Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rechenregeln für Matrizen

Rechenregeln für MatrizenBearbeiten

GrößenrelationenBearbeiten

Gegeben sind die Matrizen   und   mit den Elementen   und  ,  . Es ist

 , falls   für alle  

und

 , falls   für alle  

Entsprechendes gilt auch für  . Vergleiche sind nur für Matrizen gleicher Ordnung definiert.

Addition und SubtraktionBearbeiten

Wir hatten schon im Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus dem Kapitel Matrizenrechnung Matrizen addiert:

 
     
 
 


Es gilt also:

Gegeben sind  ,   und  . Es soll   sein bzw.

 .

Es werden also zwei Matrizen addiert, indem ihre entsprechenden Elemente addiert werden. Es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden.


Beispiel:  


Entsprechend berechnet sich die Subtraktion.

Beispiel:  

MultiplikationBearbeiten

Multiplikation mit einem SkalarBearbeiten

Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus Matrizenrechnung:

Was ergäbe sich, wenn sich im nächsten Jahr der Verbrauch aller Firmen verdoppelt hätte?


 


Wird eine Matrix mit einem Skalar   multipliziert, werden alle Elemente   mit   multipliziert:

 

Beispiel:

 


Multiplikation zweier MatrizenBearbeiten

Beispiel 1: Planung für KuchenbackenBearbeiten

Tante Erna leitet eine kleine Bäckerei, die an 2 Cafés liefert. Sie backt vor allem Biskuitböden, Rührkuchen und Mürbteigböden. Um sich (und uns) die Arbeit zu vereinfachen, hat Erna die Zutaten für die Kuchen in „Eischwer“ umgerechnet (eine altbekannte Faustregel aus der Zeit meiner Oma). Es werden also die Zutaten Mehl, Zucker und Butter in Gewichtseinheiten eines Eies (ca. 50 g) umgerechnet. Es folgt die Tabelle der Zutaten.

Produkt Biskuitteig Rührteig Mürbteig
Produktionsfaktoren kurz: B R M
Ei E 5 4 1
Mehl Me 3 4 6
Zucker Z 4 4 2
Butter Bu 0 4 4

Um damit rechnen zu können, fassen wir nun die Rezeptdaten in einer so genannten Produktionsmatrix   zusammen:

 

.

Die grünen Buchstaben dienen nur zur Veranschaulichung, damit wir nicht vergessen, dass wir es hier mit realen Dingen zu tun haben und damit wir uns anfangs etwas leichter tun.

Ein Element   gibt also die Menge des Inputs   an, die für eine Einheit des Gutes   benötigt wird. Es werden beispielsweise für einen Biskuitteig 4 Eischwer Zucker benötigt, allgemein ausgedrückt - für das Produkt   werden 4 Einheiten der Zutat   benötigt.

Tante Erna hat für kommenden Samstag folgende Bestellungen:

Café1 Café2
C1 C2
Biskuitböden 3 5
Rührkuchen 5 8
Mürbteigböden 2 1

In der Matrix   (wie Quantität) zusammengefasst:

 .

Wieviel Zutaten muss Tante Erna für die Bestellungen einkaufen? Intuitiv denken wir natürlich "Zutaten * bestellte Menge". Also schreiben wir

  bzw. ausführlich und wieder mit den grünen Symbolen zur Orientierung
 

Es soll noch kurz daraufhin gewiesen werden, dass die benötigte Menge   nichts mit dem Rührkuchen R zu tun hat.

Nun arbeiten wir die Matrix der Rohstoffe elementweise ab:   ist die Zahl der Eier für Café1:

  • Für einen Biskuitboden braucht Erna 5 Eier. Es wurden 3 Böden bestellt, also   Eier.
  • Für einen Rührkuchen braucht Erna 4 Eier, bei 5 Kuchen also   Eier.
  • Für einen Mürbteig braucht Tante Erna 1 Ei, bei 2 Böden also   Eier.

Wir rechnen das jetzt mit den Matrizen   und   aus, wobei wir die nicht benötigten Matrixelemente ausblenden.

 .

Man könnte etwas lieblos sagen: Die erste Zeile von   wird mit der ersten Spalte von   multipliziert. Etwas präziser lautet das: Die erste Zeile von   wird elementweise mit der ersten Spalte von   multipliziert. Die Produkte werden dann aufaddiert.

 .

Entsprechend erhalten wir die Zahl der Eier für Café2, also "die erste Zeile von   wird mit der zweiten Spalte von   multipliziert"

 .
 .

Wir kommen nun zur benötigten Menge Mehl:

Mehl für Café1:

 .
 .

Mehl für Café2:

 .


 .

Wir fahren nach dem obigen Schema fort. Bitte verfolgen Sie anhand von   und   die Berechnungen weiter.

Zucker für Café1:

 .

Zucker für Café2:

 .

Butter für Café1:

 .

Butter für Café2:

 .

Für die Matrix der benötigten Rohstoffe erhalten wir also

 .
Beispiel 2: Beschaffung von ProduktionsmittelnBearbeiten

Dieses Beispiel ist ein wenig allgemeiner als das obige.

