Komplexe Zahlen/ Weitere Rechenverfahren

In diesem Kapitel werden einige Umformungsregeln zusammengefasst und daraus Potenzen und Wurzeln abgeleitet.

Einfache Berechnungen

Imaginäre Zahlen

Produkt und Quotient zweier (rein-) imaginärer Zahlen sind reelle Zahlen. Für $\;z_{1}=p\,\mathrm {i} ,\;z_{2}=q\,\mathrm {i} \;{\text{mit}}\;p,q\in \mathbb {R} \;$ ergibt sich:

${\begin{array}{ccccl}z_{1}\cdot z_{2}&=&p\mathrm {i} \cdot q\mathrm {i} &=&pq\cdot \mathrm {i} ^{2}=-pq\\{\frac {z_{1}}{z_{2}}}&=&{\frac {p\mathrm {i} }{q\mathrm {i} }}\;&=&{\frac {p}{q}}\end{array}}$

Rechnen mit Beträgen

Bei der Einführung der Polarform im vorigen Kapitel wurde für die Multiplikation folgende Formel definiert:

$z_{1}\cdot z_{2}\;=\;r_{1}\cdot r_{2}\cdot \left({\cos \left({\varphi _{1}+\varphi _{2}}\right)+\mathrm {i} \,\sin \left({\varphi _{1}+\varphi _{2}}\right)}\right)$

Daraus ergibt sich sofort:

${\begin{array}{rcl}|{z_{1}z_{2}}|&=&|{z_{1}}||{z_{2}}|\\\arg \left({z_{1}z_{2}}\right)&=&\varphi _{1}+\varphi _{2}\end{array}}$

Der Betrag des Produkts ist also gleich dem Produkt der Beträge, das Argument ist gleich der Summe der Argumente.

Man erkennt (durch wiederholte Anwendung) sofort, dass diese Aussagen auch für mehr als zwei Faktoren gelten:

${\begin{array}{rcl}z_{1}\cdot z_{2}\dotsm z_{n}&=&r_{1}r_{2}\dotsm r_{n}\cdot \left(\cos(\varphi _{1}+\dotsb +\varphi _{n})+\mathrm {i} \,\sin(\varphi _{1}+\dotsb +\varphi _{n})\right)\\|{z_{1}\cdot z_{2}\dotsm z_{n}}|&=&|z_{1}|\cdot |z_{2}|\dotsm |z_{n}|\\\arg \left(z_{1}\cdot z_{2}\dotsm z_{n}\right)&=&\varphi _{1}+\varphi _{2}+\dotsb +\varphi _{n}\end{array}}$

Analog findet man für $z_{2}$ ungleich 0:

$\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|\;=\;{\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\qquad {\text{und}}\qquad \arg \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)\;=\;\varphi _{1}-\varphi _{2}$

Setzt man darin $z_{1}=1$ und $z_{2}=z\!$, so erhält man für den Kehrwert einer komplexen Zahl:

${\frac {1}{z}}\;=\;{\frac {1}{|z|}}\left[\cos(0-\varphi )+\mathrm {i} \,\sin(0-\varphi )\right]\;=\;{\frac {1}{r}}\cdot (\cos \varphi -\mathrm {i} \,\sin \varphi )$

Speziell für $z=\mathrm {i}$ ergibt sich noch:

${\frac {1}{\mathrm {i} }}\;=\;-\mathrm {i}$

Konjugiert-komplexe Zahlen

Zur Erinnerung: Aus einer komplexen Zahl z erhält man die dazu konjugiert-komplexe Zahl z, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils umkehrt. Als Formel sieht das so aus:

${\overline {z}}={\overline {a+\mathrm {i} \,b}}=a-\mathrm {i} \,b$

Es gibt die folgenden interessanten Beziehungen mit Real- und Imaginärteil.

${\begin{array}{lclccclcl}\mathrm {Re} (z)&=&\mathrm {Re} (a+\mathrm {i} \,b)&=&a&=&{\frac {a+\mathrm {i} \,b+a-\mathrm {i} \,b}{2}}&=&{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}\\\mathrm {Im} (z)&=&\mathrm {Im} (a+\mathrm {i} \,b)&=&b&=&{\frac {a+\mathrm {i} \,b-(a-\mathrm {i} \,b)}{2\,\mathrm {i} }}&=&{\frac {z-{\overline {z}}}{2\,\mathrm {i} }}\\\end{array}}$

Für das Addieren konjugiert-komplexer Zahlen gilt eine einfache Rechenregel:

${\overline {z_{1}+z_{2}}}\;=\;{\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$

Dies wollen wir kurz nachrechnen:

${\begin{aligned}{\overline {z_{1}+z_{2}}}\;&=\;{\overline {a_{1}+\mathrm {i} \,b_{1}+a_{2}+\mathrm {i} \,b_{2}}}\\&=\;{\overline {a_{1}+a_{2}+\mathrm {i} \,(b_{2}+b_{2})}}\\&=\;a_{1}+a_{2}-\mathrm {i} \,(b_{1}+b_{2})\\&=\;a_{1}-\mathrm {i} \,b_{1}+a_{2}-\mathrm {i} \,b_{2}\\&=\;{\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}\end{aligned}}$

Eine gleiche Regel gilt für das Multiplizieren konjugiert-komplexer Zahlen (siehe Übung 1):

${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}\;=\;{\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$

Durch wiederholte Anwendung dieser Rechenregel erhält man für jede komplexe Zahl z und jede natürliche Zahl n:

${\overline {z^{n}}}\;=\;{\overline {z}}^{n}$

Dies gilt dann auch für Polynome mit komplexen Koeffizienten:

${\overline {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\dotsb +a_{n}z^{n}}}={\overline {a_{0}}}+{\overline {a_{1}}}\cdot {\overline {z}}+{\overline {a_{2}}}\cdot {\overline {z}}^{2}+\dotsb +{\overline {a_{n}}}\cdot {\overline {z}}^{n}$

Mit der verkürzten Schreibweise in Polarkoordinaten gibt es folgende Regel (siehe Übung 2):

${\mbox{Für}}\quad z=r\cdot \operatorname {cis} \varphi \quad \mathrm {gilt:} \quad {\overline {z}}=r\cdot \operatorname {cis} (-\varphi )$

Dies entspricht auch der geometrischen Interpretation: Dass sich das Vorzeichen des Imaginärteils ändert, ist gleichbedeutend mit der Spiegelung an der Realachse, also dem Vorzeichenwechsel des Winkels.

