Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Matrizenrechnung

Was ist eine Matrix? Eine Matrix ist rechteckiges Zahlenschema. Oft ist die Grundlage einer Matrix eine Tabelle.

Beispiele für Tabellen

Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Input-Output-Tabelle der BRD 2006, in Mrd €.

Diese Input-Output-Tabelle, auch häufig Verflechtungstabelle genannt, gibt an, was die verschiedenen Sektoren produziert haben und wie diese Produkte auf die Sektoren verteilt wurden. Natürlich liefern die Sektoren auch für sich selbst Produkte. Bei den Empfängern sind auch noch Konsumenten angegeben.

$\downarrow {\text{Lieferant}}$ $\rightarrow {\text{Empfänger}}$	Primärer Sektor	Sekundärer Sektor	Tertiärer Sektor	Konsum	Summe geliefert
Primärer Sektor (Land-, Forstwirtschaft, Fischerei)	7,7	22,9	2,4	9	42
Sekundärer Sektor (produzierendes Gewerbe)	8,5	629,2	120,7	238,7	997,1
Tertiärer Sektor (Dienstleistungen)	11,3	331,9	653,5	1230,9	2227,6
Summe empfangen	27,5	984	776,6	1478,6	3266,7

Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs

Saatgutkontrolle von Zuckermais, dessen Samen im Freiland gewonnen werden. Man untersuchte die Kolben von 10 Maispflanzen.

Nummer des Kolbens             | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
Keimfähigkeit der Körner in %  | 80 85 95 90 90 80 80 95 95 75 
Sortenreinheit der Körner in % | 60 65 70 65 60 75 50 45 70 55

Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen

In der Stadt Ökonopolis befinden sich drei Unternehmen ${\text{U}}_{1}$, ${\text{U}}_{2}$ und ${\text{U}}_{3}$. Die Unternehmen verbrauchen an Produktionsfaktoren unter anderem Energie (in MW), Wasser (in to), Holz (m³) und Eisen (to). Es ergaben sich für die beiden Halbjahre 2010 die Verbrauchswerte

Lieferungen in Mio. Euro

1. Halbjahr

	Energie	Wasser	Holz	Eisen
${\text{U}}_{1}$	200	100	2000	0
${\text{U}}_{2}$	100	500	100	10
${\text{U}}_{3}$	100	1000	0	0

2. Halbjahr

Lieferungen in Mio. Euro

	Energie	Wasser	Holz	Eisen
${\text{U}}_{1}$	200	200	1000	0
${\text{U}}_{2}$	200	200	200	20
${\text{U}}_{3}$	300	2000	10	0

Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die variablen Kosten für Lagerung und Lieferung einer Einheit sind (in Euro)

Gut        Preis    Lieferung und Lagerung
Energie    1000     10    
Wasser      800     20 
Holz         20      5
Eisen       500     50

Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Lisa kauft im Tante-Emma-Laden 1 Schokoriegel und 2 Tüten Chips und zahlt 8 Euro. Familie Meier kauft im selben Laden 4 Schokoriegel und 5 Tüten Chips und zahlt 23 Euro. Was kostet ein Schokoriegel, was eine Tüte Chips?

Gegeben ist also

	Schokoriegel	Chips	Summe
Lisa	1	2	8 €
Fam. Meier	4	5	23 €

Wir bezeichnen den Preis eines Schokoriegels als $x_{1}$ und den einer Tüte Chips als $x_{2}$ und erhalten das lineare Gleichungssystem

$1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}=8,$

$4\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}=23.$

Für die Lösung des Gleichungssystems kann man verschiedene Methoden anwenden, z.B.

• das Additions- oder Eliminationsverfahren,
• das Einsetzungsverfahren.

Tabellenbeispiele in Matrixform

Man kann nun diese Tabellen aus den obigen Beispielen verkürzt darstellen als folgende Matrizen:

Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Input-Output-Tabelle

${\underline {V}}={\begin{pmatrix}7,7&22,9&2,4&9\\8,5&629,2&120,7&238,7\\11,3&331,9&653,5&1230,9\\\end{pmatrix}}\,.$

Die Zeilen $i$ der Matrix bezeichnen die Lieferanten, die Spalten $j$ die Empfänger.

Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs

${\underline {X}}={\begin{pmatrix}80&85&95&90&90&80&80&95&95&75\\60&65&70&65&60&75&50&45&70&55\\\end{pmatrix}}\,.$

Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen

1. Halbjahr

${\underline {M}}_{1}={\begin{pmatrix}200&100&2000&0\\100&500&100&10\\100&1000&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$

2. Halbjahr

${\underline {M}}_{2}={\begin{pmatrix}200&200&1000&0\\200&200&200&20\\300&2000&10&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Beachten: Jede Spalte hat eine andere Einheit: MW, 1000 m³, Holz m³ und to.

• Wie würde sich der Verbrauch eines Jahres berechnen?

Das ist die Summe der Halbjahresverbräuche,

${\underline {M}}={\underline {M}}_{1}+{\underline {M}}_{2}={\begin{pmatrix}200+200&100+200&2000+1000&0+0\\100+200&500+200&100+200&10+20\\100+300&1000+2000&0+10&0+0\\\end{pmatrix}}\,=$

$\,{\begin{pmatrix}400&300&3000&0\\300&700&300&30\\400&3000&10&0\\\end{pmatrix}}\,.$

• Was würde bei M die Summe über die erste Spalte ergeben?

$400+300+400,$

den Gesamtverbrauch an Energie über das ganze Jahr.

• Was würde die Summe über die erste Zeile von M ergeben?

Man könnte versucht sein, zu sagen, den gesamten Verbrauch von Unternehmen 1,

$400\,\mathrm {MW} \,+300\cdot 1000\,\mathrm {m^{3}} +3000\,\mathrm {m^{3}} +0\,\mathrm {to} .$

Berücksichtigt man die Einheiten, wird sofort klar, dass man hier Äpfel mit Birnen vergleichen würde. Eine Summation über die Zeile ist also unsinnig.

Wir könnten aber die Kosten bestimmen: Kosten = Menge * Preis.

Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die Kosten für Lieferung und Lagerung einer Einheit sind

${\underline {P}}={\begin{pmatrix}1000&10\\800&20\\20&5\\500&50\\\end{pmatrix}}\,,$ also ${\underline {K}}={\underline {M}}{\underline {P}}.$

Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Die Werte 1, 2, 4, 5 sind die Koeffizienten des Gleichungssystems. Sie werden in der Koeffizientenmatrix ${\underline {A}}$ zusammengefasst:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\\\end{pmatrix}}\,.$

Vorteile der Matrixdarstellung: Ganze Zahlensysteme können knapp und übersichtlich präsentiert werden, z.B.:

${\underline {M}}={\underline {M}}_{1}+{\underline {M}}_{2}$ oder ${\underline {K}}={\underline {M}}\cdot {\underline {P}}.$

Auf Matrizen sind im Prinzip die Rechenregeln der Algebra anwendbar. Die Rechenregeln und ihre Besonderheiten werden weiter unten erläutert.

Genauere Beschreibung einer Matrix:

${\boldsymbol {\underline {M}}}$ aus Beispiel 3:

${\underline {M}}=\,{\begin{pmatrix}400&300&3000&0\\300&700&300&30\\400&3000&10&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Bei ${\underline {M}}$ handelt es sich um eine $(3\times 4$)-Matrix. Sie hat also 3 Zeilen und 4 Spalten.

Definition

Eine Matrix ist eine Zusammenstellung von Objekten in einer Tabelle, die aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten besteht. Ein Objekt in der Matrix nennt man Element, Komponente oder Eintrag. Die Tabelle wird mit einer Klammer links und rechts abgeschlossen. Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten nennt man eine $(m\times n)$-Matrix, gesprochen "$m$-kreuz-$n$ -Matrix". Allgemein betrachtet sieht eine Matrix ${\underline {A}}$ mit dem Element $a_{ij}$ (Zeilenindex $i=1,\ ...,\ m$; Spaltenindex $j=1,\ ...,\ n)$ so aus:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mj}&\ldots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\,.$

Man bezeichnet eine $(m\times n$)-Matrix ${\underline {A}}$ auch mit ${\underline {A}}_{m\times n}$ oder $(a_{ij})_{m\times n}$.

Die Elemente $a_{ii}$ werden Hauptdiagonalelemente genannt. Sie liegen auf der Hauptdiagonalen der Matrix.

Bemerkung: Eine Matrix kann mit runden oder auch eckigen Klammern begrenzt werden. Runde Klammern sehen gefälliger aus, aber eckige Klammern brauchen weniger Platz in der Breite. In diesem Buch werden beide Arten verwendet.

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