Zwei Unternehmen U1 und U2 mit gleichem Produktangebot stellen drei Produkte x, y, z her. Dazu benötigen sie die Produktionsfaktoren a, b, c. Die Inputmengen, die für die Herstellung einer Einheit von x, y oder z benötigt werden, sind in der Produktionsmatrix

 

und das aktuelle Produktionsprogramm der Unternehmen in der Matrix

 

angegeben. Beispielsweise werden für die Produktion einer Einheit von x 2 Stück des Gutes c benötigt. Wir suchen die Menge von Produktionsfaktoren  , die für das Produktionsprogramm beschafft werden müssen.

Es ergibt sich  

als

 

Wir multiplizieren:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

und erhalten

 .
Beispiele ohne SachbezugBearbeiten

Nun wollen wir zwei Matrizen multiplizieren, ganz abstrakt, ohne Plätzchen und Zuckerguss:

 

 .

Auch hier gehen wir - analog zu oben - so vor:

Für das Element   multiplizieren wir die erste Zeile von   mit der ersten Spalte von   , was natürlich schlampig ausgedrückt ist und bedeutet, dass wir die erste Zeile von   elementweise mit der ersten Spalte von   multiplizieren und die Produkte dann aufsummieren (blah blah ...).

 

Für das Element   multiplizieren wir die erste Zeile von   mit der zweiten Spalte von  .

 
usw ...

Für das Element   multiplizieren wir die zweite Zeile von   mit der vierten Spalte von  .

 .

Geübte multiplizieren die Produktsummen direkt in die Matrix   hinein. Das sieht dann so aus:

 
 
 

Man kann sich übrigens bei Matrizenmultiplikationen beliebig oft verrechnen. Auch mit viel Erfahrung.

Mit der Berechnung von   können wir uns nun auch überlegen, welche Dimension die Ergebnismatrix   hat. Wir hatten gesehen, dass das "südöstliche" Element   heißt - also hat   zwei Zeilen und vier Spalten, d.h.   hat die Ordnung  .

  A         B    
a a a   b b b b  
a a a   b b b b  
        b b b b  
                 
2 × 3   3 × 4   Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B!!
             
    2 × 4       neue Matrix
Folgerung aus den BeispielenBearbeiten

Jetzt können wir die Matrizenmultiplikation als Formel darstellen:

Gegeben sind die Matrizen  ,  . Das Element   des Produktes   ergibt sich, indem man die  te Zeile von   mit der  ten Spalte von   elementweise multipliziert und die Produkte aufaddiert:

 .

Es muss also die Spaltenzahl von   gleich der Zeilenzahl von   sein.

2. Beispiel von oben:

  konnte bestimmt werden. Was aber ergibt  ? Wir versuchen es:

   
   

Wir haben zwei Spalten bei  , aber drei Zeilen von  . Hier ist eine Multiplikation nicht definiert.

Vielleicht geht aber  ? Von der Ordnung her würden die Matrizen ja zusammenpassen. Sehen wir uns das an:

 
 

Wir hätten für das Produkt eines Elements die Konstellation mit der entsprechenden Einheit für den Input als

 ,

also kompletten Unsinn. Wir sehen, dass die Anordnung der Matrizen von Bedeutung ist.

Beachten:

Im allgemeinen ist  .

Man schreibt  ,   usw., falls die Multiplikationen erlaubt sind.

Multiplikation von VektorenBearbeiten

Es gilt speziell bei einem Zeilenvektor   und einem Spaltenvektor   der Ordnung n:

 

Man nennt diese Art des Produkts Skalarprodukt, weil das Produkt der Vektoren ein Skalar ergibt.

Beispiele:

Es ist  ,

aber

 .

Umformung von MatrizengleichungenBearbeiten

Additive ErweiterungBearbeiten

Man kann eine Matrizengleichung additiv von links oder rechts erweitern, wobei die Ordung der Matrizen übereinstimmen muss.

Beispiel:

Gegeben sind   und  . Es ist

                

Multiplikative ErweiterungBearbeiten

Man kann eine Matrizengleichung multiplikativ erweitern, wobei die Ordung der Matrizen den Multiplikationsgesetzen entsprechend sein muss.

Von links:

Beispiel

Gegeben sind   und  . Es ist

       


Ausklammern:

 

Es ist auch

 


Von rechts:

Beispiel

Gegeben sind   und  . Es ist

       


Ausklammern:

 


Umformungen wie   sind im allgemeinen nicht zulässig und auch oft gar nicht definiert.


Spezielle Rechenregeln

Gegeben sind   und invertierbar,   und invertierbar,   und die Nullmatrix  . Es sind

 
 
 
 
 

Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:

 


Beispiele für Umformungen


Gegeben ist die Gleichung     ist invertierbar. Gesucht ist  :

               


Gegeben ist    wobei   invertierbar ist. Gesucht ist  :


                           


Gegeben ist    mit  . Gesucht ist  :

Es ist  

Mit   erhalten wir

 

Es ist also  . Man nennt die Matrix   idempotent.

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