Aus der Definition des Betrags ergibt sich außerdem folgender Spezialfall für $z\neq 0$:

$z\cdot {\overline {z}}\;=\;|z|^{2}\quad \Rightarrow \quad {\frac {z\cdot {\overline {z}}}{|z|^{2}}}\;=\;1\quad \Rightarrow \quad z^{-1}\;=\;{\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

Ganzzahlige Potenzen

Potenzen von z mit natürlichen Zahlen als Exponenten sind eine kurze Schreibweise für das Produkt von n gleichen Faktoren:

$z^{n}\;=\;\prod _{i=1}^{n}z\;=\;z\cdot z\;\dotsm \;z$

Wie im Reellen kann diese Definition auf ganzzahlige Exponenten für $z\neq 0$ erweitert werden:

$z^{0}\;=\;1\qquad {\text{und}}\qquad z^{-n}\;=\;{\frac {1}{z^{n}}}$

Aus der Multiplikation komplexer Zahlen folgt für lauter gleiche Faktoren z:

$z^{n}\;=\;\left|z\right|^{n}\cdot \left({\cos n\varphi +\mathrm {i} \,\sin n\varphi }\right)$

Wie man leicht erkennt (siehe Übung 3), gilt diese Beziehung auch für negative ganzzahlige Werte von n. Zumindest für ganzzahlige Exponenten können wir also festlegen:

Grundregel: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Die n-te Potenz einer komplexen Zahl erhält man, indem man den Betrag mit n potenziert und das Argument mit n multipliziert.

Als geometrische Interpretation können wir einfach die Beschreibung als Drehstreckung aus dem vorherigen Kapitel übernehmen: Der Vektor, der zu der Zahl $z$ gehört, wird beim Potenzieren so weit gestreckt, dass der Betrag potenziert wird, und so weit gedreht, dass das Argument $\varphi$ vervielfacht wird.

Aus der Grundregel folgen (bei ganzzahligen Exponenten $n,\;m\!$) die bekannten Rechenregeln für Potenzen:

${\begin{array}{ccrcl}(1)&\quad &z^{n}\cdot z^{m}&=&z^{n+m}\\(2)&\quad &(z^{n})^{m}&=&z^{n\cdot m}\\(3)&\quad &z_{1}^{n}\cdot z_{2}^{n}&=&(z_{1}\cdot z_{2})^{n}\\(4)&\quad &{\dfrac {z^{n}}{z^{m}}}&=&z^{n-m}\\(5)&\quad &{\dfrac {z_{1}^{n}}{z_{2}^{n}}}&=&\left({\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}\right)^{n}\\\end{array}}$

Die erste Formel leiten wir (mit trigonometrischen Umrechnungsformeln) her, die übrigen überlassen wir der Leserin (Regel 3 siehe Übung 4):

${\begin{aligned}z^{n}\cdot z^{m}\;&=\;\left|z\right|^{n}\cdot \left|z\right|^{m}\cdot \left({\cos n\varphi +\mathrm {i} \,\sin n\varphi }\right)\cdot \left({\cos m\varphi +\mathrm {i} \,\sin m\varphi }\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\left(\cos n\varphi \cdot \cos m\varphi -\sin n\varphi \cdot \sin m\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \left(\sin n\varphi \cdot \cos m\varphi +\cos n\varphi \cdot \sin m\varphi \right)\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\cos \left(n\varphi +m\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left(n\varphi +m\varphi \right)\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\cos(n+m)\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin(n+m)\varphi \right)\\&=\;z^{n+m}\end{aligned}}$

Der binomische Lehrsatz

Aus den Rechenregeln für Potenzen und den Multiplikationsregeln für zwei Klammern folgt sofort, dass der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten auch für komplexe Zahlen gilt:

$\left({z_{1}+z_{2}}\right)^{n}\;=\;{\binom {n}{0}}\cdot z_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}\cdot z_{1}^{n-1}\cdot z_{2}+\dotsb +{\binom {n}{k}}\cdot z_{1}^{n-k}\cdot z_{2}^{k}+\dotsb +{\binom {n}{n}}\cdot z_{2}^{n}$

Moivre’sche Formeln

Die obige Formel für positive ganzzahlige Potenzen kann mit der trigonometrischen Darstellung komplexer Zahlen auch so geschrieben werden:

$\left(\left|z\right|\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi )\right)^{n}\;=\;{|z|}^{n}\cdot \left({\cos n\varphi +\mathrm {i} \,\sin n\varphi }\right)$

Für $|z|=1$ wird diese Beziehung als Moivre’scher Satz bezeichnet:

Satz (Moivre’scher Satz)

Für jede komplexe Zahl $z$ mit dem Argument $\varphi$ und jede natürliche Zahl $n$ gilt:

$\left(\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi \right)^{n}\;=\;\left({\cos n\varphi +\mathrm {i} \,\sin n\varphi }\right)$

In der verkürzten Schreibweise lautet die Aussage so:

$\left(\operatorname {cis} \varphi \right)^{n}\;=\;\operatorname {cis} \left(n\varphi \right)$

Anstelle eines Beweises hatten wir diesen Satz aus anderen Formeln abgeleitet. Als Übung 5 ist ein Beweis mit vollständiger Induktion vorgesehen.

Andererseits liefert der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten, wobei Potenzen von i durch $\pm 1$ bzw. $\pm \mathrm {i}$ ersetzt wurden:

${\begin{aligned}(\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi )^{n}\;=\;\cos ^{n}\varphi &+\mathrm {i} \cdot {\binom {n}{1}}\cdot \cos ^{n-1}\varphi \cdot \sin \varphi -{\binom {n}{2}}\cdot \cos ^{n-2}\varphi \cdot \sin ^{2}\varphi \\&-\mathrm {i} \cdot {\binom {n}{3}}\cdot \cos ^{n-3}\varphi \cdot \sin ^{3}\varphi +{\binom {n}{4}}\cdot \cos ^{n-4}\varphi \cdot \sin ^{4}\varphi +\dotsb +\mathrm {i} ^{n}\cdot {\binom {n}{n}}\cdot \sin ^{n}\varphi \end{aligned}}$

Wenn man die rechten Seiten dieser Gleichung und des Moivre’schen Satzes gleichsetzt und berücksichtigt, dass die Realteile und die Imaginärteile jeweils gleich sein müssen, erhält man die Moivre’schen Formeln:

${\begin{array}{ccrcl}(1)&\quad &\cos n\varphi &=&\cos ^{n}\varphi -{\binom {n}{2}}\cdot \cos ^{n-2}\varphi \cdot \sin ^{2}\varphi +{\binom {n}{4}}\cdot \cos ^{n-4}\varphi \cdot \sin ^{4}\varphi -+\dotsb \\(2)&\quad &\sin n\varphi &=&n\cdot \cos ^{n-1}\varphi \cdot \sin \varphi -{\binom {n}{3}}\cdot \cos ^{n-3}\varphi \cdot \sin ^{3}\varphi +{\binom {n}{5}}\cdot \cos ^{n-5}\varphi \cdot \sin ^{5}\varphi -+\dotsb \end{array}}$

Dabei sind die rechten Seiten so weit zu ergänzen, bis die Binomialkoeffizienten null werden.

