Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Inverse einer Matrix

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Es gibt im Matrizen-Universum zum reziproken Wert einer Zahl eine Entsprechung, nämlich die Inverse einer Matrix ${\underline {A}}$:

Die Entsprechung ist so zu verstehen:

$a\cdot {\frac {1}{a}}=1$ bzw. ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {I}}$

mit ${\underline {A}}$ als nichtsingulärer ($n\times n$)-Matrix und ${\underline {I}}$ als Einheitsmatrix der Ordnung $n$.

Die Inverse einer Matrix wird vor allem beim Berechnen linearer Modelle verwendet.

Berechnung einer Inversen

Wie berechnet sich ${\underline {A}}^{-1}$? Nicht, indem man etwa für alle Elemente $a_{ij}$ einfach ${\frac {1}{a}}_{ij}$ berechnet. Sondern es muß bei der Multiplikation ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}$ die Einheitsmatrix resultieren. Meistens ist die Ermittlung der Inverse sehr aufwendig und wird in der Regel nur auf Computern durchgeführt. Es gibt mehrere Verfahren zur Berechnung der Inversen. Hier wird die manuelle Berechnung mittels eines Tableaus und der vollständigen Elimination gezeigt.

Beispiel:

Die Matrix ${\underline {A}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$ soll invertiert werden. Man beginnt mit einem Tableau, das senkrecht in zwei Hälften geteilt ist: Links steht die aktuelle Matrix ${\underline {A}}$, rechts dagegen die Einheitsmatrix. Ziel ist es, die linke Matrix unter Einbeziehung des gesamten Tableaus in eine Einheitsmatrix umzuwandeln. Es steht dann auf der rechten Seite die Inverse von ${\underline {A}}$.

Tableau:

${\begin{array}{l|ccc|ccc}&&{\underline {A}}&&&{\underline {I}}&&\\\hline {\text{I}}&1&2&3&1&0&0\\{\text{II}}&2&0&1&0&1&0\\{\text{III}}&0&1&1&0&0&1\end{array}}$

Mit der vollständigen Elimination wird das Tableau umgeformt. Wenn links die Einheitsmatrix steht, ist rechts die Inverse gegeben.

Wir arbeiten nun die Spalten des Tableaus nun von links nach rechts ab:

Die 1.Spalte soll sein ${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$.

Ein Vielfaches der 1. Zeile wird von einem Vielfachen der 2. Zeile subtrahiert:

1. Zeile ist ok.

2. Zeile

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{II}}&2&0&1&0&1&0\\-(2\cdot {\text{I}})&2&4&6&2&0&0\\\hline {\text{II}}_{\text{neu}}&0&-4&-5&-2&1&0\end{array}}$

3. Zeile ist ok.

Die erste Spalte ist fertig und wir wollen nun ein neues Tableau als Zwischenergebnis festhalten.

Tableau:

${\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-4&-5&-2&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}}$

Die 2.Spalte soll sein ${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$.

2. Zeile

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{II}}_{\text{neu}}={\frac {\text{II}}{-4}}&0&1&{\frac {5}{4}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&1\end{array}}$

1. Zeile:

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{I}}&1&2&3&1&0&0\\-(2\cdot {\text{II}}_{\text{neu}})&0&2&{\frac {10}{4}}&1&-{\frac {1}{2}}&0\\\hline {\text{I}}_{\text{neu}}&1&0&{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}$

3. Zeile:

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{III}}&0&1&1&0&0&1\\-{\text{II}}_{\text{neu}}&0&1&{\frac {5}{4}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&1\\\hline {\text{II}}_{\text{neu}}&0&0&-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&1\\\end{array}}$

Neues Tableau:

${\begin{array}{ccc|ccc}0&2&{\frac {10}{4}}&1&-{\frac {1}{2}}&0\\0&1&{\frac {5}{4}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&1\\0&0&-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&1\end{array}}$

Die 3.Spalte soll sein ${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$.

3. Zeile

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{III}}_{\text{neu}}={\text{III}}\cdot (-4):&0&0&1&2&-1&-4\end{array}}$

1. Zeile:

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{I}}&1&0&{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}&0\\-({\frac {1}{2}}\cdot {\text{III}}_{\text{neu}})&0&0&{\frac {1}{2}}&1&-{\frac {1}{2}}&-2\\\hline {\text{I}}_{\text{neu}}&1&0&0&-1&1&2\end{array}}$

2. Zeile:

${\begin{array}{c|rrrrrr}{\text{II}}&0&1&{\frac {5}{4}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&0\\-({\frac {5}{4}}\cdot {\text{III}}_{\text{neu}})&0&0&{\frac {5}{4}}&{\frac {5}{2}}&-{\frac {5}{4}}&-5\\\hline {\text{II}}_{\text{neu}}&0&1&0&-2&1&5\\\end{array}}$

Ergebnistableau:

${\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&2\\0&1&0&-2&1&5\\0&0&1&2&-1&-4\end{array}}$

Also ist ${\underline {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}-1&1&2\\-2&1&5\\2&-1&-4\end{bmatrix}}$.

Die Probe ergibt

$={\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&1&2\\-2&1&5\\2&-1&-4\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}-1-4+6&1+2-3&2+10-12\\-2+0+2&2+0-1&4+0-4\\0-2+2&0+1-1&0+5-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$.

Da eine Matrix nur eine Inverse haben kann, haben wir tatsächlich die Inverse von ${\underline {A}}$ gefunden.

Inverse einer 2x2-Matrix

Für den Spezialfall einer ($2\times 2$)-Matrix ${\underline {A}}$ mit den Elementen $a_{ij}$ ergibt sich für die Inverse

${\underline {A}}^{-1}={\frac {1}{a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}}}{\begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}$

mit $a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$ als Determinante von ${\underline {A}}$.

