Gegeben sind die Matrizen
A
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{m\times n}}
B
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {B}}_{m\times n}}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
b
i
j
{\displaystyle b_{ij}}
(
i
=
1
,
.
.
.
,
m
;
j
=
1
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle (i=1,\ ...\ ,m;\ j=1,\ ...,\ n)}
A
_
=
B
_
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {B}}}
a
i
j
=
b
i
j
{\displaystyle a_{ij}=b_{ij}}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
und
A
_
≤
B
_
{\displaystyle {\underline {A}}\leq {\underline {B}}}
a
i
j
≤
b
i
j
{\displaystyle a_{ij}\leq b_{ij}}
i
,
j
.
{\displaystyle i,j.}
Entsprechendes gilt auch für
<
,
>
,
≥
{\displaystyle <,\ >,\ \geq }
Wir hatten schon im Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus dem Kapitel Matrizenrechnung Matrizen addiert:
M
_
=
M
_
1
+
M
_
2
=
{\displaystyle {\underline {M}}={\underline {M}}_{1}+{\underline {M}}_{2}=}
[
200
100
2000
0
100
500
100
10
100
1000
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}200&100&2000&0\\100&500&100&10\\100&1000&0&0\\\end{bmatrix}}\,}
+
{\displaystyle \,+\,}
[
200
200
1000
0
200
200
200
20
300
2000
10
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}200&200&1000&0\\200&200&200&20\\300&2000&10&0\\\end{bmatrix}}\,}
=
{\displaystyle \,=\,}
[
400
300
3000
0
300
700
300
30
400
3000
10
0
]
.
{\displaystyle \,{\begin{bmatrix}400&300&3000&0\\300&700&300&30\\400&3000&10&0\\\end{bmatrix}}\,.}
Gegeben sind
A
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{m\times n}}
B
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {B}}_{m\times n}}
C
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {C}}_{m\times n}}
C
_
=
A
_
+
B
_
{\displaystyle {\underline {C}}={\underline {A}}+{\underline {B}}}
(
c
i
j
)
m
×
n
=
(
a
i
j
+
b
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle (c_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}}
Es werden also zwei Matrizen addiert, indem ihre entsprechenden Elemente addiert werden. Es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden.
Beispiel:
[
1
2
0
−
2
−
2
4
]
+
[
2
3
8
−
6
3
1
]
=
[
3
5
8
−
8
1
5
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\8&-8\\1&5\end{bmatrix}}.}
Subtraktion .
Beispiel :
[
1
2
0
−
2
−
2
4
]
−
[
2
3
8
−
6
3
1
]
=
[
−
1
−
1
−
8
4
−
5
3
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1\\-8&4\\-5&3\end{bmatrix}}.}
Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus Matrizenrechnung :
Was ergäbe sich, wenn sich im nächsten Jahr der Verbrauch aller Firmen verdoppelt hätte?
[
800
600
6000
0
400
1400
600
60
800
6000
20
0
]
=
2
⋅
M
_
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}800&600&6000&0\\400&1400&600&60\\800&6000&20&0\\\end{bmatrix}}=2\cdot {\underline {M}}.}
b
{\displaystyle b}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
b
{\displaystyle b}
b
⋅
A
_
m
×
n
=
(
b
⋅
a
i
j
)
m
×
n
.
{\displaystyle b\cdot {\underline {A}}_{m\times n}=(b\cdot a_{ij})_{m\times n}.}
Beispiel:
3
⋅
[
1
2
0
−
2
−
2
4
]
=
[
3
6
0
−
6
−
6
12
]
.
{\displaystyle 3\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&6\\0&-6\\-6&12\end{bmatrix}}.}
Tante Erna leitet eine kleine Bäckerei, die an 2 Cafés liefert. Sie backt vor allem Biskuitböden, Rührkuchen und Mürbteigböden. Um sich (und uns) die Arbeit zu vereinfachen, hat Erna die Zutaten für die Kuchen in „Eischwer “ umgerechnet (eine altbekannte Faustregel aus der Zeit meiner Oma). Es werden also die Zutaten Mehl, Zucker und Butter in Gewichtseinheiten eines Eies (ca. 50 g) umgerechnet. Es folgt die Tabelle der Zutaten.
