Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rang einer Matrix

Der Rang gibt die "Information" an, die in einer Matrix steckt.

Wir betrachten noch einmal das zweite Beispiel von Lisa und Familie Meier:

Im Juli kauft Lisa einen Schokoriegel und zwei Tüten Chips und zahlt 8 Euro. Familie Meier kauft vier Schokoriegel und acht Tüten Chips und zahlt 32 Euro.

Die Koeffizientenmatrix ist ${\underline {A}}={\begin{bmatrix}2&4\\4&8\end{bmatrix}}$ . Man könnte ${\underline {A}}$ auch als Zusammenfassung von zwei Spaltenvektoren auffassen: ${\underline {A}}={\begin{bmatrix}{\underline {a}}_{1}&{\underline {a}}_{2}\end{bmatrix}}$ mit ${\underline {a}}_{1}={\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}$ und ${\underline {a}}_{2}={\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}}$ .

Hier sind zwei Spalten (und auch zwei Zeilen ) linear abhängig voneinander.

Lineare Abhängigkeit bedeutet hier ${\underline {a}}_{1}={\frac {1}{2}}\cdot {\underline {a}}_{2}$ bzw. ${\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}}$ , allgemein ${\underline {a}}_{1}=\alpha \cdot {\underline {a}}_{2}$ ( $\alpha$ const.), was bedeutet, dass im Grund schon eine Spalte die nötige Information enthält.

Nun wollen wir ein Beispiel mit drei Spaltenvektoren ansehen.

Gegeben sind drei Spaltenvektoren ${\underline {a}}$ , ${\underline {b}}$ und ${\underline {c}}$ . Falls gilt

{\underline {c}}=\alpha {\underline {a}}+\beta {\underline {b}}

,

wobei $\alpha$ und $\beta$ Skalare (= Konstanten) sind und mindestens ein Skalar $\neq 0$ ist, nennt man ${\underline {c}}$ eine Linearkombination aus ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ . ${\underline {a}}$ , ${\underline {b}}$ und ${\underline {c}}$ sind dann linear abhängig.

Beispiel: Gegeben sind die beiden Spaltenvektoren 2. Ordnung (also $2\times 1$ ) ${\underline {a}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}$ und ${\underline {b}}={\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}}$ . ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ sind linear unabhängig, denn es gibt kein $\alpha \neq 0$ , das die Beziehung ${\underline {b}}=\alpha {\underline {a}}$ ermöglicht.

Aus Linearkombinationen mit ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ können nun alle restlichen Vektoren der Ordnung 2 gebildet werden.

Beispielsweise soll der Vektor ${\underline {c}}={\begin{bmatrix}-3\\{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}$ mit Hilfe von ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ dargestellt werden. Wir erreichen das mit

{\underline {c}}={\begin{bmatrix}-3\\{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}+{\frac {-{\sqrt {2}}}{3}}\cdot {\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}}

also

{\underline {c}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\underline {a}}-{\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot {\underline {b}}

.

Übrigens kriegt man die Werte raus, indem man ein Gleichungssystem

${\begin{matrix}\alpha \cdot a_{1}+\beta \cdot b_{1}=-3\\\alpha \cdot a_{2}+\beta \cdot b_{2}={\sqrt {2}}\end{matrix}}$ bzw. ${\begin{matrix}\alpha \cdot 2+\beta \cdot 0=-3\\\alpha \cdot 0+\beta \cdot 3={\sqrt {2}}\end{matrix}}$

löst.

Man nennt ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ Basisvektoren. Sie spannen den zweidimensionalen Raum auf.

Wie ist das gemeint? Stellen wir uns ein Koordinatensystem aus $x$ und $y$ vor. Mit Hilfe der $x$ - $y$ -Paare können wir jeden Punkt in diesem Koordinatensystem darstellen. $x$ und $y$ spannen also den zweidimensionalen Raum auf. Das Gleiche haben wir mit ${\underline {a}}$ und ${\underline {b}}$ gemacht.

Basisvektoren im engeren Sinn sind die Einheitsvektoren ${\underline {e}}_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ und ${\underline {e}}_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ . Sie bilden das kartesische Koordinatensysten. In der Regel werden mit dem Begriff Basisvektoren diese Einheitsvektoren gemeint.

Werden Spaltenvektoren der Ordnung $n$ betrachtet, können maximal $n$ Vektoren linear unabhängig sein.

Sind beispielsweise die Vektoren ${\underline {a}}$ , ${\underline {b}}$ , ${\underline {c}}$ und ${\underline {d}}$ der Ordnung 3 gegeben, müssen diese Vektoren insgesamt linear abhängig sein, es gilt also hier

{\underline {d}}=\alpha {\underline {a}}+\beta {\underline {b}}+\gamma {\underline {c}}

oder auch

{\underline {a}}=\beta {\underline {b}}+\gamma {\underline {c}}+\delta {\underline {d}}

(

\alpha

,

\beta

,

\gamma

,

\delta

const.) usw.

Betrachten wir die drei Spaltenvektoren 3. Ordnung ${\underline {a}}={\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$ , ${\underline {b}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}}$ und ${\underline {c}}={\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}}$ . ${\underline {a}}$ , ${\underline {b}}$ und ${\underline {c}}$ sind linear unabhängig. Jeder Vektor der Ordnung 3 kann als Linearkombination dieser drei Vektoren dargestellt werden, z.B.

${\underline {d}}={\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}}+4\cdot {\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}}=6\cdot {\underline {a}}+0\cdot {\underline {b}}+4\cdot {\underline {c}}$ .

Entsprechendes gilt übrigens auch für die Zeilenvektoren.

Besteht eine $(m\times n)$ -Matrix ${\underline {A}}$ aus genau $r$ unabhängigen Vektoren $(r\leq \min(m,n))$ , hat die Matrix ${\underline {A}}$ den Rang $r$ , also ${\text{rg}}({\underline {A}})=r$ .

Im obigen Beispiel von Lisa und den Meiers ist ${\text{rg}}({\underline {A}})=1$ , weil - wie wir im Kapitel über Lösbarkeit von Gleichungssystemen sehen konnten - nur 1 aussagefähige Gleichung existiert. In der ursprünglichen Konstellation des Beispiels ist

{\text{rg}}({\underline {A}})=2

,

denn hier sind beide Spaltenvektoren linear unabhängig, ${\underline {a}}_{2}$ kann nicht als Linearkombination von ${\underline {a}}_{1}$ dargestellt werden, beide Zeilen enthalten eigenständige Informationen.

Wie berechnet man den Rang einer Matrix?

Beispielsweise mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus. Man bringt die Matrix so weit wie möglich auf Dreiecksgestalt (also auf Trapezgestalt). Die Zahl der Zeilen, die keine Nullvektoren sind, geben den Rang $r$ an.

Es gilt:

Bei einer ( $m\times n$ )-Matrix ${\underline {A}}$ ist der Rang höchstens der kleinere Wert von $m$ und $n$ .

Ist der Rang einer quadratischen Matrix ${\underline {A}}$ (also $n\times n$ ) gleich $n$ , hat ${\underline {A}}$ vollen Rang, ist regulär, nichtsingulär, invertierbar. Alle Bezeichnungen sind äquivalent.