MathGymOS/ LGS/ Mehr Gleichungen als Unbekannte

Lineare Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als UnbekanntenBearbeiten

Ein lineares Gleichungssystem kann auch mehr Gleichungen als Unbekannte enthalten. Ein solches Gleichungssystem kann zum Beispiel wie folgt aussehen:

 

oder etwas kürzer geschrieben:

 

Der Gauß-Algorithmus führt hier zu einer besonderen Stufenform:

 

Es ist sofort einsichtig, dass dieses Gleichungssystem nur dann eine Chance auf eine Lösung hat, wenn   Null ist. Denn ansonsten wäre die letzte Zeile gleichbedeutend mit  , was natürlich eine falsche Aussage ist. Wenn aber   gilt, dann liefert die unterste Zeile   keine für die Lösung des Gleichungssystems relevante Information, kann also weg gelassen werden:

 

Für die Lösbarkeit gelten dann genau die alten Regeln, wie sie schon beim Gauß-Algorithmus beschrieben wurden. Zusammengefasst lässt sich also sagen:

Regel: Anzahl der Lösungen

Das lineare Gleichungssystem

 

kann mit dem Gauß-Algorithmus auf Stufenform umgeformt werden:

 

Es hat

  • keine Lösung, wenn in einer der Zeilen, bei der auf der linken Seit nur Nullen stehen auf der rechten Seiten eine Zahl ungleich Null steht. Soll heißen wenn entweder
  oder
  und   oder
 ,   und  .
  • genau eine eindeutige Lösung, wenn   gilt und kein Element der Diagonalen   Null ist.
  • unendlich viele Lösungen in allen anderen Fällen.

Eventuell vorhandene Lösungen lassen sich finden, indem man, ausgehend von der untersten Zeile die nicht nur aus Nullen besteht, die unbekannten bestimmt und diese dann gegebenenfalls in der darüber liegenden Zeilen einsetzt.

 



Geht das auch mit dem Determinanten-Verfahren?Bearbeiten

Damit das ganz klar ist: eine Determinante ist nur für eine quadratische Koeffizientenmatrix definiert. Man kann sich aber statt des obigen Gleichungssystems ein leicht verändertes System anschauen:

 

Achtung! Das ist nicht das selbe Gleichungssystem. Dieses neue Gleichungssystem hat nämlich, wenn es eine Lösung hat, gleich unendlich viele Lösungen, da man ja für   jeden beliebigen Wert einsetzten kann. Trotzdem kann es uns weiter helfen, denn wenn es eine Lösung   zu diesem modifizierten Gleichungssystem gibt, dann ist   eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems. Und auch umgekehrt gilt, wenn   eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist, dann löst   für jedes beliebige   das neue Gleichungssystem.

Die Koeffizientenmatrix des neu gewonnen Gleichungssystems sieht so aus:  .

Für das Determinante-Verfahren benötigt man darüber hinaus die Matrizen:

 ,   und  .

Es lässt sich relativ leicht nachrechnen, dass   gilt. Es hängt also alles an der Matrix  . Nach der Cramerschen Regel gilt: Ist auch  , so hat das modifizierte Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann hat auch das ursprüngliche System mindestens eine Lösung. Ist dagegen allerdings  , dann hat das modifizierte Gleichungssystem keine Lösung, weshalb in diesem Fall auch das ursprüngliche System keine Lösung haben kann.

Regel: Anzahl der Lösungen

Das lineare Gleichungssystem

 
  • hat mindestens eine Lösung (d.h. genau eine oder unendlich viele Lösungen), wenn   ist und
  • hat keine Lösung, wenn   ist.