Auf solche Gleichungssysteme sind wir beim Untersuchen der anderen Gleichungssysteme schon mehrmals gestoßen; immer dann, wenn der Gauß-Algorithmus so viele Nullzeilen erzeugt, dass letztendlich weniger Zeilen für die Lösung relevant waren als Unbekannte zu finden waren.
Dann kann man eigentlich nicht von einem Gleichungssystem sprechen. Bei zwei Unbekannten sieht eine solche Gleichung wie folgt aus:
a
⋅
x
1
+
b
⋅
x
2
=
e
{\displaystyle a\cdot x_{1}+b\cdot x_{2}=e}
, wobei a und b nicht Null sind.
Dann ist
x
1
=
−
b
/
a
⋅
x
2
+
e
/
a
{\displaystyle x_{1}=-b/a\cdot x_{2}+e/a}
. Zu vorgegebenem
x
2
=
t
{\displaystyle x_{2}=t}
ist also
x
1
=
−
b
/
a
⋅
t
+
e
/
a
{\displaystyle x_{1}=-b/a\cdot t+e/a}
. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:
L
=
{
(
−
b
/
a
⋅
t
+
e
/
a
|
t
)
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,-b/a\cdot t+e/a\,|\,t\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}}
oder etwas anders geschrieben
L
=
{
(
e
/
a
|
0
)
+
t
⋅
(
−
b
/
a
|
1
)
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{(\,e/a\,|\,0\,)+t\cdot (\,-b/a\,|\,1\,),\;t\in \mathbb {R} \right\}}
Alternativ kann man auch
x
2
{\displaystyle x_{2}}
durch
p
⋅
e
/
b
{\displaystyle p\cdot e/b}
ersetzen und erhält damit
x
1
=
(
1
−
p
)
⋅
e
/
a
{\displaystyle x_{1}=(1-p)\cdot e/a}
. Die Lösungsmenge schreibt sich dann als:
L
=
{
(
(
1
−
p
)
⋅
e
/
a
|
p
⋅
e
/
b
)
,
p
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,(1-p)\cdot e/a\,|\,p\cdot e/b\,\right),\;p\in \mathbb {R} \right\}}
Bei drei Unbekannten hat man:
a
⋅
x
1
+
b
⋅
x
2
+
c
⋅
x
3
=
e
{\displaystyle a\cdot x_{1}+b\cdot x_{2}+c\cdot x_{3}=e}
, wobei a, b und c nicht Null sind.
Dann ist
x
1
=
−
b
/
a
⋅
x
2
−
c
/
a
⋅
x
3
+
e
/
a
{\displaystyle x_{1}=-b/a\cdot x_{2}-c/a\cdot x_{3}+e/a}
. Zu vorgegebenem
x
2
=
s
{\displaystyle x_{2}=s}
und
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
ist also
x
1
=
−
b
/
a
⋅
t
−
c
/
a
⋅
s
+
e
/
a
{\displaystyle x_{1}=-b/a\cdot t-c/a\cdot s+e/a}
. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:
L
=
{
(
−
b
/
a
⋅
t
−
c
/
a
⋅
s
+
e
/
a
|
s
|
t
)
,
s
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,-b/a\cdot t-c/a\cdot s+e/a\,|\,s\,|\,t\,\right),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}}
oder etwas anders geschrieben
L
=
{
(
e
/
a
|
0
|
0
)
+
s
⋅
(
−
c
/
a
|
1
|
0
)
+
t
⋅
(
−
b
/
a
|
0
|
1
)
,
s
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{(\,e/a\,|\,0\,|\,0\,)+s\cdot (\,-c/a\,|\,1\,|\,0\,)+t\cdot (\,-b/a\,|\,0\,|\,1\,),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}}
3
⋅
x
1
+
8
⋅
x
2
=
15
⇔
3
⋅
x
1
=
15
−
8
⋅
x
2
⇔
x
1
=
5
−
8
3
⋅
x
2
{\displaystyle {\begin{matrix}&3\cdot x_{1}&+&8\cdot x_{2}&=&15&&\\\Leftrightarrow &3\cdot x_{1}&&&=&15&-&8\cdot x_{2}\\\Leftrightarrow &x_{1}&&&=&5&-&{\frac {8}{3}}\cdot x_{2}\\\end{matrix}}}
L
=
{
(
5
−
8
3
⋅
t
|
t
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
5
|
0
)
+
t
⋅
(
−
8
3
|
1
)
