Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Maß-Integral und Riemann-Integral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden.

Nun haben wir zwei Integralbegriffe: das eigentliche Riemann-Integraö aus der Analysis 1 und das Maßintegral. Auf einem endlichen Intervall ist jede Riemann-integrierbare Funktion auch Lebesgueintegrierbar und die Integrale haben den selben Wert. Für einen nicht-negativen Integranden gilt das auch für das uneigentliche Riemannintegral. Damit können wir Lebesgue-Integrale endlich explizit ausrechnen. Der Vorteil des Maßintegrales sind der Satz über monotone und über majorisierte Konvergenz.

Riemann- und Lebesgue-Integral

Satz

Sei $g:[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, für die das Riemann-Integral $\int _{a}^{b}g(x)dx$ existiert. Dann existiert ein messbares, integrierbares $h\in L^{1}[a,b]$ mit $h=g\ l$-fast überall und die Integrale sind gleich

$\int _{a}^{b}g(x)dx=\int _{[a,b]}hdl:=\int hdl|_{[a,b]}$

Die Aussage lässt sich nur $m$-fast überall zu zeigen, da das Integral zwei Funktionen, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden, nicht auseinander halten kann.

Beweis

Nach Voraussetzung des Riemannintegrales ist $g$ beschränkt durch ein $M>0$.

Sei $(K_{n})_{n}$ eine Folge von feiner werdenden Zerlegungen von $[a,b]$ durch Punkte $x_{n,j}$. Wähle auf den Intervallen den kleinsten und den größten Funktionswert von $g$

${\begin{aligned}c_{n,j}&:=&\inf\{g(x):x\in (x_{n,j-1},x_{n_{j}})\}\\d_{n,j}&:=&\sup\{g(x):x\in (x_{n,j-1},x_{n_{j}})\}\end{aligned}}$

und konstruiere damit Obersumme und Untersumme

${\begin{aligned}U_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}c_{n,j}(x_{n,j}-x_{n,j-1})\\O_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}d_{n,j}(x_{n,j}-x_{n,j-1})\\\end{aligned}}$

Da $g$ Riemann-integrierbar ist, gilt

${\begin{aligned}U_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}c_{n,j}(x_{n,j}-x_{n,j-1})\nearrow \int _{a}^{b}g(x)dx\\O_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}d_{n,j}(x_{n,j}-x_{n,j-1})\searrow \int _{a}^{b}g(x)dx\end{aligned}}$

Mit den $c_{n,j},d_{n,j}$ lassen sich auch zwei Treppenfunktionen konstruieren

${\begin{aligned}u_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}c_{n,j}1_{(x_{n,j-1},x_{n,j})}(x)\\o_{n}:=&\sum _{j=1}^{k_{n}}d_{n,j}1_{(x_{n,j-1},x_{n,j})}(x)\end{aligned}}$

Das setzen wir zusammen, sodass für $u_{n},U_{n}$ gilt

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}g(x)dx=&\lim _{n\rightarrow \infty }U_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{j=1}^{k_{n}}c_{n,j}l[(x_{n,j-1},x_{n,j})]\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{j=1}^{k_{n}}c_{n,j}\int 1_{(x_{n,j-1},x_{n,j})}(x)dl=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{[a,b]}u_{n}dl\end{aligned}}$

und analog für $o_{n},O_{n}$

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}g(x)dx=&\lim _{n\rightarrow \infty }O_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{j=1}^{k_{n}}d_{n,j}l[(x_{n,j-1},x_{n,j})]\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{j=1}^{k_{n}}d_{n,j}\int 1_{(x_{n,j-1},x_{n,j})}(x)dl=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{[a,b]}o_{n}dl\end{aligned}}$

Wegen der oberen und unteren Schranke $M$ von $g$ erhalten wir eine integrierbare Majorante $M$

${\begin{aligned}|u_{n}|,|o_{n}|\leq &M1_{[a,b]}\\\int M1_{[a,b]}dl=&M(b-a)<\infty \end{aligned}}$

und mit dem Satz über majorisierte Konvergenz lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

$\int _{a}^{b}g(x)dx=\int _{[a,b]}\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}dl=\int _{[a,b]}\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}dl$

Wegen $o_{n}\geq u_{n}$ gilt

${\begin{aligned}&\int _{[a,b]}|\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}-\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}|dl\\{\stackrel {\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}}{=}}&\int _{[a,b]}(\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}-\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n})dl\\=&\int _{[a,b]}\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}dl-\int _{[a,b]}\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}dl\\=&0\end{aligned}}$

und es folgt

$\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}{\text{ l-fast sicher}}$

Aus $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}\leq g\leq \lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}$ folgt

$\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}=g=\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}{\text{ l-fast sicher}}$

und $h:=\lim _{n\rightarrow \infty }o_{n}$ ist messbar.

Uneigentliches Riemann- und Lebesgueintegral

Satz

Sei $g:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )$, sodaß für alle $[-n,n],n\in \mathbb {N}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-n}^{n}g(x)dx$

existiert. Dann sind uneigentliches Riemannintegral und Maß-Integral gleich

$\int _{-\infty }^{\infty }g(x)dx:=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-n}^{n}g(x)dx=\int _{\mathbb {R} }gdl$

und es gilt

$\int _{-\infty }^{\infty }g(x)dx<\infty \iff g{\text{ ist }}l-{\text{integrierbar}}$

Beweis

Wegen $[-n,n]\uparrow \mathbb {R}$ gilt mit dem Satz über monotone Konvergenz

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-n}^{n}g(x)dx=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{[-n,n]}g\underbrace {1_{[-n,n]}} _{\geq 0,{\text{ monoton}}}dl\\=&\int _{\mathbb {R} }g\lim _{n\rightarrow \infty }1_{[-n,n]}dl\\=&\int gdl\end{aligned}}$

Aufgabe 1

Aufgabe

Existiert das folgende Riemann oder Lebesgue-Integral und welchen Wert hat es gegebenenfalls?

$\int _{[0,1]}1_{\mathbb {Q} }dl$

Wie kommt man auf den Beweis?

Betrachte die Obersummen und Untersummen bzw. die Menge $(1_{\mathbb {Q} })^{-1}(1)$ und $(1_{\mathbb {Q} })^{-1}(0)$.

Lösung

a) Das Riemann-Integral existiert nicht: Die größte untere Treppenfunktion ist die Nullfunktion auf $[0,1]$ und ihr Integral ist $0$.

Die kleinste obere Treppenfunktion ist die konstante Funktion $f\equiv 1$ und ihr Integral auf $[0,1]$ ist $1$.

b) Das Lebensgueintegral existiert und hat den Wert $0$:

Benutze, dass $\mathbb {Q}$ eine Nullmenge ist und damit auch $\mathbb {Q} \cap [0,1]$. Da $1_{\mathbb {Q} }$ eine primitive Funktion ist, berechnet sich das Integral ganz einfach durch

$\int _{[0,1]}1_{\mathbb {Q} }dl=1\cdot l(\mathbb {Q} \cap [0,1])+0\cdot l([0,1]\backslash \mathbb {Q} )=0$

Das Entscheidende ist, dass das Lebesguemaß als abzählbare Überdeckung gewählt wurde und in diesem Fall beliebig klein wird.