Der Moivre’sche Satz gilt zunächst nur für natürliche Exponenten. Er kann aber problemlos auf beliebige ganzzahlige und gebrochene Exponenten erweitert werden.

Beweis (Der Moivre’sche Satz gilt auch für n = 0.)

Die linke Seite der Gleichung liefert als 0-te Potenz den Wert 1. Die rechte Seite der Gleichung liefert $\cos 0+\mathrm {i} \,\sin 0$, also ebenfalls 1.

Beweis (Der Moivre’sche Satz gilt auch für n < 0.)

Wir ersetzen $n$ durch $-m\!$, also $\;m\in \mathbb {N} \!$. Neben den Potenzgesetzen verwenden wir Umrechnungen für konjugiert-komplexe Zahlen sowie den Moivre’schen Satz für natürliche $m$.

${\begin{aligned}z^{n}\;&=\;z^{-m}\;=\;{\frac {1}{z^{m}}}\;=\;\left({\frac {1}{z}}\right)^{m}\qquad {\text{(der letzte Spezialfall bei konjugiert-komplexen Zahlen)}}\\&=\;\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{m}\qquad {\text{(konjugiert-komplexe Zahl umformuliert)}}\\&=\;\left({\frac {r\cdot \operatorname {cis} (-\varphi )}{r^{2}}}\right)^{m}\qquad {\text{(Potenzregeln)}}\\&=\;r^{m-2m}\cdot \left(\operatorname {cis} (-\varphi )\right)^{m}\qquad {\text{(Moivre)}}\\&=\;r^{-m}\cdot \operatorname {cis} (-m\varphi )\;=\;r^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\varphi )\end{aligned}}$

Beweis (Der Moivre’sche Satz gilt auch für gebrochene Exponenten.)

Der Satz soll für Exponenten der Form ${\tfrac {m}{n}}$ mit natürlichen Zahlen $m,\;n$ gelten. Es geht also um den Beweis der folgenden Beziehung: $\qquad \left(\operatorname {cis} \varphi \right)^{\frac {m}{n}}\;=\;\operatorname {cis} \left({\frac {m}{n}}\varphi \right)$

Dazu gehen wir davon aus, dass die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl zu berechnen ist, wobei $z$ die gesuchte Wurzel ist:

${\begin{array}{lclcl}z&=&{\sqrt[{n}]{r\cdot \operatorname {cis} \varphi }}&\qquad &{\text{(Wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit n und ersetzen}}\;\varphi \;{\text{durch}}\;n\alpha {\text{)}}\\z^{n}&=&r\cdot \operatorname {cis} (n\alpha )&\qquad &{\text{(Jetzt nutzen wir den Moivre’schen Satz für natürliche Exponenten.)}}\\z^{n}&=&r\cdot \left(\operatorname {cis} \alpha \right)^{n}&\qquad &{\text{(Dann ziehen wir wieder die n-te Wurzel und schreiben}}\;\varphi \;{\text{statt}}\;n\alpha {\text{.)}}\\z&=&r^{\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {cis} {\frac {\varphi }{n}}\end{array}}$

Die rechten Seiten der ersten Gleichung mit dem Exponenten ${\tfrac {1}{n}}$ als Wurzel und der letzten Gleichung liefern die folgende Beziehung. Beim Potenzieren mit $m$ wird erneut der Satz von Moivre für natürliche Exponenten angewandt, diesmal für $m$. Mit der „Entfernung“ des Betrags auf beiden Seiten (also Division durch die Potenz von $r$) erhalten wir schließlich die gewünschte Gleichheit:

${\begin{aligned}\left(r\cdot \operatorname {cis} \varphi \right)^{\frac {1}{n}}\;&=\;r^{\tfrac {1}{n}}\cdot \operatorname {cis} {\tfrac {\varphi }{n}}\\\left(r\cdot \operatorname {cis} \varphi \right)^{\frac {m}{n}}\;&=\;r^{\frac {m}{n}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {m}{n}}\varphi \right)\\\left(\operatorname {cis} \varphi \right)^{\frac {m}{n}}\;&=\;\operatorname {cis} \left({\frac {m}{n}}\varphi \right)\end{aligned}}$

Berechnungen

Weil eine komplexe Zahl als Summe dargestellt werden kann, können wir den binomischen Lehrsatz verwenden.

${\begin{array}{rllllll}(3+4\,\mathrm {i} )^{5}&=\;{\binom {5}{0}}\cdot 3^{5}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{0}&+\;{\binom {5}{1}}\cdot 3^{4}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{1}&+\;{\binom {5}{2}}\cdot 3^{3}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{2}&+\;{\binom {5}{3}}\cdot 3^{2}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{3}&+\;{\binom {5}{4}}\cdot 3^{1}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{4}&+\;{\binom {5}{5}}\cdot 3^{0}\cdot (4\,\mathrm {i} )^{5}\\&=\;1\cdot 243\cdot 1&+\;5\cdot 81\cdot 4\cdot {\mathrm {i} }^{1}&+\;10\cdot 27\cdot 16\cdot {\mathrm {i} }^{2}&+\;10\cdot 9\cdot 64\cdot {\mathrm {i} }^{3}&+\;5\cdot 3\cdot 256\cdot {\mathrm {i} }^{4}&+\;1\cdot 1\cdot 1024\cdot {\mathrm {i} }^{5}\\&=\;243&+\;1620\cdot \mathrm {i} &+\;4320\cdot (-1)&+\;5760\cdot (-\mathrm {i} )&+\;3840\cdot 1&+\;1024\cdot \mathrm {i} \\&=\;-237&-\;3116\cdot \mathrm {i} \end{array}}$

Zur Berechnung kann auch der Moivre’sche Satz genutzt werden. Dazu führen wir die gegebene Zahl zunächst mithilfe des Betrags und der Umrechnungsformeln in ihre trigonometrische Form über:

${\begin{array}{cclcl}r&=&{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}&=&5\qquad {\text{(pythagoreische Zahlen)}}\\\varphi &=&\arctan {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}&\approx &53{,}13^{\circ }\end{array}}$

Wir erhalten nun der Reihe nach:

${\begin{array}{rcl}(3+4\,\mathrm {i} )^{5}&\approx &5^{5}\cdot \left(\cos(265{,}65^{\circ })+\mathrm {i} \cdot \sin(265{,}65^{\circ })\right)\\&=&3125\cdot \left(-\cos(85{,}65^{\circ })-\mathrm {i} \cdot \sin(85{,}65^{\circ }\right)\\&\approx &3125\cdot \left(-0{,}07584-\mathrm {i} \cdot 0{,}99712\right)\\&=&-237-\mathrm {i} \cdot 3116\end{array}}$

Das Ergebnis, das wir mit dem binomischen Satz gewonnen haben, ist exakt, während das zweite Ergebnis infolge der wiederholten Rundungen in der Regel Ungenauigkeiten aufweist und in diesem Beispiel nur „zufällig“ mit dem exakten Ergebnis übereinstimmt.

