MathGymOS/ LGS/ Das Determinanten-Verfahren

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&=&b_{1}\\(2)&a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&=&b_{2}\\(3)&a_{31}\cdot x_{1}&+&a_{32}\cdot x_{2}&+&a_{33}\cdot x_{3}&=&b_{3}\end{array}}$

Die Koeffizientenmatrix ist:$A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right)$

Die Matrix $A_{i}\;(i=1,\ldots ,3)$ entsteht, indem ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}$ anstelle der i-ten Spalte von A geschrieben wird.

Beispiel: $A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{array}}\right)$

Die Cramerschen Regeln

Das obige lineare Gleichungssystem besitzt:

• genau eine eindeutige Lösung, wenn $\left.\det(A)\neq 0\right.$.
  Dann gilt: $x_{1}={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}$, $x_{2}={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}$ und $x_{3}={\frac {\det(A_{3})}{\det(A)}}$.

• keine Lösung, wenn $\left.\det(A)=0\right.$ und für mindestens eine der Matrizen $A_{i}\;(i=1,\ldots ,3)$ gilt $\left.\det(A_{i})\neq 0\right.$.

• wenn dagegen $\left.\det(A)=0\right.$ und auch für jede der Matrizen $A_{i}\;(i=1,\ldots ,3)$ gilt $\left.\det(A_{i})=0\right.$, dann gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

 

(Determinante siehe hier)

Beispiele

• Beispiel 1 (eindeutige Lösung)

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&=&-2\\(2)&2\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&+&1\cdot x_{3}&=&1\\(3)&3\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&1\cdot x_{3}&=&3\end{array}}$

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\end{array}}\right),\;A_{1}=\left({\begin{array}{ccc}-2&2&2\\1&3&1\\3&4&1\end{array}}\right),\;A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&-2&2\\2&1&1\\3&3&1\end{array}}\right),\;A_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&3&1\\3&4&3\end{array}}\right)$

$\left.\det A=-1\neq 0\right.$, demnach ist das LGS eindeutig lösbar.

$\left.\det A_{1}=-4,\;\det A_{2}=2,\;\det A_{3}=1\right.$

$\Rightarrow x_{1}={\frac {-4}{-1}}=4,\;x_{2}={\frac {2}{-1}}=-2,\;x_{3}={\frac {1}{-1}}=-1$

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

${\mathfrak {L}}=\left\{(\,4\,|\,-2\,|\,-1\,)\right\}$

• Beispiel 2 (keine Lösung)

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&=&-2\\(2)&2\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&+&1\cdot x_{3}&=&1\\(3)&3\cdot x_{1}&+&5\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&1\end{array}}$

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&5&3\end{array}}\right),\;A_{1}=\left({\begin{array}{ccc}-2&2&2\\1&3&1\\1&5&3\end{array}}\right),\;A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&-2&2\\2&1&1\\3&1&3\end{array}}\right),\;A_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&3&1\\3&5&1\end{array}}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\left.\det A_{1}=-8\neq 0,\;\det A_{2}=6\neq 0,\;\det A_{3}=-2\neq 0\right.$, demnach besitzt das LGS keine Lösungen.

Die Lösungsmenge des LGS ist also:

${\mathfrak {L}}=\emptyset$

• Beispiel 3 (unendlich viele Lösungen)

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&=&-2\\(2)&2\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&+&1\cdot x_{3}&=&1\\(3)&3\cdot x_{1}&+&5\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&-1\end{array}}$

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&5&3\end{array}}\right),\;A_{1}=\left({\begin{array}{ccc}-2&2&2\\1&3&1\\-1&5&3\end{array}}\right),\;A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&-2&2\\2&1&1\\3&-1&3\end{array}}\right),\;A_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&3&1\\3&5&-1\end{array}}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\det A_{1}=0,\;\det A_{2}=0,\;\det A_{3}=0$

Dieses LGS besitzt unendlich viele Lösungen, nämlich :${\mathfrak {L}}=\left\{(\,4t-2\,|\,-3t+5\,|\,t\,)|\;t\in \mathbb {R} \right\}$.

Anmerkung: -3t+5 ist falsch. Korrekt ist -3t-5.

• Beispiel 4 (keine Lösungen)

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&1\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&+&1\cdot x_{3}&=&3\\(2)&2\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&=&4\\(3)&3\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&9\end{array}}$

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{array}}\right),\;A_{1}=\left({\begin{array}{ccc}3&1&1\\4&2&2\\9&3&3\end{array}}\right),\;A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&3&1\\2&4&2\\3&9&3\end{array}}\right),\;A_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&2&4\\3&3&9\end{array}}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\det A_{1}=0,\;\det A_{2}=0,\;\det A_{3}=0$

Dieses LGS besitzt keine Lösung.

 

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