Produkt
Biskuitteig
Rührteig
Mürbteig
Produktionsfaktoren kurz:
B R M
Ei E
5
4
1
Mehl Me
3
4
6
Zucker Z
4
4
2
Butter Bu
0
4
4
Um damit rechnen zu können, fassen wir nun die Rezeptdaten in einer so genannten Produktionsmatrix
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
P
_
=
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
5
4
1
3
4
6
4
4
2
0
4
4
]
{\displaystyle {\underline {P}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}5&4&1\\3&4&6\\4&4&2\\0&4&4\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}}
.
Die grünen Buchstaben dienen nur zur Veranschaulichung, damit wir nicht vergessen, dass wir es hier mit realen Dingen zu tun haben und damit wir uns anfangs etwas leichter tun.
Ein Element
p
i
j
{\displaystyle p_{ij}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
j
=
1
{\displaystyle j=1}
i
=
3
{\displaystyle i=3}
Tante Erna hat für kommenden Samstag folgende Bestellungen:
Café1
Café2
C1
C2
Biskuitböden 3
5
Rührkuchen 5
8
Mürbteigböden 2
1
In der Matrix
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
Q
_
=
C
1
C
2
[
3
5
5
8
2
1
]
B
R
M
{\displaystyle {\underline {Q}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\color {Blue}5\\\color {Blue}5&\color {Blue}8\\\color {Blue}2&\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
Wieviel Zutaten muss Tante Erna für die Bestellungen einkaufen? Intuitiv denken wir natürlich "Zutaten * bestellte Menge". Also schreiben wir
R
_
=
P
_
⋅
Q
_
{\displaystyle {\underline {R}}={\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}}
R
_
=
E
M
e
Z
B
u
C
1
C
2
[
r
11
r
12
r
21
r
22
r
31
r
32
r
41
r
42
]
=
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
5
4
1
3
4
6
4
4
2
0
4
4
]
⋅
C
1
C
2
[
3
5
5
8
2
1
]
B
R
M
{\displaystyle {\underline {R}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\r_{41}&r_{42}\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\color {Red}4&\color {Red}4&\color {Red}2\\\color {Red}0&\color {Red}4&\color {Red}4\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\color {Blue}5\\\color {Blue}5&\color {Blue}8\\\color {Blue}2&\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
Es soll noch kurz darauf hingewiesen werden, dass die benötigte Menge
R
_
{\displaystyle {\underline {R}}}
Nun arbeiten wir die Matrix der Rohstoffe elementweise ab:
r
11
{\displaystyle r_{11}}
Für einen Biskuitboden braucht Erna 5 Eier. Es wurden 3 Böden bestellt, also
5
⋅
3
=
15
{\displaystyle 5\cdot 3=15}
Für einen Rührkuchen braucht Erna 4 Eier, bei 5 Kuchen also
4
⋅
5
{\displaystyle 4\cdot 5}
Für einen Mürbteig braucht Tante Erna 1 Ei, bei 2 Böden also
1
⋅
2
{\displaystyle 1\cdot 2}
Wir rechnen das jetzt mit den Matrizen
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
5
4
1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
⋅
C
1
C
2
[
3
⋅
5
⋅
2
⋅
]
B
R
M
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\cdot \\\color {Blue}5&\cdot \\\color {Blue}2&\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
Man könnte etwas lieblos sagen: Die erste Zeile von
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
r
1
1
=
5
⋅
3
+
4
⋅
5
+
1
⋅
2
=
37
{\displaystyle r_{\color {Red}1\color {Blue}1}=\color {Red}5\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}1\cdot \color {Blue}2=37}
Entsprechend erhalten wir die Zahl der Eier für Café2, also "die erste Zeile von
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
5
4
1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
⋅
C
1
C
2
[
⋅
5
⋅
8
⋅
1
1
]
B
R
M