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5-{\frac {8}{3}}\cdot t\,|\,t\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,5\,|\,0\,)+t\cdot (\,-{\frac {8}{3}}\,|\,1\,),\;t\in \mathbb {R} \right\}}
Setzt man
s
=
1
/
3
t
{\displaystyle s=1/3\,t}
also
t
=
3
s
{\displaystyle t=3\,s}
dann schreibt sich die Lösungsmenge einfacher:
L
=
{
(
5
−
8
⋅
s
|
3
⋅
s
)
,
s
∈
R
}
=
{
(
5
|
0
)
+
s
⋅
(
−
8
|
3
)
,
s
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5-8\cdot s\,|\,3\cdot s\,\right),\;s\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,5\,|\,0\,)+s\cdot (\,-8\,|\,3\,),\;s\in \mathbb {R} \right\}}
3
⋅
x
1
+
8
⋅
x
2
−
12
⋅
x
3
=
15
{\displaystyle 3\cdot x_{1}+8\cdot x_{2}-12\cdot x_{3}=15}
⇔
x
1
=
5
−
8
/
3
⋅
x
2
+
4
⋅
x
3
{\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}=5-8/3\cdot x_{2}+4\cdot x_{3}}
Mit
x
2
=
3
s
{\displaystyle x_{2}=3\,s}
und
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
gibt das die Lösungsmenge:
L
=
{
(
5
−
8
⋅
s
+
4
⋅
t
|
3
⋅
s
|
t
)
,
s
,
t
∈
R
}
=
{
(
5
|
0
|
0
)
+
s
⋅
(
−
8
|
3
|
0
)
+
t
⋅
(
4
|
0
|
1
)
,
s
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5-8\cdot s+4\cdot t\,|\,3\cdot s\,|\,t\,\right),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,5\,|\,0\,|\,0\,)+s\cdot (\,-8\,|\,3\,|\,0\,)+t\cdot (\,4\,|\,0\,|\,1\,),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}}
Ein solches Gleichungssystem sieht wie folgt aus:
a
1
⋅
x
1
+
b
1
⋅
x
2
+
c
1
⋅
x
3
=
e
1
a
2
⋅
x
1
+
b
2
⋅
x
2
+
c
2
⋅
x
3
=
e
2
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&+&c_{1}\cdot x_{3}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&+&c_{2}\cdot x_{3}&=&e_{2}\\\end{array}}}
wobei nicht sowohl
a
1
{\displaystyle a_{1}}
als auch
a
2
{\displaystyle a_{2}}
beide Null sind, und auch nicht sowohl
b
1
{\displaystyle b_{1}}
als auch
b
2
{\displaystyle b_{2}}
beide Null sind, und auch nicht sowohl
c
1
{\displaystyle c_{1}}
als auch
c
2
{\displaystyle c_{2}}
beide Null sind.
Im folgenden sei
a
1
≠
0
{\displaystyle a_{1}\neq 0}
, was man im Zweifel durch vertauschen der Zeilen erreichen kann. Durch Subtraktion eines Vielfachen der ersten Zeile von der zweiten Zeile erhält man das modifizierte Gleichungssystem:
a
1
⋅
x
1
+
b
1
⋅
x
2
+
c
1
⋅
x
3
=
e
1
n
2
⋅
x
2
+
k
2
⋅
x
3
=
l
2
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&+&c_{1}\cdot x_{3}&=&e_{1}\\&&n_{2}\cdot x_{2}&+&k_{2}\cdot x_{3}&=&l_{2}\\\end{array}}}
An diesem Punkt müssen mehrere Fälle unterschieden werden:
1. Fall: Gilt
n
2
=
k
2
=
0
{\displaystyle n_{2}=k_{2}=0}
, dann hängt die Lösbarkeit des Systems von
l
2
{\displaystyle l_{2}}
ab.
1.1. Fall: Gilt auch
l
2
=
0
{\displaystyle l_{2}=0}
, dann steht in der unteren Zeile
0
=
0
{\displaystyle 0=0}
. Für die Lösung des Gleichungssystems ist also nur die obere Zeile relevant. Das Gleichungssystem ist also in diesem Fall gleichwertig mit einer Gleichung mit drei Unbekannten. Wie das zu lösen ist, wurde weiter oben behandelt. (siehe hier )
1.2. Fall: Gilt dagegen
l
2
≠
0
{\displaystyle l_{2}\neq 0}
, dann liefert die untere Zeile eine falsche Aussage, das Gleichungssystem hat demnach keine Lösung.
