Komplexe Zahlen/ Einführung

Zu diesem Buch

Das Buch ist konzipiert als Lehrbuch: Alle Kapitel bauen aufeinander auf; zu jedem Einzelthema gehören Beispiele und Übungen. Die abschließenden Kapitel mit den „Anwendungen“ sind vor allem für die betreffenden Fachgebiete von Bedeutung.

Wer bereits Vorkenntnisse zu den komplexen Zahlen hat, kann das Buch an die eigenen Bedürfnisse anpassen, beispielsweise die Grundlagen nur „überfliegen“ und sich auf Ergänzungen und Vertiefungen beschränken.

Die ersten Kapitel dienen der ausführlichen und vertiefenden Behandlung der komplexen Zahlen. Die „Anwendungen“ beschränken sich auf kurze Vorstellung der Zusatzthemen.

Bekannte Zahlenmengen

Die Geschichte der Mathematik zeigt, dass neue Probleme nicht nur neue Methoden hervorgebracht haben, sondern auch zu einer Erweiterung des Zahlenbereichs geführt haben. Zuerst wurde nur mit den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ gerechnet. Diese Menge wurde aber schon bald auf die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ erweitert, um auch mit negativen Zahlen zu rechnen und neue Probleme zu lösen. Die weiteren Entwicklungen sind hier tabellarisch dargestellt:

Gleichung	Lösung	Zahlenmenge
$x+7=2$	$x=-5$	$\mathbb {Z}$	positive und negative Zahlen (einschl. Null)
$7x\,=2$	$x\,={\tfrac {2}{7}}$	$\mathbb {Q}$	rationale Zahlen
$x^{2}\,=2$	$x\,=\pm {\sqrt {2}}$	$\mathbb {R}$	rationale und irrationale Zahlen
$x^{2}\,=-1$	$?$	$?$

In den bisher bekannten Zahlenmengen $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ gibt es keine Lösung für die letzte Gleichung: Das Quadrat einer positiven Zahl ist eine positive Zahl, und das Quadrat einer negativen Zahl ergibt ebenfalls eine positive Zahl. Somit lässt sich keine Zahl finden, deren Quadrat eine negative Zahl ist.

Die reellen Zahlen als Grundlage

Zur Behandlung des Problems gehen wir von den reellen Zahlen aus:

• Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen und den irrationalen Zahlen.

• Die Menge der rationalen Zahlen umfasst alle Zahlen, die sich als gemeine Brüche ${\tfrac {m}{n}}$ ($m$ und $n$ ganzzahlig) darstellen lassen. Dies umfasst die ganzen Zahlen, die endlichen Dezimalbrüche und die unendlichen periodischen Dezimalbrüche.

• Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst alle unendlichen nichtperiodischen Dezimalbrüche. Zu den irrationalen Zahlen gehören z. B. die Wurzeln aus positiven Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, die Eulersche Zahl $e$, die Zahl $\pi$, fast alle Logarithmen und fast alle Werte der trigonometrischen Funktionen.

Die reellen Zahlen können umkehrbar eindeutig auf die Zahlengerade abgebildet werden, das bedeutet: Jeder reellen Zahl entspricht genau ein Punkt der Zahlengeraden und jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl.

Das System der reellen Zahlen kann insofern als vollständig und nicht weiter ergänzbar bezeichnet werden, als jedem Punkt der Zahlengeraden eine reelle Zahl zugeordnet ist. Innerhalb der Menge der reellen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten unbeschränkt ausführbar (außer Division durch 0), und es gibt eine Kleiner-als-Relation (die sich mit Addition und Multiplikation gemäß den bekannten Gesetzen verträgt). Die Menge der reellen Zahlen ist daher ein „geordneter Zahlenkörper“.

Andererseits kann man das System der reellen Zahlen auch als unvollständig betrachten, weil es in ihm keine Lösung der obigen rein quadratischen Gleichung gibt. Das wird der Ausgangspunkt für die komplexen Zahlen.