Wurzeln

Der Beweis zur Moivre’schen Formel hat bereits die Bestimmung einer Wurzel geliefert:

$z\;=\;r^{\frac {1}{n}}\cdot \operatorname {cis} {\tfrac {\varphi }{n}}\;=\;r^{\tfrac {1}{n}}\cdot \left(\cos {\tfrac {\varphi }{n}}+\mathrm {i} \,\sin {\tfrac {\varphi }{n}}\right)$

Bei Quadratwurzeln aus (positiven) reellen Zahlen erhält man zwei reelle Lösungen, wobei die positive Lösung als „die Quadratwurzel“ ausgezeichnet wird. Gibt es bei den komplexen Zahlen vergleichbare Feststellungen? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an, bei dem die 2-te Wurzel einer bestimmten komplexen Zahl gesucht wird. Eine Lösung ist direkt aus dem Satz von Moivre abzuleiten:

$z^{2}\;=\;4\cdot \left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad \Rightarrow \qquad z_{1}\;=\;{\sqrt {4}}\cdot \left(\cos {\frac {\pi }{6}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\pi }{6}}\right)$

Für eine weitere Lösung muss jedenfalls der Betrag (als positive Wurzel einer positiven reellen Zahl) übereinstimmen; also können wir uns auf das Argument $\varphi$ beschränken, das sich um einen Wert $\alpha$ vom Argument der ersten Lösung unterscheidet. Es muss also gelten:

$z_{2}\;=\;2\cdot \left(\cos({\tfrac {\pi }{6}}+\alpha )+\mathrm {i} \,\sin({\tfrac {\pi }{6}}+\alpha )\right)$

Das Quadrat dieser zweiten Lösung ergibt sich aus dem Satz von Moivre:

$z_{2}^{2}\;=\;4\cdot \left(\cos({\tfrac {\pi }{3}}+2\alpha )+\mathrm {i} \,\sin({\tfrac {\pi }{3}}+2\alpha )\right)$

Das Quadrat der zweiten Lösung muss mit dem Quadrat der ersten Lösung, also mit der ursprünglichen Zahl übereinstimmen. Es müssen also die Sinus- und Kosinuswerte gleich sein. Also werden Werte von $\alpha$ gesucht, für die die folgenden Beziehungen gelten:

$\cos({\tfrac {\pi }{3}}+2\alpha )\;=\;\cos {\tfrac {\pi }{3}}\qquad \mathrm {und} \qquad \sin({\tfrac {\pi }{3}}+2\alpha )\;=\;\sin {\tfrac {\pi }{3}}$

Bekanntlich wiederholen sich Sinus- und Kosinuswerte mit der Periode $2\pi$. Die Gleichheit in den letzten Gleichungen ist also dann gegeben, wenn wir für $2\alpha$ nacheinander Vielfache von $2\pi$ einsetzen:

$\cos({\tfrac {\pi }{3}}+2k\pi )\;=\;\cos {\tfrac {\pi }{3}}\qquad \mathrm {und} \qquad \sin({\tfrac {\pi }{3}}+2k\pi )\;=\;\sin {\tfrac {\pi }{3}}\qquad \mathrm {mit} \quad k=0,\;1,\;2\;\dotsc$

Wir finden also mehrere Lösungen als Quadratwurzel, nämlich:

${\begin{aligned}z_{0}\;&=\;2\cdot \left(\cos({\tfrac {\pi }{6}}+0\pi )+\mathrm {i} \,\sin({\tfrac {\pi }{6}}+0\pi )\right)\\z_{1}\;&=\;2\cdot \left(\cos({\tfrac {\pi }{6}}+1\pi )+\mathrm {i} \,\sin({\tfrac {\pi }{6}}+1\pi )\right)\\z_{2}\;&=\;2\cdot \left(\cos({\tfrac {\pi }{6}}+2\pi )+\mathrm {i} \,\sin({\tfrac {\pi }{6}}+2\pi )\right)\quad \mathrm {usw.} \end{aligned}}$

Tatsächlich sind nur die ersten beiden Lösungen verschieden; danach wiederholen sie sich wegen der Periodizität.

Hinweis: Alle diese Feststellungen könnten mit $\;\operatorname {cis} \varphi \;$ statt $\;\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi \;$ kürzer beschrieben werden. Da die Umrechnungen für Sinus und Kosinus mit der Periode $2\pi$ geläufiger sind, wurde die umständlichere Schreibweise gewählt.

Dieses Verfahren können wir nun verallgemeinern. Gesucht werden die Wurzeln der folgenden Gleichung:

$z^{n}\;=\;r\cdot \operatorname {cis} \varphi$

Der Betrag ist wiederum die n-te reelle Wurzel von $r\!$, und zwar für alle Wurzeln. Das Argument der ersten Lösung ergibt sich wie im Beispiel direkt aus dem Satz von Moivre:

$\varphi _{0}\;=\;{\frac {\varphi }{n}}$

Die weiteren Lösungen finden wir ebenfalls wie im Beispiel mit dem Satz von Moivre durch Vergleich der n-ten Potenz:

${\begin{aligned}(\varphi _{0}+\alpha )\cdot n\;&=\;\varphi +2k\pi \\\Rightarrow \quad \alpha \;&=\;{\frac {\varphi +2k\pi }{n}}-\varphi _{0}\;=\;{\frac {\varphi +2k\pi }{n}}-{\frac {\varphi }{n}}\;=\;{\frac {2k\pi }{n}}\end{aligned}}$

Mit diesem Ergebnis können wir die obige Berechnung einer Wurzel vervollständigen:

Grundregel: Wurzel einer komplexen Zahl

Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl erhält man wie folgt: Aus dem (reellen) Betrag wird die n-te Wurzel gezogen. Das Argument wird mit Vielfachen von $2\pi$ addiert und durch $n$ dividiert. Dabei gibt es immer $n$ verschiedene Lösungen:

Zu $\;z=r\cdot \operatorname {cis} \varphi \;$ sind dies die Wurzeln:

${\sqrt[{n}]{z}}\;=\;z^{\frac {1}{n}}\;=\;{\sqrt[{n}]{r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\qquad {\text{mit}}\quad k=0,\;1,\;2\;\dotsc \;(n-1)$

Die Rechenregeln für Potenzen (siehe oben) galten ausdrücklich für ganzzahlige Exponenten. Die Erweiterung für gebrochene Exponenten – also für Wurzeln – gilt nicht mehr! Gleichgültig, welchen der beiden möglichen Werte $\mathrm {i}$ oder $-\mathrm {i}$ man für ${\sqrt {-1}}$ festlegt, erhält man beispielsweise:

$1\;=\;{\sqrt {1}}\;=\;{\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}\;\neq \;{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\;=\;-1$

Geometrische Interpretation

Zunächst gilt jedenfalls: Der Betrag einer jeden komplexen Wurzel ist gleich, nämlich die n-te reelle Wurzel aus dem Betrag von z. Damit liegen sämtliche Wurzeln auf einem Kreis um den Ursprung O der komplexen Zahlenebene mit dem Radius ${\sqrt[{n}]{r}}$. Die Argumente unterscheiden sich – unabhängig von z bzw. φ – um den festen Wert ${\tfrac {2\pi }{n}}$. Wir können also zusammenfassen:

Satz (Komplexe Wurzeln in der Zahlenebene)

Die Punkte der Zahlenebene, die zu den n komplexen Wurzeln gehören, liegen auf einem Kreis um den Ursprung O und sind die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.