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\color {Blue}5\\\cdot &\color {Blue}8\\\cdot &\color {Blue}1\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
r
1
2
=
5
⋅
5
+
4
⋅
8
+
1
⋅
11
=
68
{\displaystyle r_{\color {Red}1\color {Blue}2}=\color {Red}5\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}1\cdot \color {Blue}11=68}
Wir kommen nun zur benötigten Menge Mehl:
Mehl für Café1:
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
⋅
⋅
⋅
3
4
6
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
⋅
C
1
C
2
[
3
⋅
5
⋅
2
⋅
]
B
R
M
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\cdot \\\color {Blue}5&\cdot \\\color {Blue}2&\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
r
2
1
=
3
⋅
3
+
4
⋅
5
+
6
⋅
2
=
41
{\displaystyle r_{\color {Red}2\color {Blue}1}=\color {Red}3\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}6\cdot \color {Blue}2=41}
Mehl für Café2:
E
M
e
Z
B
u
B
R
M
[
⋅
⋅
⋅
3
4
6
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
⋅
C
1
C
2
[
⋅
5
⋅
8
⋅
1
]
B
R
M
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}\cdot &\color {Blue}5\\\color {Blue}\cdot &\color {Blue}8\\\color {Blue}\cdot &\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}}
r
2
2
=
3
⋅
5
+
4
⋅
8
+
6
⋅
1
=
53
{\displaystyle r_{\color {Red}2\color {Blue}2}=\color {Red}3\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}6\cdot \color {Blue}1=53}
Wir fahren nach dem obigen Schema fort. Bitte verfolgen Sie anhand von
P
_
{\displaystyle {\underline {P}}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
Zucker für Café1:
r
3
1
=
4
⋅
3
+
4
⋅
5
+
2
⋅
2
=
36
{\displaystyle r_{\color {Red}3\color {Blue}1}=\color {Red}4\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}2\cdot \color {Blue}2=36}
Zucker für Café2:
r
3
2
=
4
⋅
5
+
4
⋅
8
+
2
⋅
1
=
54
{\displaystyle r_{\color {Red}3\color {Blue}2}=\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}2\cdot \color {Blue}1=54}
Butter für Café1:
r
4
1
=
0
⋅
3
+
4
⋅
5
+
4
⋅
2
=
28
{\displaystyle r_{\color {Red}4\color {Blue}1}=\color {Red}0\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}2=28}
Butter für Café2:
r
4
2
=
0
⋅
5
+
4
⋅
8
+
4
⋅
1
=
36
{\displaystyle r_{\color {Red}4\color {Blue}2}=\color {Red}0\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}4\cdot \color {Blue}1=36}
Für die Matrix der benötigten Rohstoffe erhalten wir also
R
_
=
E
M
e
Z
B
u
C
1
C
2
[
37
68
41
53
36
54
28
36
]
{\displaystyle {\underline {R}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}37&68\\41&53\\36&54\\28&36\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}}
Beispiel 2: Beschaffung von Produktionsmitteln
Bearbeiten
Dieses Beispiel ist ein wenig allgemeiner als das obige.
Zwei Unternehmen U1 und U2 mit gleichem Produktangebot stellen drei Produkte x, y, z her. Dazu benötigen sie die Produktionsfaktoren a, b, c. Die Inputmengen, die für die Herstellung einer Einheit von x, y oder z benötigt werden, sind in der Produktionsmatrix
P
_
=
x
y
z
[
1
2
0
2
0
1
2
1
1
]
a
m
b
k
w
h
c
S
t
u
e
c
k
{\displaystyle {\underline {P}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}&&\\\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {m} \\\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {kwh} \\\color {Green}\mathrm {c} &\color {Green}\mathrm {Stueck} \end{matrix}}}
und das aktuelle Produktionsprogramm der Unternehmen in der Matrix
Q
_
=
U
1
U
2
[
10
20
20
10
30
10
]
x
y
z
{\displaystyle {\underline {Q}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}}
angegeben. Beispielsweise werden für die Produktion einer Einheit von x 2 Stück des Gutes c benötigt.