2. Fall: Wenigstens eine der beiden Zahlen
n
2
{\displaystyle n_{2}}
und
k
2
{\displaystyle k_{2}}
ist nicht Null. Durch Subtraktion eines Vielfachen der zweiten von der ersten Zeile das Gleichungssystem lässt dieses sich auf eine der folgenden Formen bringen:
m
1
⋅
x
1
+
k
1
⋅
x
3
=
l
1
n
2
⋅
x
2
+
k
2
⋅
x
3
=
l
2
{\displaystyle {\begin{array}{|ccccccc|}m_{1}\cdot x_{1}&&&+&k_{1}\cdot x_{3}&=&l_{1}\\&&n_{2}\cdot x_{2}&+&k_{2}\cdot x_{3}&=&l_{2}\\\end{array}}}
oder
m
1
⋅
x
1
+
n
1
⋅
x
2
=
l
1
n
2
⋅
x
2
+
k
2
⋅
x
3
=
l
2
{\displaystyle {\begin{array}{|ccccccc|}m_{1}\cdot x_{1}&+&n_{1}\cdot x_{2}&&&=&l_{1}\\&&n_{2}\cdot x_{2}&+&k_{2}\cdot x_{3}&=&l_{2}\\\end{array}}}
bzw. etwas anders geschrieben
x
1
=
−
k
1
/
m
1
⋅
x
3
+
l
1
/
m
1
x
2
=
−
k
2
/
n
2
⋅
x
3
+
l
2
/
n
2
{\displaystyle {\begin{array}{|cccccc|}x_{1}&=&-&k_{1}/m_{1}\cdot x_{3}&+&l_{1}/m_{1}\\x_{2}&=&-&k_{2}/n_{2}\cdot x_{3}&+&l_{2}/n_{2}\\\end{array}}}
oder
x
1
=
−
n
1
/
m
1
⋅
x
2
+
l
1
/
m
1
x
3
=
−
n
2
/
k
2
⋅
x
2
+
l
2
/
k
2
{\displaystyle {\begin{array}{|cccccc|}x_{1}&=&-&n_{1}/m_{1}\cdot x_{2}&+&l_{1}/m_{1}\\x_{3}&=&-&n_{2}/k_{2}\cdot x_{2}&+&l_{2}/k_{2}\\\end{array}}}
Einmal lassen sich
x
1
{\displaystyle x_{1}}
und
x
2
{\displaystyle x_{2}}
in Abhängigkeit von
x
3
{\displaystyle x_{3}}
darstellen. Im anderen Fall lassen sich
x
1
{\displaystyle x_{1}}
und
x
3
{\displaystyle x_{3}}
in Abhängigkeit von
x
2
{\displaystyle x_{2}}
darstellen. Mit
f
1
=
−
k
1
/
m
1
{\displaystyle f_{1}=-k_{1}/m_{1}}
,
g
1
=
l
1
/
m
1
{\displaystyle g_{1}=l_{1}/m_{1}}
und
f
2
=
−
k
2
/
n
2
{\displaystyle f_{2}=-k_{2}/n_{2}}
,
g
2
=
l
2
/
n
2
{\displaystyle g_{2}=l_{2}/n_{2}}
bzw.
f
1
=
−
n
1
/
m
1
{\displaystyle f_{1}=-n_{1}/m_{1}}
,
g
1
=
l
1
/
m
1
{\displaystyle g_{1}=l_{1}/m_{1}}
und
f
2
=
−
n
2
/
k
2
{\displaystyle f_{2}=-n_{2}/k_{2}}
,
g
1
=
l
2
/
k
2
{\displaystyle g_{1}=l_{2}/k_{2}}
sieht das schon einfacher aus:
x
1
=
f
1
⋅
x
3
+
g
1
x
2
=
f
2
⋅
x
3
+
g
2
{\displaystyle {\begin{array}{|cccc|}x_{1}&=f_{1}\cdot x_{3}&+&g_{1}\\x_{2}&=f_{2}\cdot x_{3}&+&g_{2}\\\end{array}}}
oder
x
1
=
f
1
⋅
x
2
+
g
1
x
3
=
f
2
⋅
x
2
+
g
2
{\displaystyle {\begin{array}{|cccc|}x_{1}&=f_{1}\cdot x_{2}&+&g_{1}\\x_{3}&=f_{2}\cdot x_{2}&+&g_{2}\\\end{array}}}
Die Lösung des linearen Gleichungssystems sind demnach:
L
=
{
(
f
1
⋅
t
+
g
1
|
f
2
⋅
t
+
g
2
|
t
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
g
1
|
g
2
|
0
)
+
t
⋅
(
f
1
|
f
2
|
1
)
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,f_{1}\cdot t+g_{1}\,|\,f_{2}\cdot t+g_{2}\,|\,t\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,g_{1}\,|\,g_{2}\,|\,0\,)+t\cdot (\,f_{1}\,|\,f_{2}\,|\,1\,)\;t\in \mathbb {R} \right\}}
bzw.
L
=
{
(
f
1
⋅
t
+
g
1
|
t
|
f
2
⋅
t
+
g
2
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
g
1
|
0
|
g
2
)
+
t
⋅
(
f
1
|
1
|
f
2
)
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,f_{1}\cdot t+g_{1}\,|\,t\,|\,f_{2}\cdot t+g_{2}\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,g_{1}\,|\,0\,|\,g_{2}\,)+t\cdot (\,f_{1}\,|\,1\,|\,f_{2}\,)\;t\in \mathbb {R} \right\}}
(
1
)
3
⋅
x
1
+
7
⋅
x
2
−
1
⋅
x
3
=
24
(
2
)
−
6
⋅
x
1
−
5
⋅
x
2
+
20
⋅
x
3
=
33
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&3\cdot x_{1}&+&7\cdot x_{2}&-&1\cdot x_{3}&=&24\\(2)&-6\cdot x_{1}&-&5\cdot x_{2}&+&20\cdot x_{3}&=&33\\\end{array}}}
In schematischer Darstellung:
(
1.
)
(
2.
)
[
3
7
−
1
24
−
6
−
5
20
33
]
(
1.
)
⋅
2
(
2.
)
⇒
(
3.
)
(
4.