Als Beispiel sehen wir uns die fünften komplexen Wurzeln der Zahl 1 an.

$z^{5}\;=\;1\;=\;\cos 0+\mathrm {i} \cdot \sin 0\quad \Rightarrow \quad z_{k}\;=\;{\sqrt[{5}]{1}}\cdot \left(\cos {\tfrac {2k\pi }{5}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\tfrac {2k\pi }{5}}\right)$

Wir erhalten also – wie in der nebenstehenden Grafik – die folgenden Werte:

${\begin{array}{lrcl}k=0\qquad &z_{0}&=&\cos \,\,\,\;\;\;0^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin \,\,\,\;\;\;0^{\circ }\\k=1\qquad &z_{1}&=&\cos \,\;\;72^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin \,\;\;72^{\circ }\\k=2\qquad &z_{2}&=&\cos 144^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 144^{\circ }\\k=3\qquad &z_{3}&=&\cos 216^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 216^{\circ }\\k=4\qquad &z_{4}&=&\cos 288^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 288^{\circ }\\\end{array}}$

Einheitswurzeln

Dieses Beispiel kann verallgemeinert werden und hat eine besondere Bedeutung: Die komplexen Wurzeln der reellen Einheit 1 liegen auf dem Einheitskreis (d. h. mit dem Radius 1) um den Ursprung; die erste Wurzel ist die reelle Einheit 1 selbst. Diese komplexen Wurzeln werden Einheitswurzeln genannt. Vor allem die geometrische Interpretation ist oft hilfreich.

Die Quadratwurzeln sind natürlich ±1. Die Kubikwurzeln werden im nächsten Abschnitt bestimmt, die vierten Wurzeln als Übung 8.

Als primitive Einheitswurzel $e_{1}$ wird die n-te Wurzel mit dem kleinsten Argument $\varphi$ ungleich 0 bezeichnet – also diejenige für $k=1\!$:

$e_{1}\;=\;\mathrm {e} ^{\left({\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{n}}\right)}$

Satz (Einheitswurzeln und ihre Potenzen)

Die n-ten Einheitswurzeln erhält man als Potenzen der primitiven Einheitswurzel:

$e_{1}^{1},\;e_{1}^{2},\;e_{1}^{3}\;\dotsc \;e_{1}^{n}$

Wegen der üblichen Reihenfolge der Einheitswurzeln passt folgende Auflistung besser:

$1,\;e_{1}^{1},\;e_{1}^{2},\;e_{1}^{3}\;\dotsc \;e_{1}^{n-1}$

Der exakte Beweis wäre umständlicher, als es die Sache erfordert. Bei der Multiplikation werden die Argumente addiert; die Differenz der Argumente zweier benachbarter Einheitswurzeln beträgt also ${\tfrac {2\pi }{n}}$ – wie es die Definition der Wurzeln besagt.

Satz (Beliebige Wurzeln und Einheitswurzeln)

Es sei $z_{0}$ eine (beliebige) komplexe n-te Wurzel einer Zahl z. Dann erhält man alle anderen n-ten Wurzeln von z durch wiederholte Multiplikation mit der primitiven Einheitswurzel.

Auch hier genügt die einfache Überlegung: Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Der Betrag der primitiven Einheitswurzel ist 1, ändert also den Betrag der „nächsten“ Wurzel nicht. Das Argument der primitiven Einheitswurzel ist ${\tfrac {2\pi }{n}}$ – genau wie die Differenz der Argumente zweier benachbarter Wurzeln.

Wurzeln aus 1, i, –1, –i

Bestimmen wir die Wurzeln der positiven und negativen Einheiten auf den Achsen – als Beispiel die dritten Wurzeln: Der Betrag für alle Zahlen ist 1 als dritte Wurzel aus 1.

Weil 1 auf der reellen Achse liegt, ist das Argument 0. Die erste Wurzel ist also ebenfalls 1. (Weil die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, darf es auch gar nicht anders sein.) Die weiteren Wurzeln sind um jeweils ${\tfrac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$ gedreht.

Die Darstellung von –1 unterscheidet sich von 1 nur durch das Argument, nämlich $\pi$ statt 0. Damit ist die erste Wurzel ebenfalls −1! Die weiteren Wurzeln sind davon ausgehend um 120° gedreht.

Untersuchen wir nun die dritte Wurzel aus i, also der imaginären Einheit. Das Argument von i ist ${\tfrac {\pi }{2}}=90^{\circ }$; das Argument der ersten Wurzel beträgt also ${\tfrac {\pi }{6}}=30^{\circ }$. Die weiteren Wurzeln sind ebenso um jeweils ${\tfrac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$ gedreht.

Die Darstellung von $-\mathrm {i}$ unterscheidet sich von $\mathrm {i}$ wiederum nur durch das Argument, nämlich ${\tfrac {3\pi }{2}}=270^{\circ }$. Auch hier sind die weiteren Wurzeln sind um 120° gedreht.

• 
  Dritte Wurzeln von 1
• 
  Dritte Wurzeln von –1
• 
  Dritte Wurzeln von i
• 
  Dritte Wurzeln von –i

Berechnung

Bestimmen wir die Lösungen – also die Wurzeln – der folgenden Gleichung.