Wir suchen die Menge von Produktionsfaktoren
R
_
{\displaystyle {\underline {R}}}
Es ergibt sich
R
_
=
P
_
⋅
Q
_
{\displaystyle {\underline {R}}={\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}}
als
R
_
=
[
r
11
r
12
r
21
r
22
r
31
r
32
]
=
a
b
c
x
y
z
[
1
2
0
2
0
1
2
1
1
]
⋅
U
1
U
2
[
10
20
20
10
30
10
]
x
y
z
{\displaystyle {\underline {R}}={\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\\end{bmatrix}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {a} \\\color {Green}\mathrm {b} \\\color {Green}\mathrm {c} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}}
Wir multiplizieren:
r
11
=
1
⋅
10
+
2
⋅
20
+
0
⋅
30
=
50
{\displaystyle r_{11}=1\cdot 10+2\cdot 20+0\cdot 30=50}
r
12
=
1
⋅
20
+
2
⋅
10
+
0
⋅
10
=
40
{\displaystyle r_{12}=1\cdot 20+2\cdot 10+0\cdot 10=40}
r
21
=
2
⋅
10
+
0
⋅
20
+
1
⋅
30
=
50
{\displaystyle r_{21}=2\cdot 10+0\cdot 20+1\cdot 30=50}
r
22
=
2
⋅
20
+
0
⋅
10
+
1
⋅
10
=
50
{\displaystyle r_{22}=2\cdot 20+0\cdot 10+1\cdot 10=50}
r
31
=
2
⋅
10
+
1
⋅
20
+
1
⋅
30
=
70
{\displaystyle r_{31}=2\cdot 10+1\cdot 20+1\cdot 30=70}
r
32
=
2
⋅
20
+
1
⋅
10
+
1
⋅
10
=
60
{\displaystyle r_{32}=2\cdot 20+1\cdot 10+1\cdot 10=60}
und erhalten
R
_
=
[
50
40
50
50
70
60
]
{\displaystyle {\underline {R}}={\begin{bmatrix}50&40\\50&50\\70&60\\\end{bmatrix}}}
Nun wollen wir zwei Matrizen multiplizieren, ganz abstrakt, ohne Plätzchen und Zuckerguss:
C
_
=
A
_
⋅
B
_
=
{\displaystyle {\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=}
(
−
1
5
0
1
2
1
)
(
2
1
0
1
−
3
0
2
0
1
−
2
1
3
)
˙
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&5&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\dot {\begin{pmatrix}2&1&0&1\\-3&0&2&0\\1&-2&1&3\end{pmatrix}}}}
Auch hier gehen wir - analog zu oben - so vor:
Für das Element
c
11
{\displaystyle c_{11}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
B
_
{\displaystyle {\underline {B}}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
B
_
{\displaystyle {\underline {B}}}
c
11
=
−
1
⋅
2
+
5
⋅
(
−
3
)
+
0
⋅
1.
{\displaystyle c_{11}=-1\cdot 2+5\cdot (-3)+0\cdot 1.}
Für das Element
c
12
{\displaystyle c_{12}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
B
_
{\displaystyle {\underline {B}}}
c
12
−
1
⋅
1
+
5
⋅
0
+
0
⋅
(
−
2
)
{\displaystyle c_{12}-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot (-2)}
usw ... Für das Element
c
24
{\displaystyle c_{24}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
B
_
{\displaystyle {\underline {B}}}
c
24
=
1
⋅
1
+
2
⋅
0
+
1
⋅
3
{\displaystyle c_{24}=1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 3}
Geübte multiplizieren die Produktsummen direkt in die Matrix
C
_
{\displaystyle {\underline {C}}}
(
−
1
⋅
2
+
5
⋅
(
−
3
)
+
0
⋅
1
−
1
⋅
1
+
5
⋅
0
+
0
⋅
(
−
2
)
−
1
⋅
0
+
5
⋅
2
+
0
⋅
1
−
1
⋅
1
+
5
⋅
0
+
0
⋅
3
1
⋅
2
+
2
⋅
(
−
3
)
+
1
⋅
1
1
⋅
1
+
2
⋅
0
+
1
⋅
(
−
2
)
1
⋅
0
+
2
⋅
2
+
1
⋅
1
1
⋅
1
+
2
⋅
0
+
1
⋅
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\cdot 2+5\cdot (-3)+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot (-2)&-1\cdot 0+5\cdot 2+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot 3\\1\cdot 2+2\cdot (-3)+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot (-2)&1\cdot 0+2\cdot 2+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 3\end{pmatrix}}=}
(
−
2
−
15
+
0
−
1
+
0
+
0
0
+
10
+
0
−
1
+
0
+
0
2
−
6
+
1
1
+
0
−
2
0
+
4
+
1
1
+
0
+
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-2-15+0&-1+0+0&0+10+0&-1+0+0\\2-6+1&1+0-2&0+4+1&1+0+3\end{pmatrix}}=}
(
−
17
−
1
10
−
1
−
4
−
1
5
4
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-17&-1&10&-1\\-4&-1&5&4\end{pmatrix}}.}
Man kann sich übrigens bei Matrizenmultiplikationen beliebig oft verrechnen. Auch mit viel Erfahrung.