)
[
6
14
−
2
48
−
6
−
5
20
33
]
(
3.
)
:
2
(
3.
)
+
(
4.
)
{\displaystyle {\begin{array}{c}(1.)\\(2.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&7&-1&24\\-6&-5&20&33\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(1.)\cdot 2\\(2.)\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(3.)\\(4.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}6&14&-2&48\\-6&-5&20&33\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(3.):2\\(3.)+(4.)\\\end{array}}}
⇒
(
5.
)
(
6.
)
[
3
7
−
1
24
0
9
18
81
]
(
5.
)
(
6.
)
⋅
(
−
7
/
9
)
⇒
(
7.
)
(
8.
)
[
3
7
−
1
24
0
−
7
−
14
−
63
]
(
7.
)
+
(
8.
)
(
8.
)
:
(
−
7
)
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(5.)\\(6.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&7&-1&24\\0&9&18&81\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(5.)\\(6.)\cdot (-7/9)\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(7.)\\(8.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&7&-1&24\\0&-7&-14&-63\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(7.)+(8.)\\(8.):(-7)\\\end{array}}}
⇒
(
9.
)
(
10.
)
[
3
0
−
15
−
39
0
1
2
9
]
(
9.
)
:
3
(
10.
)
⇒
(
11.
)
(
12.
)
[
1
0
−
5
−
13
0
1
2
9
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(9.)\\(10.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&0&-15&-39\\0&1&2&9\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(9.):3\\(10.)\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(11.)\\(12.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&-5&-13\\0&1&2&9\\\end{array}}\right]}
Wieder in der üblichen Schreibweise
1
⋅
x
1
−
5
⋅
x
3
=
−
13
1
⋅
x
2
+
2
⋅
x
3
=
9
⇒
x
1
=
5
⋅
x
3
−
13
x
2
=
−
2
⋅
x
3
+
9
{\displaystyle {\begin{array}{|ccccc|}1\cdot x_{1}&-&5\cdot x_{3}&=&-13\\1\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&=&9\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{|cccc|}x_{1}&=5\cdot x_{3}&-&13\\x_{2}&=-2\cdot x_{3}&+&9\\\end{array}}}
Die Lösungsmenge ist demnach:
L
=
{
(
5
⋅
t
−
13
|
−
2
⋅
t
+
9
|
t
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
−
13
|
9
|
0
)
+
t
⋅
(
5
|
−
2
|
1
)
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5\cdot t-13\,|\,-2\cdot t+9\,|\,t\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,-13\,|\,9\,|\,0\,)+t\cdot (\,5\,|\,-2\,|\,1\,)\;t\in \mathbb {R} \right\}}
(
1
)
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
(
2
)
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
84
⋅
x
3
=
−
100
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\(2)&-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&84\cdot x_{3}&=&-100\\\end{array}}}
In schematischer Darstellung:
(
1.
)
(
2.
)
[
6
16
−
24
30
−
21
−
56
84
−
100
]
(
1.
)
⋅
7
(
2.
)
⋅
2
⇒
(
3.
)
(
4.
)
[
42
112
−
168
210
−
42
−
112
168
−
200
]
(
3.
)
(
3.
)
+
(
4.
)
{\displaystyle {\begin{array}{c}(1.)\\(2.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}6&16&-24&30\\-21&-56&84&-100\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(1.)\cdot 7\\(2.)\cdot 2\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(3.)\\(4.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}42&112&-168&210\\-42&-112&168&-200\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(3.)\\(3.)+(4.)\\\end{array}}}
⇒
(
5.
)
(
6.
)
[
42
112
−
168
210
0
0
0
10
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(5.)\\(6.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}42&112&-168&210\\0&0&0&10\\\end{array}}\right]}
Dieses Gleichungssystem hat wegen der falschen Aussage in der letzten Zeile (0=10) keine Lösung. Die Lösungsmenge ist demnach:
L
=
∅
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\emptyset }
(
1
)
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
(
2
)
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
84
⋅
x
3
=
−
105
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\(2)&-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&84\cdot x_{3}&=&-105\\\end{array}}}
In schematischer Darstellung:
(
1.
)
(
2.
)
[
6
16
−
24
30
−
21
−
56
84
−
105
]
(
1.
)
⋅
7
(
2.
)
⋅
2
⇒
(
3.
)
(
4.
)
[
42
112
−
168
210
−
42
−
112
168
−
210
]
(
3.
)
:
14
(
3.
)
+
(
4.
)
{\displaystyle {\begin{array}{c}(1.)\\(2.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}6&16&-24&30\\-21&-56&84&-105\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(1.)\cdot 7\\(2.)\cdot 2\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(3.)\\(4.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}42&112&-168&210\\-42&-112&168&-210\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(3.):14\\(3.)+(4.)\\\end{array}}}
⇒
(
5.
)
(
6.