$z^{4}\;=\;-3{,}6+4{,}9\,\mathrm {i}$

Da der binomische Lehrsatz nur für natürliche Exponenten gilt, müssen wir den Satz von Moivre benutzen. Es handelt sich um eine Gleichung 4. Grades, und wir müssen daher 4 Wurzeln erhalten. Um diese zu finden, bringen wir die rechte Seite der Gleichung wiederum auf ihre trigonometrische Form:

${\begin{array}{cclclcl}r&=&{\sqrt {(-3{,}6)^{2}+4{,}9^{2}}}&=&{\sqrt {36{,}97}}&\approx &6{,}08\\\varphi &=&\arctan {\left({\tfrac {4{,}9}{-3{,}6}}\right)}&\approx &\arctan {(-1{,}36)}&\approx &180^{\circ }-53{,}7^{\circ }\;=\;126{,}3^{\circ }\end{array}}$

Wir erhalten also die folgende Gleichung:

$z^{4}\;\approx \;6{,}08\cdot \left(\cos 126{,}3^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 126{,}3^{\circ }\right)$

Die „Wurzelformel“ lautet dazu:

$z\;=\;{\sqrt[{4}]{6{,}08}}\cdot \left(\cos {\frac {126{,}3^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }}{4}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {126{,}3^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }}{4}}\right)$

Die Werte der vier Wurzeln erhalten wir mit den Einsetzungen $k=0,1,2,3$, wobei die numerischen Ergebnisse wegen der wiederholten Umrechnungen zwangsläufig nur Näherungswerte sind:

${\begin{array}{cccclcl}k=0&\quad &z_{0}&\approx &1{,}57\cdot \left(+0{,}8519+0{,}5236\cdot \mathrm {i} \right)&\approx &+1{,}3377+0{,}8222\cdot \mathrm {i} \\k=1&\quad &z_{1}&\approx &1{,}57\cdot \left(-0{,}5236+0{,}8519\cdot \mathrm {i} \right)&\approx &-0{,}8222+1{,}3377\cdot \mathrm {i} \\k=2&\quad &z_{2}&\approx &1{,}57\cdot \left(-0{,}8519-0{,}5236\cdot \mathrm {i} \right)&\approx &-1{,}3377-0{,}8222\cdot \mathrm {i} \\k=3&\quad &z_{3}&\approx &1{,}57\cdot \left(+0{,}5236-0{,}8519\cdot \mathrm {i} \right)&\approx &+0{,}8222-1{,}3377\cdot \mathrm {i} \end{array}}$

Dass die einzelnen Werte mehrfach auftreten, liegt an den vierten Wurzeln, also an der Drehung um jeweils 90°.

Zusammenfassung der Rechenregeln

Die Erkenntnisse der bisherigen Kapitel können als Arbeitsanleitung zusammengefasst werden. Der Vollständigkeit halber wird dabei auch die Exponentialform genannt.

• Addition und Subtraktion werden am einfachsten in der algebraischen Form komponentenweise durchgeführt.
• Bei der Multiplikation kann – abhängig von der Vorgabe – jede Variante sinnvoll sein:
  • in algebraischer Form komponentenweise mit Klammerregeln
  • in Polarform oder Exponentialform durch Multiplikation der Beträge und Addition der Argumente (Winkel)
• Bei der Division gibt es diese Varianten:
  • In algebraischer Form ist die Schreibweise als Bruch am praktischsten; er wird mit dem konjugierten Nenner erweitert.
  • In Polarform oder Exponentialform werden die Beträge dividiert und die Argumente (Winkel) subtrahiert.
• Beim Potenzieren sind weitere Überlegungen sinnvoll:
  • In algebraischer Form kann für natürliche Exponenten der binomische Lehrsatz verwendet werden. – Dieser liefert ein exaktes Ergebnis, ist aber eine etwas umständlichere Art der Berechnung.
  • In Polarform oder Exponentialform wird für reelle Exponenten nach dem Satz von Moivre der Betrag potenziert und das Argument (der Winkel) multipliziert. – Dieses Verfahren liefert nur Näherungswerte, aber in der Praxis z. B. von Ingenieuren genügen diese vollauf.
• Beim Radizieren (Wurzelziehen) ist man auf den Moivre’schen Satz allein angewiesen. Dazu wird bei einem reellen Exponenten der Betrag radiziert und das Argument (der Winkel) durch den Exponenten dividiert; dies liefert die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von ${\tfrac {2\pi }{n}}$ um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind.

Potenzen mit reellen Exponenten

Die Moivre’schen Formeln ermöglichen es auf überraschend einfache Art, die Definition von Potenzen auf beliebige reelle Exponenten zu erweitern.

Zu berücksichtigen ist, dass die Polarform einer komplexen Zahl nur im Bereich $\;0\leq \varphi <2\pi \;$ eindeutig ist. Für eine beliebige, von 0 verschiedene komplexe Zahl z gilt deshalb:

$z\;=\;r\,\left({\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi }\right)\;=\;r\,\left[{\cos \left({\varphi +k\cdot 2\pi }\right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left({\varphi +k\cdot 2\pi }\right)}\right]\qquad {\mbox{für}}\qquad k=0,\;\ 1,\;\ 2\;\dotsc$

Das führt zu folgender Festlegung:

Definition (Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten)

Für eine komplexe Zahl $z$ ungleich Null (mit dem Betrag $r$ und dem Argument $\varphi$) soll unter $\;z^{x}\;{\text{mit}}\;x\in \mathbb {R} \;$ jede der folgenden komplexen Zahlen mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ verstanden werden:

$r^{x}\cdot \left[{\cos \left(x(\varphi +k\cdot 2\pi )\right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left(x(\varphi +k\cdot 2\pi )\right)}\right]$

Hinweise:

• Bei einer Potenz mit (beliebigen) reellen Exponenten handelt es sich damit um eine mehrdeutige Funktion.
• Die Grundregeln für das Rechnen mit Potenzen gelten bei den so definierten Potenzen nicht mehr.

Genauer (und einfacher) kann das mit der Exponentialdarstellung besprochen werden.

Aufgaben

Übungen

Übung 1

Konjugiert-komplexe Zahlen

Zur Lösung

Beweise: $\qquad {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}\;=\;{\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$

Übung 2

Konjugiert-komplexe Zahlen

Zur Lösung

Beweise: $\qquad {\text{Für}}\;z=r\cdot \operatorname {cis} \varphi \;\;{\text{gilt:}}\quad {\overline {z}}\;=\;r\cdot \operatorname {cis} (-\varphi )$

Übung 3

Regeln für Potenzen

Zur Lösung

Beweise die allgemeine Potenzformel für negative ganzzahlige Werte von n:

$z^{n}\;=\;|z|^{n}\,(\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )$

Übung 4

Regeln für Potenzen

Zur Lösung

Beweise die o. g. dritte Rechenregel für Potenzen:

$z_{1}^{n}\cdot z_{2}^{n}\;=\;(z_{1}\cdot z_{2})^{n}$

Übung 5

Der Moivre’sche Satz

Zur Lösung

Beweise den Satz von Moivre durch vollständige Induktion.

Übung 6

Potenzen

Zur Lösung

Berechne die vierte Potenz der komplexen Zahl mit dem Betrag 1,5 und dem Argument ${\tfrac {2\pi }{3}}$ sowohl nach der Moivre’schen Formel als auch mit dem binomischen Lehrsatz. Begründe, unter welchen Umständen beide Verfahren zum exakt (!) gleichen Ergebnis führen.