Mit der Berechnung von
C
_
=
A
_
⋅
B
_
=
{\displaystyle {\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=}
C
_
{\displaystyle {\underline {C}}}
c
24
{\displaystyle c_{24}}
C
_
{\displaystyle {\underline {C}}}
C
_
{\displaystyle {\underline {C}}}
2
×
4
{\displaystyle 2\times 4}
A
B
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
2
×
3
3
×
4
Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B !!
↘
{\displaystyle \searrow }
↙
{\displaystyle \swarrow }
2
×
4
neue Matrix
Jetzt können wir die Matrizenmultiplikation als Formel darstellen:
Gegeben sind die Matrizen
A
m
×
r
{\displaystyle A_{m\times r}}
B
r
×
n
{\displaystyle B_{r\times n}}
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
C
_
=
A
_
⋅
B
_
{\displaystyle {\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}}
i
{\displaystyle i}
A
{\displaystyle A}
j
{\displaystyle j}
B
{\displaystyle B}
c
i
j
=
∑
k
=
1
r
a
i
k
⋅
b
k
j
{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}\cdot b_{kj}}
Es muss also die Spaltenzahl von
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
B
_
{\displaystyle {\underline {B}}}
2. Beispiel von oben:
P
_
⋅
Q
_
{\displaystyle {\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}}
Q
_
⋅
P
_
{\displaystyle {\underline {Q}}\cdot {\underline {P}}}
U
1
U
2
[
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
x
y
z
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}}
x
y
z
[
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
]
a
m
b
k
w
h
c
S
t
u
e
c
k
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}&&\\\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {m} \\\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {kwh} \\\color {Green}\mathrm {c} &\color {Green}\mathrm {Stueck} \end{matrix}}}
3
×
2
{\displaystyle 3\times 2\quad }
3
×
3
{\displaystyle \quad 3\times 3}
Wir haben zwei Spalten bei
P
_
T
{\displaystyle {\underline {P}}^{T}}
Q
_
{\displaystyle {\underline {Q}}}
Vielleicht geht aber
P
_
T
⋅
Q
_
{\displaystyle {\underline {P}}^{T}\cdot {\underline {Q}}}
P
_
T
⋅
Q
_
=
{\displaystyle {\underline {P}}^{T}\cdot {\underline {Q}}=}
x
y
z
a
b
c
m
k
w
h
Stück
[
1
2
0
2
0
1
2
1
1
]
⋅
U
1
U
2
[
10
20
20
10
30
10
]
x
y
z
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{r}&\\&\\\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{array}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {c} \\&\color {Green}\mathrm {m} &\color {Green}\mathrm {kwh} &\color {Green}\mathrm {\text{Stück}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}&1&&2&&0&\\&2&&0&&1&\\&2&&1&&1&\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&&\\\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}}
Wir hätten für das Produkt eines Elements die Konstellation mit der entsprechenden Einheit für den Input als
a
⋅
x
+
b
⋅
y
+
c
⋅
z
m
3
k
W
h
S
t
u
e
c
k
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {a} \cdot \mathrm {x} &+&\mathrm {b} \cdot \mathrm {y} &+&\mathrm {c} \cdot \mathrm {z} \\\mathrm {m^{3}} &&\mathrm {kWh} &&\mathrm {Stueck} \end{matrix}}}
also kompletten Unsinn. Wir sehen, dass die Anordnung der Matrizen von Bedeutung ist.