)
[
3
8
−
12
15
0
0
0
0
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(5.)\\(6.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&8&-12&15\\0&0&0&0\\\end{array}}\right]}
Dieses Gleichungssystem hat nur eine für die Lösung relevante Gleichung. Die Lösungsmenge ist (siehe Beispiele zu einer Gleichung):
L
=
{
(
5
−
8
⋅
s
+
4
⋅
t
|
3
⋅
s
|
t
)
,
s
,
t
∈
R
}
=
{
(
5
|
0
|
0
)
+
s
⋅
(
−
8
|
3
|
0
)
+
t
⋅
(
4
|
0
|
1
)
,
s
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5-8\cdot s+4\cdot t\,|\,3\cdot s\,|\,t\,\right),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,5\,|\,0\,|\,0\,)+s\cdot (\,-8\,|\,3\,|\,0\,)+t\cdot (\,4\,|\,0\,|\,1\,),\;s,t\in \mathbb {R} \right\}}
(
1
)
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
(
2
)
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
85
⋅
x
3
=
−
100
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\(2)&-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&85\cdot x_{3}&=&-100\\\end{array}}}
In schematischer Darstellung:
(
1.
)
(
2.
)
[
6
16
−
24
30
−
21
−
56
85
−
100
]
(
1.
)
⋅
7
(
2.
)
⋅
2
⇒
(
3.
)
(
4.
)
[
42
112
−
168
210
−
42
−
112
170
−
200
]
(
3.
)
:
14
(
3.
)
+
(
4.
)
{\displaystyle {\begin{array}{c}(1.)\\(2.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}6&16&-24&30\\-21&-56&85&-100\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(1.)\cdot 7\\(2.)\cdot 2\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(3.)\\(4.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}42&112&-168&210\\-42&-112&170&-200\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(3.):14\\(3.)+(4.)\\\end{array}}}
⇒
(
5.
)
(
6.
)
[
3
8
−
12
15
0
0
2
10
]
(
5.
)
(
6.
)
⋅
6
⇒
(
7.
)
(
8.
)
[
3
8
−
12
15
0
0
12
60
]
(
7.
)
+
(
8.
)
(
8.
)
:
12
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(5.)\\(6.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&8&-12&15\\0&0&2&10\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(5.)\\(6.)\cdot 6\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c}(7.)\\(8.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&8&-12&15\\0&0&12&60\\\end{array}}\right]{\begin{array}{l}(7.)+(8.)\\(8.):12\\\end{array}}}
⇒
(
9.
)
(
10.
)
[
3
8
0
75
0
0
1
5
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{array}{c}(9.)\\(10.)\\\end{array}}\left[{\begin{array}{ccc|c}3&8&0&75\\0&0&1&5\\\end{array}}\right]}
Wieder in der üblichen Schreibweise
3
⋅
x
1
+
8
⋅
x
2
=
75
x
3
=
5
⇒
x
1
=
−
8
/
3
⋅
x
2
+
25
x
3
=
5
{\displaystyle {\begin{array}{|ccccc|}3\cdot x_{1}&+&8\cdot x_{2}&=&75\\&&x_{3}&=&5\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{|ccccc|}x_{1}&=&-8/3\cdot x_{2}&+&25\\x_{3}&=&5&&\\\end{array}}}
Die Lösungsmenge ist demnach
L
=
{
(
25
−
8
/
3
⋅
t
|
t
|
5
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
25
|
0
|
5
)
+
t
⋅
(
−
8
/
3
|
1
|
0
)
,
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,25-8/3\cdot t\,|\,t\,|\,5\,\right),t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,25\,|\,0\,|\,5\,)+t\cdot (\,-8/3\,|\,1\,|\,0\,),\;t\in \mathbb {R} \right\}}
oder wenn man Brüche lieber vermeiden will, mit
s
=
1
/
3
⋅
t
{\displaystyle s=1/3\cdot t}
:
L
=
{
(
25
−
8
⋅
s
|
3
⋅
s
|
5
)
,
s
∈
R
}
=
{
(
25
|
0
|
5
)
+
s
⋅
(
−
8
|
3
|
0
)
,
s
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,25-8\cdot s\,|\,3\cdot s\,|\,5\,\right),s\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,25\,|\,0\,|\,5\,)+s\cdot (\,-8\,|\,3\,|\,0\,),\;s\in \mathbb {R} \right\}}
2 Gleichungen und 3 Unbekannte mit dem Determinanten-Verfahren
Bearbeiten
Bei zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht die Koeffizientenmatrix aus 2 Zeilen und 3 Spalten. Determinanten kann man aber nur von quadratischen Matrizen (= gleich viele Zeilen und Spalten) berechnen. Trotzdem kann man mit einem kleinen Trick auch hier das Determinanten-Verfahren anwenden. Dazu schreibt man das Gleichungssystem
