als

 

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist und teilen es dazu bei   in zwei Teile auf. Die Idee ist, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion.

Sei   fest. Wir wählen   mit dem kleinsten  . Durch Anwenden des monoton steigenden Logarithmus gilt für alle   wegen  

 

Damit folgt

 

d.h.

 

Somit gilt für das eine Integral wegen der Monotonie

 

Das andere Integral können wir mit   abschätzen zu

 

Mit dem Satz über monotone Konvergenz existiert das Integral, siehe

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Maß-Integral_und_Riemann-Integral

Satz

Für die Gammafunktion gilt

 

Die erste Relation heißt Funktionalgleichung.

Beweis

a) Sei  . Wir integrieren   partiell mit   und  . Dann gilt

 

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion bleibt nur der Term   übrig.

b)

 

c)

Mit Polarkoordinaten

 

und dem Satz von Fubini Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Produktmaße#Rechenregel_zur_Integration_über_das_Produktmaß gilt

 

d.h. wegen der Symmetrie von  

 

Substituiere nun  , d.h.

 

Das ergibt

 

Das Volumen einer Kugel

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Satz

Das Volumen der Kugel ist

 

Beweis

Wir verwenden Induktion nach der Raumdimension  .

Für   ist die Kugel das Intervall   mit dem Volumen

 

Induktionsschritt  : Der Schnitt der  -dimensionalen Kugel mit der Ebene   konstant  ist eine  -dimensionale Kugel mit Radius

 

Nun integrieren wir diese Schnitte auf, um das Gesamtvolumen der  -dimensionalen Kugel zu erhalten:

 

Mit der Substitution   lässt sich das Integral vereinfachen, da der Cosinuns im Intervall   monoton steigend ist

 

zu

 

Im letzten Schritt wurde verwendet, dass der Sinus im Intervall   symmetrisch ist zu  . Das erhaltene Integral lässt sich rekursiv auflösen durch partielle Integration:

 

Dabei tritt das Integral erneut auf. Bringen wir die Integrale auf eine Seite, gilt

 

Damit ist ein Induktionsschritt möglich, wenn wir die beiden Induktionsanfänge berechnen:

 

Einsetzen ergibt für gerades  :

 

und für ungerades  

 

Zusammengefasst folgt mit der Funktionalgleichung  

 

und

 

Insgesamt

 

Das ergibt für das Volumen

 

Die Betafunktion

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Definition

Die Betafunktion ist definiert für   durch

 

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist. Für   ist der Integrand beschränkt und damit existiert das Integral.

Sei   oder  . Wenn ein Term gegen Unendlich strebt, schätzen wir den jeweils anderen Term durch eine Konstante wie folgt ab

 

und können die Integrale abschätzen zu

 

und das Integral existiert.

Beziehung zwischen Gammafunktion und Betafunktion

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Satz

Es gilt

 

Insbesondere ist die Betafunktion symmetrisch.

Beweis

Wir benutzen die Definition der Gammafunktion und erhalten ein Doppelintegral

 

Mit der Transformation   und ihrer Umkehrung   folgt

 

Das ergibt