Übung 7

Wurzeln

Zur Lösung

Berechne die dritten Wurzeln von: $\qquad z=8\cdot \operatorname {cis} 36^{\circ }$

Übung 8

Einheitswurzeln

Zur Lösung

Überlege anhand der geometrischen Interpretation, wie die vierten Einheitswurzeln lauten müssen, und bestätige diese Überlegung durch die Berechnung.

Übung 9

Quadratwurzeln

Zur Lösung

Es sei $\;z_{1}=a+b\cdot \mathrm {i} \;$ eine der Quadratwurzeln einer komplexen Zahl. Überlege anhand der geometrischen Interpretation, wie die zweite Quadratwurzel lautet.

Lösungen

Lösung zu Übung 1

Konjugiert-komplexe Zahlen

Zur Übung

${\begin{aligned}{\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}\;&=\;{\overline {(a_{1}+\mathrm {i} b_{1})\cdot (a_{2}+\mathrm {i} b_{2})}}\\&=\;{\overline {(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+\mathrm {i} \,(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}}\\&=\;(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})-\mathrm {i} \,(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\\&=\;a_{1}(a_{2}-\mathrm {i} b_{2})-\mathrm {i} b_{1}(a_{2}-\mathrm {i} b_{2})\\&=\;(a_{1}-\mathrm {i} b_{1})\cdot (a_{2}-\mathrm {i} b_{2})\\&=\;{\overline {(a_{1}+\mathrm {i} b_{1})}}\cdot {\overline {(a_{2}+\mathrm {i} b_{2})}}\\&=\;{\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}\end{aligned}}$

Lösung zu Übung 2

Konjugiert-komplexe Zahlen

Zur Übung

Der Beweis ergibt sich direkt aus den Symmetrieeigenschaften von Sinus und Cosinus:

${\begin{aligned}z\;&=\;r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\qquad {\text{Daraus ergibt sich:}}\\{\overline {z}}\;&=\;r\cdot (\cos \varphi -\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\\&=\;r\cdot (\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \cdot \sin(-\varphi ))\\&=\;r\cdot \operatorname {cis} (-\varphi )\end{aligned}}$

Lösung zu Übung 3

Regeln für Potenzen

Zur Übung

Sei $\;n<0\;{\text{bei}}\;n\in \mathbb {Z} \!$. Dann gilt mit $\;m=-n\;{\text{also}}\;m\in \mathbb {N} \!$:

${\begin{aligned}z^{n}\;=\;z^{-m}\;&=\;{\frac {1}{z^{m}}}\\&=\;{\frac {1}{|z|^{m}\cdot (\cos m\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin m\varphi )}}\qquad {\text{(mit dem konjugierten Nenner erweitern)}}\\&=\;{\frac {\cos m\varphi -\mathrm {i} \cdot \sin m\varphi }{|z|^{m}\cdot (\cos m\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin m\varphi )\cdot (\cos m\varphi -\mathrm {i} \cdot \sin m\varphi )}}\qquad {\text{(binomische Formel im Nenner)}}\\&=\;|z|^{-m}\cdot {\frac {\cos m\varphi -\mathrm {i} \cdot \sin m\varphi }{\cos ^{2}{m\varphi }+\sin ^{2}{m\varphi }}}\qquad {\text{(trigonometrische Formel im Nenner, m durch −n ersetzen)}}\\&=\;|z|^{n}\cdot {\frac {\cos(-n\varphi )-\mathrm {i} \cdot \sin(-n\varphi )}{1}}\qquad {\text{(Symmetrie von Sinus und Cosinus)}}\\&=\;|z|^{n}\cdot (\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )\end{aligned}}$

Lösung zu Übung 4

Regeln für Potenzen

Zur Übung

Zunächst wird der linke Term umgeformt; dabei werden trigonometrische Summenformeln benutzt:

${\begin{aligned}z_{1}^{n}\cdot z_{2}^{n}\;&=\;|z_{1}|^{n}\cdot (\cos n\varphi _{1}+\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi _{1})\cdot |z_{2}|^{n}\cdot (\cos n\varphi _{2}+\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi _{2})\\&=\;|z_{1}|^{n}\cdot |z_{2}|^{n}\cdot \left(\cos n\varphi _{1}\cdot \cos n\varphi _{2}-\sin n\varphi _{1}\cdot \sin n\varphi _{2}+\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi _{1}\cdot \cos n\varphi _{2}+\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi _{2}\cdot \cos n\varphi _{1}\right)\\&=\;\left(|z_{1}|\cdot |z_{2}|\right)^{n}\cdot \left(\cos(n\varphi _{1}+n\varphi _{2})+\mathrm {i} \cdot \sin(n\varphi _{1}+n\varphi _{2})\right)\\&=\;\left(|z_{1}\cdot z_{2}|\right)^{n}\cdot \left(\cos n(\varphi _{1}+\varphi _{2})+\mathrm {i} \cdot \sin n(\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)\end{aligned}}$

Andererseits gilt für den rechten Term (diesmal mit der verkürzten Schreibweise):

${\begin{aligned}(z_{1}\cdot z_{2})^{n}\;&=\;\left(|z_{1}\cdot z_{2}|\cdot \operatorname {cis} (\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)^{n}\\&=\;{|z_{1}\cdot z_{2}|}^{n}\cdot \operatorname {cis} \left(n\cdot (\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)\end{aligned}}$

Lösung zu Übung 5

Der Moivre’sche Satz

Zur Übung

Für irgendeine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ soll Folgendes gezeigt werden:

$(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{n}\;=\;\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi$

Induktionsanfang: Diese Gleichung gilt offensichtlich für $n=1$.

Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass die Gleichung für ein bestimmtes positives ganzes k gilt:

$(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k}\;=\;\cos k\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin k\varphi$

Induktionsschritt: Die Gleichung soll auch für $k+1$ gelten. Für den Beweis betrachten wir die Terme in Klammern als komplexe Zahlen mit dem Betrag 1 und beachten die Grundregel zur Multiplikation komplexer Zahlen (Multiplikation der Beträge, Addition der Argumente). Den Faktor 1 schreiben wir nicht; daraus ergibt sich:

${\begin{aligned}(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k+1}\;&=\;(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k}\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\\&=\;(\cos k\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin k\varphi )\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\qquad {\mbox{(Addition der Argumente)}}\\&=\;\cos(k\varphi +\varphi )+\mathrm {i} \cdot \sin(k\varphi +\varphi )\\&=\;\cos \left((k+1)\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left((k+1)\varphi \right)\end{aligned}}$

Die Gleichung gilt also – wie behauptet – auch für $n=k+1$, also für alle natürlichen Zahlen.