a
1
⋅
x
1
+
b
1
⋅
x
2
+
c
1
⋅
x
3
=
e
1
a
2
⋅
x
1
+
b
2
⋅
x
2
+
c
2
⋅
x
3
=
e
2
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&+&c_{1}\cdot x_{3}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&+&c_{2}\cdot x_{3}&=&e_{2}\\\end{array}}}
um und erhält mit
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
a
1
⋅
x
1
+
b
1
⋅
x
2
=
e
1
−
c
1
⋅
t
a
2
⋅
x
1
+
b
2
⋅
x
2
=
e
2
−
c
2
⋅
t
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&=&e_{1}&-&c_{1}\cdot t\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&=&e_{2}&-&c_{2}\cdot t\\\end{array}}}
Die für das Determinantenverfahren wichtigen Matrizen sind dann:
A
=
(
a
1
b
1
a
2
b
2
)
{\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\end{array}}\right)}
,
A
1
(
t
)
=
(
e
1
−
c
1
t
b
1
e
2
−
c
2
t
b
2
)
{\displaystyle A_{1}(t)=\left({\begin{array}{cc}e_{1}-c_{1}\,t&b_{1}\\e_{2}-c_{2}\,t&b_{2}\\\end{array}}\right)}
und
A
2
(
t
)
=
(
a
1
e
1
−
c
1
t
a
2
e
2
−
c
2
t
)
{\displaystyle A_{2}(t)=\left({\begin{array}{cc}a_{1}&e_{1}-c_{1}\,t\\a_{2}&e_{2}-c_{2}\,t\\\end{array}}\right)}
Falls
det
(
A
)
=
a
1
⋅
b
2
−
a
2
⋅
b
1
≠
0
{\displaystyle \det(A)=a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\neq 0}
gilt:
x
1
=
det
(
A
1
(
t
)
)
det
(
A
)
,
x
2
=
det
(
A
2
(
t
)
)
det
(
A
)
,
x
3
=
t
{\displaystyle x_{1}={\frac {\det \left(A_{1}(t)\right)}{\det(A)}},\;x_{2}={\frac {\det \left(A_{2}(t)\right)}{\det(A)}},\;x_{3}=t}
Ist dagegen
det
(
A
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=0}
, dann kann es helfen, statt
x
3
{\displaystyle x_{3}}
einmal
x
2
{\displaystyle x_{2}}
oder
x
1
{\displaystyle x_{1}}
auf die rechte Seite zu bringen, und die entsprechenden Matrizen zu bestimmen.
Ist z.B.
det
(
A
′
)
=
det
(
a
1
c
1
a
2
c
2
)
≠
0
{\displaystyle \det(A')=\det \left({\begin{array}{cc}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\\\end{array}}\right)\neq 0}
so lässt sich mit Hilfe von
A
1
′
(
t
)
=
(
e
1
−
b
1
t
c
1
e
2
−
b
2
t
c
2
)
{\displaystyle A_{1}'(t)=\left({\begin{array}{cc}e_{1}-b_{1}\,t&c_{1}\\e_{2}-b_{2}\,t&c_{2}\\\end{array}}\right)}
und
A
3
′
(
t
)
=
(
a
1
e
1
−
b
1
t
a
2
e
2
−
b
2
t
)
{\displaystyle A_{3}'(t)=\left({\begin{array}{cc}a_{1}&e_{1}-b_{1}\,t\\a_{2}&e_{2}-b_{2}\,t\\\end{array}}\right)}
Die Lösung bestimmen:
x
1
=
det
(
A
1
′
(
t
)
)
det
(
A
)
,
x
2
=
t
,
x
3
=
det
(
A
3
′
(
t
)
)
det
(
A
)
{\displaystyle x_{1}={\frac {\det \left(A_{1}'(t)\right)}{\det(A)}},\;x_{2}=t,\;x_{3}={\frac {\det \left(A_{3}'(t)\right)}{\det(A)}}}
Selbst wenn für alle drei Koeffizientenmatrizen gilt
det
(
A
)
=
det
(
A
′
)
=
det
(
A
″
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det(A')=\det(A'')=0}
, heißt das noch nicht, dass es keine Lösung des Gleichungssystems gibt. Wenn es jedoch eine Lösung gibt, dann lässt sich diese nicht wie in den anderen Fällen beschrieben durch Quotienten aus den Determinanten darstellen. Entscheidend für die Existenz von Lösungen ist im Fall
det
(
A
)
=
det
(
A
′
)
=
det
(
A
″
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det(A')=\det(A'')=0}
die Detreminante
det
(
B
)
=
det
(
a
1
e
1
a
2
e
2
)
{\displaystyle \det(B)=\det \left({\begin{array}{cc}a_{1}&e_{1}\\a_{2}&e_{2}\\\end{array}}\right)}
Gilt
det
(
A
)
=
det
(
A
′
)
=
det
(
A
″
)
=
det
(
B
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det(A')=\det(A'')=\det(B)=0}
, dann gibt es Lösungen.
Gilt
det
(
A
)
=
det
(
A
′
)
=
det
(
A
″
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det(A')=\det(A'')=0}
aber
det
(
B
)
≠
0
{\displaystyle \det(B)\neq 0}
, so gibt es keine Lösung.
