Eine
(
m
×
1
)
{\displaystyle (m\times 1)}
Eine
(
1
×
n
)
{\displaystyle (1\times n)}
x
_
=
(
1
0
0
1
5
)
,
{\displaystyle {\underline {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\5\end{pmatrix}},}
y
_
=
(
2
5
−
2
6
)
.
{\displaystyle {\underline {y}}={\begin{pmatrix}2&5&-2&6\end{pmatrix}}.}
Vektoren werden i.a. kleinbuchstabig bezeichnet und häufig, vor allem im physikalischen Kontext, mit einem Pfeil hervorgehoben. Meistens geht man bei einem Vektor von einem Spaltenvektor aus und betrachtet den Zeilenvektor als transponierten Spaltenvektor, z.B.
a
_
=
(
1
2
3
)
;
{\displaystyle {\underline {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}};}
a
_
T
=
(
1
2
3
)
.
{\displaystyle {\underline {a}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}.}
Ein Skalar ist eine Matrix mit nur einem Element:
[
a
]
=
a
{\displaystyle [a]=a}
Ein Skalar kann wie eine reelle Zahl
a
{\displaystyle a}
Transponierte Matrix
A
_
T
{\displaystyle {\underline {A}}^{T}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
Bearbeiten
Die Transponierte der Matrix
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}}
ist die Matrix
A
T
=
(
a
j
i
)
n
×
m
{\displaystyle A^{T}=(a_{ji})_{n\times m}}
Die
i
{\displaystyle i}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
i
{\displaystyle i}
A
_
T
{\displaystyle {\underline {A}}^{T}}
Es gilt :
A
_
T
T
=
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}^{TT}={\underline {A}}}
Beispiel:
A
_
=
(
1
2
0
−
2
−
2
4
)
→
A
_
T
=
(
1
0
−
2
2
−
2
4
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}\rightarrow {\underline {A}}^{T}={\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-2&4\end{pmatrix}}}
Quadratische Matrix
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
Bearbeiten
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Beispiel:
A
_
=
(
1
2
3
0
−
2
1
−
0
,
5
1
2
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}}
Diagonalmatrix
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
Bearbeiten
Diese Matrix ist von der Ordnung
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
a
i
j
=
{
a
i
i
für
i
=
j
,
0
sonst.
{\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}a_{ii}&{\text{für }}i=j,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}
Beispiel:
A
_
=
(
2
0
0
0
−
1
,
67
0
0
0
100
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1{,}67&0\\0&0&100\end{pmatrix}}}
I
_
{\displaystyle {\underline {I}}}
Beispiel:
I
_
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\underline {I}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}
Die Diagonalmatrix ist die Entsprechung der Eins im Matrizenkalkül:
A
_
⋅
I
_
=
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {I}}={\underline {A}}}
Matrix mit Trapezgestalt
Bearbeiten
Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 0 und die untersten Zeilen können auch Nullzeilen sein.
Beispiele:
(
2
1
0
1
3
0
1
2
0
−
2
0
0
1
3
1
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0&1&3\\0&1&2&0&-2\\0&0&1&3&1\end{pmatrix}},}
(
2
1
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}
Obere Dreiecksmatrix
A
_
n
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{n\times n}}
0
{\displaystyle 0}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
Beispiel:
A
_
=
(
1
2
3
0
−
2
1
0
0
2
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}}
Untere Dreiecksmatrix : Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind 0.
Beispiel:
A
_
=
(
1
0
0
0
−
2
0
−
0
,
5
1
2
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}}
Symmetrische Matrix
A
_
n
×
n
{\displaystyle {\underline {A}}_{n\times n}}
Bearbeiten
Die
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
a
i
j
=
a
j
i
{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}
bzw.
A
_
=
A
_
T
{\displaystyle {\underline {A}}={\underline {A}}^{T}}
Die Elemente der Matrix spiegeln sich bezüglich der Hauptdiagonalen.
Beispiel:
A
_
=
(
1
2
3
2
−
2
1
3
1
2
)
.
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\{\sqrt {2}}&-2&1\\3&1&2\end{pmatrix}}.}
Nullmatrix
O
_
m
×
n
{\displaystyle {\underline {O}}_{m\times n}}
Bearbeiten
Die Nullmatrix enthält nur Nullen. Sie entspricht der Null im Matrizenkalkül:
A
_
⋅
O
_
=
O
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}}
Allerdings kann die Nullmatrix auf der linken Seite der obigen Gleichung eine andere Dimension haben als die auf der rechten Seite.
Beispiel:
O
_
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\underline {O}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}
Inverse Matrix
A
_
n
×
n
−
1
{\displaystyle {\underline {A}}_{n\times n}^{-1}}
Bearbeiten
Als
A
_
−
1
{\displaystyle {\underline {A}}^{-1}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
A
_
⋅
A
_
−
1
=
I
_
{\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {I}}}
Im Matrizenkalkül bezeichnet also
A
_
−
1
{\displaystyle {\underline {A}}^{-1}}
A
_
{\displaystyle {\underline {A}}}
Beispiel:
Die Inverse zu
A
_
=
(
1
0
1
1
0
1
−
1
1
0
1
1
0
1
−
1
0
0
)
{\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&1\\0&1&1&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}}}
ist
A
_
−
1
=
(
−
1
2
1
2
1
3
2
−
1
2
1
2
1
1
2
1
2
−
1
2
0
−
1
2
1
0
−
1
−
1
)
.
{\displaystyle {\underline {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{2}}\\1&0&-1&-1\end{pmatrix}}.}
A
_
−
1
⋅
A
_
=
I
_
{\displaystyle {\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}}}
Näheres folgt demnächst im Kapitel Inverse einer Matrix
![{\displaystyle [a]=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650d0878c3d43df449782de121f90a06e8d2798f)