Beachten:
Im allgemeinen ist
A
_
⋅
B
_
≠
B
_
⋅
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {B}}\neq {\underline {B}}\cdot {\underline {A}}}
Man schreibt
A
_
⋅
A
_
=
A
_
2
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}^{2}}
A
_
⋅
A
_
⋅
A
_
=
A
_
3
{\displaystyle \ {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}^{3}}
Es gilt speziell bei einem Zeilenvektor
a
_
T
{\displaystyle {\underline {a}}^{T}}
b
_
{\displaystyle {\underline {b}}}
a
_
T
⋅
b
_
=
(
a
1
a
2
…
a
n
)
.
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
.
{\displaystyle {\underline {a}}^{T}\cdot {\underline {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}
Man nennt diese Art des Produkts Skalarprodukt, weil das Produkt der Vektoren ein Skalar ergibt.
Beispiele:
Es ist
(
1
2
3
)
⋅
(
−
1
2
1
)
=
(
−
1
+
4
+
3
)
=
(
6
)
=
6
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+4+3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\end{pmatrix}}=6}
aber
(
1
2
3
)
⋅
(
−
1
2
1
)
=
(
−
1
2
1
−
2
4
2
−
3
6
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2&1\\-2&4&2\\-3&6&3\end{pmatrix}}}
Man kann eine Matrizengleichung additiv von links oder rechts erweitern, wobei die Ordung der Matrizen übereinstimmen muss.
Beispiel:
Gegeben sind
A
_
m
×
n
,
B
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}}
C
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {C}}_{m\times n}}
A
_
=
B
_
⇔
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Leftrightarrow }
A
_
+
C
_
=
B
_
+
C
_
⇔
{\displaystyle \quad {\underline {A}}+{\underline {C}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
C
_
+
A
_
=
B
_
+
C
_
⇔
{\displaystyle {\underline {C}}+{\underline {A}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
A
_
−
C
_
=
−
C
_
+
B
_
.
{\displaystyle {\underline {A}}-{\underline {C}}=-{\underline {C}}+{\underline {B}}.}
Man kann eine Matrizengleichung multiplikativ erweitern, wobei die Ordung der Matrizen den Multiplikationsgesetzen entsprechend sein muss.
Von links :
Beispiel
Gegeben sind
A
_
m
×
n
,
B
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}}
C
_
r
×
m
{\displaystyle {\underline {C}}_{r\times m}}
A
_
=
B
_
⇒
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Rightarrow }
C
_
⋅
A
_
=
C
_
⋅
B
_
.
{\displaystyle {\underline {C}}\cdot {\underline {A}}={\underline {C}}\cdot {\underline {B}}.}
Ausklammern :
C
_
⋅
A
_
+
C
_
⋅
B
_
=
C
_
⋅
(
B
_
+
A
_
)
.
{\displaystyle {\underline {C}}\cdot {\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {B}}={\underline {C}}\cdot ({\underline {B}}+{\underline {A}}).}
Es ist auch
A
_
+
C
_
⋅
A
_
=
(
I
_
+
C
_
)
A
_
.
{\displaystyle {\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {A}}=({\underline {I}}+{\underline {C}}){\underline {A}}.}
Von rechts :
Beispiel
Gegeben sind
A
_
m
×
n
,
B
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}}
D
_
n
×
s
{\displaystyle {\underline {D}}_{n\times s}}
A
_
=
B
_
⇒
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Rightarrow }
A
_
⋅
D
_
=
B
_
⋅
D
_
.
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {D}}={\underline {B}}\cdot {\underline {D}}.}
Ausklammern :
B
_
⋅
D
_
−
A
_
⋅
D
_
=
(
B
_
−
A
_
)
D
_
.
