Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

Definition

Die Determinante der Matrix $A=\left({\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right)$ ist $\det A=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$

Die Determinante der Matrix $A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right)$ ist

$\det A=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right|$

$=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}.$

 

Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

• Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
• Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
  $a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$
• Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.
  $-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$
• $\det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$

Beispiele

${\begin{array}{|cc|}2&2\\4&1\end{array}}=2\cdot 1-4\cdot 2=-6,\;{\begin{array}{|cc|}1&2\\3&1\end{array}}=1\cdot 1-3\cdot 2=-5,\;{\begin{array}{|cc|}1&2\\3&4\end{array}}=1\cdot 4-3\cdot 2=-2$

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\\\end{array}}\right)$

Im Schema geschrieben

${\begin{array}{|ccc|cc|}1&2&2&1&2\\2&3&1&2&3\\3&4&1&3&4\\\end{array}}$

$\det A=1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 1\cdot 3+2\cdot 2\cdot 4-3\cdot 3\cdot 2-4\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 2=3+6+16-18-4-4=25-26=-1$

 

Entwicklung einer Determinante

Sei $\left.A\right.$ eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und $\left.a_{m,k}\right.$ die Einträge von $\left.A\right.$ (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner $\left.A_{m,k}\right.$ die Matrix, die aus $\left.A\right.$entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

$A=\left({\begin{array}{ccc}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{array}}\right)$, $A_{1,2}=\left({\begin{array}{cc}a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{array}}\right)$ und $A_{3,1}=\left({\begin{array}{cc}a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{array}}\right)$

Dann ist die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der m-ten Zeile:

${\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{m+1}\cdot a_{m,1}\cdot \det A_{m,1}+(-1)^{m+2}\cdot a_{m,2}\cdot \det A_{m,2}+\ldots +(-1)^{m+n}\cdot a_{m,n}\cdot \det A_{m,n}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{m+j}\cdot a_{m,j}\cdot \det A_{m,j}\\\end{array}}$

Die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der k-ten Spalte ist:

${\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{k+1}\cdot a_{1,k}\cdot \det A_{1,k}+(-1)^{k+2}\cdot a_{2,k}\cdot \det A_{2,k}+\ldots +(-1)^{k+n}\cdot a_{n,k}\cdot \det A_{n,k}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{k+j}\cdot a_{j,k}\cdot \det A_{j,k}\\\end{array}}$

Beispiele

$A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\end{array}}\right)$

Die Determinante soll nach der 2-ten Zeile Entwickelt werden.

$A_{2,1}=\left({\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right),\;A_{2,2}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right),\;A_{2,3}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right)$

$a_{2,1}=2,\;a_{2,2}=3,\;a_{2,3}=1$

Also ist:

${\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{2+1}\cdot 2\cdot \left|{\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+2}\cdot 3\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right|\\&=&-2\cdot (-6)+3\cdot (-5)-1\cdot (-2)\\&=&-1\end{array}}$

 

Anwendung: Kreis durch drei Punkte

Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.

Gegeben seien drei Punkte $P_{1}(x_{1},y_{1})$,$P_{2}(x_{2},y_{2})$ und $P_{3}(x_{3},y_{3})$ auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung $\left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$ genügen, ergibt sich:

$\left(x_{1}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$

$\left(x_{2}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$

$\left(x_{3}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$

mit den Unbekannten $x_{M}$, $y_{M}$ und $r$.

Wenn man die Matrix

${\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{pmatrix}}$

deren Detetminante Null ist, nach der ersten Zeile entwickelt, so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises: Mit den Unterdeterminanten

$A=+\det {\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{pmatrix}}$

$B=-\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{pmatrix}}$

$C=+\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\end{pmatrix}}$

$D=-\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{pmatrix}}$

Ergibt sich die Gleichung:

$A(x^{2}+y^{2})+Bx+Cy+D=0$

Mittels geeigneter quadratischer Ergänzung folgt die Kreisgleichung

$\left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$

Mit   $x_{M}={\frac {-B}{2A}}$,   $y_{M}={\frac {-C}{2A}}$   und   $r={\sqrt {{\frac {B^{2}+C^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {D}{A}}}}$.

Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist $A=0$.

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