3
⋅
x
1
+
7
⋅
x
2
−
1
⋅
x
3
=
24
−
6
⋅
x
1
−
5
⋅
x
2
+
20
⋅
x
3
=
33
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3\cdot x_{1}&+&7\cdot x_{2}&-&1\cdot x_{3}&=&24\\-6\cdot x_{1}&-&5\cdot x_{2}&+&20\cdot x_{3}&=&33\\\end{array}}}
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
auf die rechte Seite gebracht:
3
⋅
x
1
+
7
⋅
x
2
=
24
+
1
⋅
t
−
6
⋅
x
1
−
5
⋅
x
2
=
33
−
20
⋅
t
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3\cdot x_{1}&+&7\cdot x_{2}&=&24&+&1\cdot t\\-6\cdot x_{1}&-&5\cdot x_{2}&=&33&-&20\cdot t\\\end{array}}}
Die für das Determinantenverfahren wichtigen Determinanten sind dann:
det
(
A
)
=
det
(
3
7
−
6
−
5
)
=
27
{\displaystyle \det(A)=\det \left({\begin{array}{cc}3&7\\-6&-5\\\end{array}}\right)=27}
det
(
A
1
(
t
)
)
=
det
(
24
+
t
7
33
−
20
t
−
5
)
=
−
5
⋅
(
24
+
t
)
−
7
⋅
(
33
−
20
t
)
=
135
t
−
351
{\displaystyle \det(A_{1}(t))=\det \left({\begin{array}{cc}24+t&7\\33-20\,t&-5\\\end{array}}\right)=-5\cdot (24+t)-7\cdot (33-20\,t)=135\,t-351}
det
(
A
2
(
t
)
)
=
det
(
3
24
+
t
−
6
33
−
20
t
)
=
3
⋅
(
33
−
20
t
)
+
6
⋅
(
24
+
t
)
=
−
54
t
+
243
{\displaystyle \det(A_{2}(t))=\det \left({\begin{array}{cc}3&24+t\\-6&33-20\,t\\\end{array}}\right)=3\cdot (33-20\,t)+6\cdot (24+t)=-54\,t+243}
Wegen
det
(
A
)
≠
0
{\displaystyle \det(A)\neq 0}
gilt:
x
1
=
135
t
−
351
27
=
5
t
−
13
,
x
2
=
−
54
t
+
243
27
=
−
2
t
+
9
,
x
3
=
t
{\displaystyle x_{1}={\frac {135\,t-351}{27}}=5\,t-13,\;x_{2}={\frac {-54\,t+243}{27}}=-2\,t+9,\;x_{3}=t}
Die Lösungsmenge ist also:
L
=
{
(
5
⋅
t
−
13
|
−
2
⋅
t
+
9
|
t
)
,
t
∈
R
}
=
{
(
−
13
|
9
|
0
)
+
t
⋅
(
5
|
−
2
|
1
)
t
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,5\cdot t-13\,|\,-2\cdot t+9\,|\,t\,\right),\;t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,-13\,|\,9\,|\,0\,)+t\cdot (\,5\,|\,-2\,|\,1\,)\;t\in \mathbb {R} \right\}}
(
1
)
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
(
2
)
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
85
⋅
x
3
=
−
100
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\(2)&-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&85\cdot x_{3}&=&-100\\\end{array}}}
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
auf die rechte Seite gebracht:
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
=
30
+
24
⋅
t
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
=
−
100
−
85
⋅
t
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&=&30&+&24\cdot t\\-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&=&-100&-&85\cdot t\\\end{array}}}
Die Koeffizientenmatrix dazu hat die Determinante:
det
(
A
)
=
det
(
6
16
−
21
−
56
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det \left({\begin{array}{cc}6&16\\-21&-56\\\end{array}}\right)=0}
hilft uns also nicht weiter. Zweiter Versuch
x
2
=
s
{\displaystyle x_{2}=s}
auf die rechte Seite gebracht
6
⋅
x
1
−
24
⋅
x
3
=
30
−
16
⋅
s
−
21
⋅
x
1
+
85
⋅
x
3
=
−
100
+
56
⋅
s
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}6\cdot x_{1}&-&24\cdot x_{3}&=&30&-&16\cdot s\\-21\cdot x_{1}&+&85\cdot x_{3}&=&-100&+&56\cdot s\\\end{array}}}
Für die entsprechende Koeffizientenmatrix gilt:
det
(
A
′
)
=
det
(
6
−
24
−
21
85
)
=
6
{\displaystyle \det(A')=\det \left({\begin{array}{cc}6&-24\\-21&85\\\end{array}}\right)=6}
Wegen
det
(
A
′
(
s
)
)
≠
0
{\displaystyle \det(A'(s))\neq 0}
lohnt es sich die beiden anderen Matrizen zu berechnen:
det
(
A
1
′
(
s
)
)
=
det
(
30
−
16
s
−
24
−
100
+
56
s
85
)
=
85
⋅
(
30
−
16
s
)
+
24
⋅
(
−
100
+
56
s
)
=
−
16
s
+
150
{\displaystyle \det(A_{1}'(s))=\det \left({\begin{array}{cc}30-16\,s&-24\\-100+56\,s&85\\\end{array}}\right)=85\cdot (30-16\,s)+24\cdot (-100+56\,s)=-16\,s+150}