Beispiel:

Gegeben ist :${\underline {A}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$.

Wir erhalten

${\underline {A}}^{-1}={\frac {1}{1\cdot 4-3\cdot 2}}{\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}}=-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2&1\\1,5&-0,5\end{bmatrix}}$.

Umformung von Matrizengleichungen

Die vereinfachte Darstellung ganzer Zahlensysteme ermöglicht die knappe Wiedergabe und elegante Berechnung komplexer Ausdrücke wie z.B.

$({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}{\underline {y}}$ oder ${\underline {I}}-{\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}$. Ebenso kann man auch Matrizengleichungen umformen und bezüglich einer unbekannten Matrix oder eines Vektors auflösen.

Regeln für das Umformen von Gleichungen:

a) Man kann eine Matrizengleichung mit einer Matrix additiv (also mit + oder -) von links oder rechts erweitern, wobei natürlich die Ordnung der Matrizen übereinstimmen muss.

Beispiel:

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n}$, ${\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{m\times n}$.

${\underline {A}}={\underline {B}}\Longleftrightarrow$

${\underline {A}}+{\underline {C}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\Longleftrightarrow$

${\underline {C}}+{\underline {A}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\Longleftrightarrow$

${\underline {A}}-{\underline {C}}=-{\underline {C}}+{\underline {B}}$

b) Man kann eine Matrizengleichung mit einer Matrix multiplikativ erweitern, wobei natürlich die Ordnung der Matrizen übereinstimmen muss:

Von links:

Beispiel:

Gegeben sind ${\underline {A}}_{n\times m}$, ${\underline {B}}_{n\times m}$ und ${\underline {C}}_{r\times n}$.

${\underline {A}}={\underline {B}}\Longleftrightarrow$

${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}={\underline {C}}\cdot {\underline {B}}$.

Ausklammern:

${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {B}}={\underline {C}}\cdot ({\underline {A}}+{\underline {B}})$.

Von rechts:

Beispiel:

Gegeben sind ${\underline {A}}_{n\times m}$, ${\underline {B}}_{n\times m}$ und ${\underline {D}}_{m\times s}$.

${\underline {A}}={\underline {B}}\Longleftrightarrow$

${\underline {A}}\cdot {\underline {D}}={\underline {B}}\cdot {\underline {D}}$.

Ausklammern:

${\underline {B}}\cdot {\underline {D}}-{\underline {A}}\cdot {\underline {D}}=({\underline {B}}+{\underline {A}})\cdot {\underline {D}}$.

Umformungen wie ${\underline {C}}{\underline {A}}={\underline {A}}{\underline {C}}$ sind im allgemeinen nicht zulässig und oft auch gar nicht definiert. c) Es gilt beispielsweise mit ${\underline {A}}_{n\times n}$, mit ${\underline {B}}_{n\times n}$, beide invertierbar, ${\underline {C}}_{n\times m}$ und der Nullmatrix ${\underline {O}}_{m\times r}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}=$ ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}=$ ${\underline {I}}$.

${\underline {B}}\cdot {\underline {I}}={\underline {B}}$

${\underline {C}}\cdot {\underline {O}}_{m\times r}={\underline {O}}_{n\times r}$ ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}=$ ${\underline {I}}$.

$({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{-1}=$ ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {B}}^{-1}$. $({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{T}=$ ${\underline {A}}^{T}\cdot {\underline {B}}^{T}$.)

Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:

$[5]\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}\cdot [5]=5\cdot {\underline {A}}$

Beispiele für Umformungen:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem ${\underline {A}}{\underline {x}}={\underline {b}}$. ${\underline {A}}$ muss invertierbar sein. Wir wollen den Lösungsvektor ${\underline {x}}$ ermitteln:

Wir multiplizieren das Gleichungssystem von links mit ${\underline {A}}^{-1}$:

$\underbrace {{\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}} _{\underline {I}}\cdot {\underline {x}}=A^{-1}\cdot {\underline {b}}\Rightarrow$

${\underline {I}}\cdot {\underline {x}}=A^{-1}\cdot {\underline {b}}\Rightarrow$ ${\underline {x}}=A^{-1}\cdot {\underline {b}}\Rightarrow$.

Gegeben ist das Gleichungssystem ${\underline {A}}{\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}{\underline {X}}+{\underline {C}}$. Es soll nach ${\underline {X}}$ aufgelöst werden. Also

${\underline {A}}{\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}{\underline {X}}+{\underline {C}}$

Alle Ausdrücke mit ${\underline {X}}$ auf die linke Seite bringen: ${\underline {A}}{\underline {X}}-{\underline {B}}{\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {C}}$

${\underline {X}}$ nach rechts ausklammern: $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}={\underline {C}}$

Von links mit $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}$ multiplizieren: $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}$

Wegen

$({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})={\underline {I}}$ erhalten wir ${\underline {I}}\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}$, also ${\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}$.

Beispiel 3:

Gegeben ist die Matrix ${\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}$, wobei ${\underline {X}}_{n\times m}$ ist. Gesucht ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}{\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}$.

Man kann nun zusammenfassen:

${\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}\underbrace {{\underline {X}}^{T}{\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}} _{\underline {I}}{\underline {X}}^{T}$, was ${\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {I}}{\underline {X}}^{T}=$ ${\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {A}}$ ergibt.

Man nennt übrigens eine Matrix mit der Eigenschaft ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}$ idempotent, was bedeutet, dass diese Matrix beim Potenzieren sich selbst hervorbringt.

Falls Sie meinen, das sei nur so zum Spaß ausgedacht: In der multiplen Regression wird diese Matrix für das Berechnen der Regressionskoeffizienten benötigt.