Lösung zu Übung 6

Potenzen

Zur Übung

Da die Zahl in Polarform mit $\;r={\tfrac {3}{2}}{\text{ und }}\varphi ={\tfrac {2\pi }{3}}\;$angegeben ist, können wir die Moivre’sche Formel direkt anwenden:

${\begin{aligned}z^{4}\;&=\;r^{4}\cdot (\cos 4\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin 4\varphi )\qquad {\text{(Einsetzen der Werte)}}\\z^{4}\;&=\;\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\cdot \left(\cos {\frac {8\pi }{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {8\pi }{3}}\right)\qquad {\text{(Periodizität von Sinus und Cosinus:}}\\&=\;{\frac {81}{16}}\cdot \left(\cos {\frac {2\pi }{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\;{\frac {81\cdot (-1)}{16\cdot 2}}+{\frac {81\cdot {\sqrt {3}}}{16\cdot 2}}\mathrm {i} \;=\;-{\frac {81}{32}}+{\frac {81{\sqrt {3}}}{32}}\mathrm {i} \end{aligned}}$

Für den binomischen Lehrsatz benötigen wir zunächst die algebraische Form:

${\begin{array}{cclclcr}a&=&{\frac {3}{2}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{3}}&=&{\frac {3}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=&-{\frac {3}{4}}\\b&=&{\frac {3}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{3}}&=&{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}&=&{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\end{array}}$

Damit können wir die Potenz berechnen:

${\begin{aligned}\left(-{\frac {3}{4}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot \mathrm {i} \right)^{4}\;&=\;\left({\frac {-3}{4}}\right)^{4}\;+\;4\cdot \left({\frac {-3}{4}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot \mathrm {i} \right)^{1}\;+\;6\cdot \left({\frac {-3}{4}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot \mathrm {i} \right)^{2}\;+\;4\cdot \left({\frac {-3}{4}}\right)^{1}\cdot \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot \mathrm {i} \right)^{3}\;+\;\left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot \mathrm {i} \right)^{4}\\&=\;{\frac {81}{256}}\;+\;{\frac {4\cdot (-27)\cdot 3{\sqrt {3}}\cdot \mathrm {i} }{64\cdot 4}}\;+\;{\frac {6\cdot 9\cdot 27\cdot (-1)}{16\cdot 16}}\;+\;{\frac {4\cdot (-3)\cdot 27\cdot 3{\sqrt {3}}\cdot (-\mathrm {i} )}{4\cdot 64}}\;+\;{\frac {81\cdot 9\cdot 1}{256}}\\&=\;{\frac {81-1458+729}{256}}\;+\;{\frac {-324{\sqrt {3}}+972{\sqrt {3}}}{256}}\cdot \mathrm {i} \\&=\;{\frac {-648}{256}}\;+\;{\frac {648{\sqrt {3}}}{256}}\cdot \mathrm {i} \;=\;-{\frac {81}{32}}+{\frac {81{\sqrt {3}}}{32}}\cdot \mathrm {i} \end{aligned}}$

Beide Ergebnisse sind exakt gleich, wenn für Sinus und Cosinus von ${\tfrac {2\pi }{3}}$ mit ${\sqrt {3}}$ als genauem Wert und nicht mit einer Dezimalzahl gerechnet wird.

Lösung zu Übung 7

Wurzeln

Zur Übung

Die Wurzeln ergeben sich allgemein für $k=0,1,2$ wie folgt:

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{z}}\;&=\;{\sqrt[{3}]{r}}\cdot \left[\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right)\;+\;\mathrm {i} \cdot \sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right)\right]\\&=\;2\cdot \left[\cos \left({\frac {36^{\circ }+2k\pi }{3}}\right)\;+\;\mathrm {i} \cdot \sin \left({\frac {36^{\circ }+2k\pi }{3}}\right)\right]\end{aligned}}$

Dies liefert die drei Wurzeln – unter Berücksichtigung von $(2\pi =360^{\circ })$:

${\begin{array}{cclll}k=0&\quad &2\cdot \left(\cos {\frac {36^{\circ }}{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {36^{\circ }}{3}}\right)\;&\quad &=2\cdot (\cos 12^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 12^{\circ })\\k=1&\quad &2\cdot \left(\cos {\frac {36^{\circ }+2\pi }{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {36^{\circ }+2\pi }{3}}\right)&=\;2\cdot \left(\cos {\frac {36^{\circ }+360^{\circ }}{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {36^{\circ }+360^{\circ }}{3}}\right)\;&=\;2\cdot (\cos 132^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 132^{\circ })\\k=2&\quad &2\cdot \left(\cos {\frac {36^{\circ }+4\pi }{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {36^{\circ }+4\pi }{3}}\right)&=\;2\cdot \left(\cos {\frac {36^{\circ }+720^{\circ }}{3}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\frac {36^{\circ }+720^{\circ }}{3}}\right)\;&=\;2\cdot (\cos 252^{\circ }+\mathrm {i} \cdot \sin 252^{\circ })\end{array}}$

Lösung zu Übung 8

Einheitswurzeln

Zur Übung

Überlegung: Die erste Einheitswurzel ist die reelle Einheit selbst. Die weiteren Wurzeln sind jeweils um ${\tfrac {2\pi }{4}}$ gedreht, nämlich um 90°. Sie liegen also auf dem Einheitskreis auf den Achsen und entsprechen den Zahlen 1, i, −1, −i.

Die Berechnung erfolgt analog zu Übung 7:

${\sqrt[{4}]{1}}\;=\;\cos {\tfrac {2k\pi }{4}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\tfrac {2k\pi }{4}}$

${\begin{array}{ccrlllr}k=0&\quad &z_{0}\;=&\cos 0+\mathrm {i} \cdot \sin 0&=+1+0\cdot \mathrm {i} &=&1\\k=1&\quad &z_{1}\;=&\cos {\tfrac {\pi }{2}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\tfrac {\pi }{2}}&=\pm 0+1\cdot \mathrm {i} &=&\mathrm {i} \\k=2&\quad &z_{2}\;=&\cos \pi +\mathrm {i} \cdot \sin \pi &=-1+0\cdot \mathrm {i} &=&-1\\k=3&\quad &z_{3}\;=&\cos {\tfrac {3\pi }{2}}+\mathrm {i} \cdot \sin {\tfrac {3\pi }{2}}&=\pm 0-1\cdot \mathrm {i} &=&-\mathrm {i} \end{array}}$

Lösung zu Übung 9

Quadratwurzeln

Zur Übung

Die beiden Quadratwurzeln liegen auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene, haben also den gleichen Betrag. Als Quadratwurzeln unterscheiden sich ihre Argumente um $\pi$. Die beiden Zahlen liegen also punktsymmetrisch zueinander: Sowohl Realteil als auch Imaginärteil unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Damit gelten:  $z_{2}=-a-b\cdot \mathrm {i} \quad {\text{bzw.}}\quad z_{2}=-z_{1}$