{\displaystyle {\underline {B}}\cdot {\underline {D}}-{\underline {A}}\cdot {\underline {D}}=({\underline {B}}-{\underline {A}}){\underline {D}}.}
A
_
⋅
C
_
=
C
_
⋅
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {C}}={\underline {C}}\cdot {\underline {A}}}
Spezielle Rechenregeln
Gegeben sind
A
_
n
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{n\times n}}
B
_
n
×
n
{\displaystyle {\underline {B}}_{n\times n}}
C
_
n
×
m
{\displaystyle {\underline {C}}_{n\times m}}
O
_
m
×
r
{\displaystyle {\underline {O}}_{m\times r}}
A
_
⋅
A
_
−
1
=
A
_
−
1
⋅
A
_
=
I
_
;
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}};}
A
_
⋅
I
_
=
A
_
;
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {I}}={\underline {A}};}
C
_
⋅
O
_
=
O
_
{\displaystyle {\underline {C}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}}
(
B
_
⋅
A
_
)
T
=
A
_
T
⋅
B
_
T
;
{\displaystyle ({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{T}={\underline {A}}^{T}\cdot {\underline {B}}^{T};}
(
B
_
⋅
A
_
)
−
1
=
A
_
−
1
⋅
B
_
−
1
.
{\displaystyle ({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {B}}^{-1}.}
Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.
Beispiel:
[
5
]
⋅
A
_
=
A
_
⋅
[
5
]
=
5
⋅
A
_
{\displaystyle [5]\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}\cdot [5]=5\cdot {\underline {A}}}
Beispiele für Umformungen
A
_
⋅
x
_
=
b
_
;
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}};}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
x
_
{\displaystyle {\underline {x}}}
A
_
⋅
x
_
=
b
_
⇔
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}\quad \Leftrightarrow }
A
_
−
1
⋅
A
_
⋅
x
_
=
A
_
−
1
⋅
b
_
⇔
{\displaystyle {\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\quad \Leftrightarrow }
I
_
⋅
x
_
=
A
_
−
1
⋅
b
_
⇔
{\displaystyle {\underline {I}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\quad \Leftrightarrow }
x
_
=
A
_
−
1
⋅
b
_
{\displaystyle {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}}
Gegeben ist
A
_
⋅
X
_
+
X
_
=
B
_
⋅
X
_
+
C
_
,
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}},}
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
{\displaystyle ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
A
_
⋅
X
_
+
X
_
=
B
_
⋅
X
_
+
C
_
⇔
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
A
_
⋅
X
_
−
B
_
⋅
X
_
+
X
_
=
C
_
⇔
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {X}}-{\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
⋅
X
_
=
C
_
⇔
{\displaystyle ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
−
1
⋅
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
⋅
X
_
=
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
−
1
⋅
C
_
⇔
{\displaystyle ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
I
_
⋅
X
_
=
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
−
1
⋅
C
_
⇔
{\displaystyle {\underline {I}}\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow }
X
_
=
(
A
_
−
B
_
+
I
_
)
−
1
⋅
C
_
{\displaystyle {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}}
Gegeben ist
A
_
=
X
_
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}}
X
_
n
×
m
,
I
_
n
×
n
{\displaystyle {\underline {X}}_{n\times m},\,{\underline {I}}_{n\times n}}
A
_
⋅
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}}
Es ist
A
_
⋅
A
_
=
X
_
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
⋅
X
_
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
.
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}.}
Mit
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
⋅
X
_
=
I
_
{\displaystyle ({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}={\underline {I}}}
A
_
⋅
A
_
=
X
_
⋅
I
_
⋅
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
=
X
_
(
X
_
T
X
_
)
−
1
X
_
T
=
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}\cdot {\underline {I}}\cdot ({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {A}}}
Es ist also
A
_
⋅
A
_
=
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
![{\displaystyle [5]\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}\cdot [5]=5\cdot {\underline {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa5040474508fbf92c0e802c543f2f0a1343b0c)
