Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

Definition

Die Determinante der Matrix ist

Die Determinante der Matrix ist

 


Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

Sarrus.png

  • Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
  • Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
  • Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.


Entwicklung einer DeterminanteBearbeiten

Sei   eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und   die Einträge von   (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner   die Matrix, die aus  entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

 ,   und  

Dann ist die Entwicklung von   nach der m-ten Zeile:

 

Die Entwicklung von   nach der k-ten Spalte ist:

 



Anwendung: Kreis durch drei PunkteBearbeiten

Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.

Gegeben seien drei Punkte  ,  und   auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung   genügen, ergibt sich:

 
 
 
mit den Unbekannten  ,   und  .

Wenn man die Matrix

 

deren Detetminante Null ist, nach der ersten Zeile entwickelt, so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises: Mit den Unterdeterminanten

       

Ergibt sich die Gleichung:

 

Mittels geeigneter quadratischer Ergänzung folgt die Kreisgleichung

 

Mit    ,       und    .

Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist  .