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Lineare Gleichungssysteme mit mehr Unbekannten als Gleichungen

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Auf solche Gleichungssysteme sind wir beim Untersuchen der anderen Gleichungssysteme schon mehrmals gestoßen; immer dann, wenn der Gauß-Algorithmus so viele Nullzeilen erzeugt, dass letztendlich weniger Zeilen für die Lösung relevant waren als Unbekannte zu finden waren.

Nur eine Gleichung

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Dann kann man eigentlich nicht von einem Gleichungssystem sprechen. Bei zwei Unbekannten sieht eine solche Gleichung wie folgt aus:

 , wobei a und b nicht Null sind.

Dann ist  . Zu vorgegebenem   ist also  . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:

 

oder etwas anders geschrieben

 

Alternativ kann man auch   durch   ersetzen und erhält damit  . Die Lösungsmenge schreibt sich dann als:

 


Bei drei Unbekannten hat man:

 , wobei a, b und c nicht Null sind.

Dann ist  . Zu vorgegebenem   und   ist also  . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:

 

oder etwas anders geschrieben

 


2 Gleichungen und 3 Unbekannte

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Ein solches Gleichungssystem sieht wie folgt aus:

 

wobei nicht sowohl   als auch   beide Null sind, und auch nicht sowohl   als auch   beide Null sind, und auch nicht sowohl   als auch   beide Null sind. Im folgenden sei  , was man im Zweifel durch vertauschen der Zeilen erreichen kann. Durch Subtraktion eines Vielfachen der ersten Zeile von der zweiten Zeile erhält man das modifizierte Gleichungssystem:

 

An diesem Punkt müssen mehrere Fälle unterschieden werden:

  • 1. Fall: Gilt  , dann hängt die Lösbarkeit des Systems von   ab.
    • 1.1. Fall: Gilt auch  , dann steht in der unteren Zeile  . Für die Lösung des Gleichungssystems ist also nur die obere Zeile relevant. Das Gleichungssystem ist also in diesem Fall gleichwertig mit einer Gleichung mit drei Unbekannten. Wie das zu lösen ist, wurde weiter oben behandelt. (siehe hier)
    • 1.2. Fall: Gilt dagegen  , dann liefert die untere Zeile eine falsche Aussage, das Gleichungssystem hat demnach keine Lösung.
  • 2. Fall: Wenigstens eine der beiden Zahlen   und   ist nicht Null. Durch Subtraktion eines Vielfachen der zweiten von der ersten Zeile das Gleichungssystem lässt dieses sich auf eine der folgenden Formen bringen:
  oder  
bzw. etwas anders geschrieben
  oder  
Einmal lassen sich   und   in Abhängigkeit von   darstellen. Im anderen Fall lassen sich   und   in Abhängigkeit von   darstellen. Mit  ,   und  ,   bzw.  ,   und  ,   sieht das schon einfacher aus:
  oder  
Die Lösung des linearen Gleichungssystems sind demnach:
 
bzw.
 


2 Gleichungen und 3 Unbekannte mit dem Determinanten-Verfahren

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Bei zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht die Koeffizientenmatrix aus 2 Zeilen und 3 Spalten. Determinanten kann man aber nur von quadratischen Matrizen (= gleich viele Zeilen und Spalten) berechnen. Trotzdem kann man mit einem kleinen Trick auch hier das Determinanten-Verfahren anwenden. Dazu schreibt man das Gleichungssystem

 

um und erhält mit  

 

Die für das Determinantenverfahren wichtigen Matrizen sind dann:

 ,   und  

Falls   gilt:

 

Ist dagegen  , dann kann es helfen, statt   einmal   oder   auf die rechte Seite zu bringen, und die entsprechenden Matrizen zu bestimmen. Ist z.B.   so lässt sich mit Hilfe von

  und  

Die Lösung bestimmen:

 

Selbst wenn für alle drei Koeffizientenmatrizen gilt  , heißt das noch nicht, dass es keine Lösung des Gleichungssystems gibt. Wenn es jedoch eine Lösung gibt, dann lässt sich diese nicht wie in den anderen Fällen beschrieben durch Quotienten aus den Determinanten darstellen. Entscheidend für die Existenz von Lösungen ist im Fall   die Detreminante

 
  • Gilt  , dann gibt es Lösungen.
  • Gilt   aber  , so gibt es keine Lösung.




3 Gleichungen und 4 Unbekannte

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