det
(
A
3
′
(
s
)
)
=
det
(
6
30
−
16
s
−
21
−
100
+
56
s
)
=
6
⋅
(
−
100
+
56
s
)
+
21
⋅
(
30
−
16
s
)
=
30
{\displaystyle \det(A_{3}'(s))=\det \left({\begin{array}{cc}6&30-16\,s\\-21&-100+56\,s\\\end{array}}\right)=6\cdot (-100+56\,s)+21\cdot (30-16\,s)=30}
Es gilt:
x
1
=
−
16
s
+
150
6
=
−
8
3
s
+
25
,
x
2
=
s
,
x
3
=
30
6
=
5
{\displaystyle x_{1}={\frac {-16\,s+150}{6}}=-{\frac {8}{3}}\,s+25,\;x_{2}=s,\;x_{3}={\frac {30}{6}}=5}
Die Lösungsmenge ist demnach
L
=
{
(
25
−
8
/
3
⋅
s
|
s
|
5
)
,
s
∈
R
}
=
{
(
25
|
0
|
5
)
+
s
⋅
(
−
8
/
3
|
1
|
0
)
,
s
∈
R
}
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\left\{\left(\,25-8/3\cdot s\,|\,s\,|\,5\,\right),s\in \mathbb {R} \right\}=\left\{(\,25\,|\,0\,|\,5\,)+s\cdot (\,-8/3\,|\,1\,|\,0\,),\;s\in \mathbb {R} \right\}}
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
84
⋅
x
3
=
−
100
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&84\cdot x_{3}&=&-100\\\end{array}}}
x
3
=
t
{\displaystyle x_{3}=t}
auf die rechte Seite gebracht:
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
=
30
+
24
⋅
t
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
=
−
100
−
84
⋅
t
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&=&30&+&24\cdot t\\-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&=&-100&-&84\cdot t\\\end{array}}}
Die Koeffizientenmatrix dazu hat die Determinante:
det
(
A
)
=
det
(
6
16
−
21
−
56
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det \left({\begin{array}{cc}6&16\\-21&-56\\\end{array}}\right)=0}
hilft uns also nicht weiter. Zweiter Versuch
x
2
=
s
{\displaystyle x_{2}=s}
auf die rechte Seite gebracht
6
⋅
x
1
−
24
⋅
x
3
=
30
−
16
⋅
s
−
21
⋅
x
1
+
84
⋅
x
3
=
−
100
+
56
⋅
s
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}6\cdot x_{1}&-&24\cdot x_{3}&=&30&-&16\cdot s\\-21\cdot x_{1}&+&84\cdot x_{3}&=&-100&+&56\cdot s\\\end{array}}}
Für die entsprechende Koeffizientenmatrix gilt:
det
(
A
′
)
=
det
(
6
−
24
−
21
84
)
=
0
{\displaystyle \det(A')=\det \left({\begin{array}{cc}6&-24\\-21&84\\\end{array}}\right)=0}
Als letzter Versuch
x
1
=
r
{\displaystyle x_{1}=r}
auf die rechte Seite gebracht
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
−
6
⋅
r
−
56
⋅
x
2
+
84
⋅
x
3
=
−
100
+
21
⋅
r
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30&-&6\cdot r\\-56\cdot x_{2}&+&84\cdot x_{3}&=&-100&+&21\cdot r\\\end{array}}}
aber auch für die hier auftretende Matrix gilt:
det
(
A
″
)
=
det
(
16
−
24
−
56
84
)
=
0
{\displaystyle \det(A'')=\det \left({\begin{array}{cc}16&-24\\-56&84\\\end{array}}\right)=0}
Entscheident ist also die Matrix B.
det
(
B
)
=
det
(
6
30
−
21
−
100
)
=
30
≠
0
{\displaystyle \det(B)=\det \left({\begin{array}{cc}6&30\\-21&-100\\\end{array}}\right)=30\neq 0}
Also besitzt das Gleichungssystem keine Lösung
L
=
∅
{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\emptyset }
(
1
)
6
⋅
x
1
+
16
⋅
x
2
−
24
⋅
x
3
=
30
(
2
)
−
21
⋅
x
1
−
56
⋅
x
2
+
84
⋅
x
3
=
−
105
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}(1)&6\cdot x_{1}&+&16\cdot x_{2}&-&24\cdot x_{3}&=&30\\(2)&-21\cdot x_{1}&-&56\cdot x_{2}&+&84\cdot x_{3}&=&-105\\\end{array}}}
Auch hier gilt natürlich:
det
(
A
)
=
det
(
A
′
)
=
det
(
A
″
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=\det(A')=\det(A'')=0}
Aber im Gegensatz zum 3. Beispiel gilt hier:
det
(
B
)
=
det
(
6
30
−
21
−
105
)
=
0
{\displaystyle \det(B)=\det \left({\begin{array}{cc}6&30\\-21&-105\\\end{array}}\right)=0}
Das liefert uns zwar keine Lösung des Gleichungssystems, aber immerhin wissen wir jetzt, dass es Lösungen gibt.