Ing Mathematik: Quantoren

Zurück zu Logisches Schließen | Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis | Vor zu Mengenlehre

In diesem Kapitel widmen wir uns den verschiedenen Quantoren und ihren Kombinationen. Mathematische Sätze und Definitionen werden oft durch Quantoren abgekürzt, statt sie in Worte zu fassen.

Prädikate

Die betrachteten Objekte (Individuen) werden zu einem Bereich, dem Individuenbereich zusammengefasst. Die Eigenschaften der Individuen und die Beziehungen zwischen diesen werden als Prädikate oder Attribute bezeichnet. Die Stellenzahl eines Prädikates ist gleich der Anzahl der Variablen.

Beispiel:

Individuenbereich: Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$.

1-stelliges Prädikat: n ist eine Primzahl.

Existenzquantor

Der Existenzquantor wird auch Partikularisator genannt und mit dem Zeichen $\exists$ charakterisiert.

$\exists x:P(x)$ bedeutet, dass es mindestens ein x gibt, für das das Prädikat P(x) wahr ist.

$\exists ^{1}x:P(x)$ bedeutet, dass es genau ein x gibt, für das das Prädikat P(x) wahr ist.

Beispiel:

P(x): Die Zahl x ist eine Primzahl.

$\exists x:P(x)$: Es gibt mindestens eine Zahl x, die eine Primzahl ist.

Allquantor

Der Allquantor wird auch Generalisator genannt und mit dem Zeichen $\forall$ charakterisiert.

$\forall x:P(x)$ bedeutet, dass für alle x das Prädikat P(x) wahr ist.

Beispiel:

P(x): Die Zahl x ist eine Primzahl.

$\forall x:P(x)$: Alle Zahlen sind Primzahlen.

Das ist natürlich eine falsche Aussage.

Einige Regeln

Negation

$\neg \left(\exists x:P(x)\right)=\forall x:\left(\neg P(x)\right)$

Beispiel:

P(x): Der Feldhase x ist 100kg schwer.

$\neg \left(\exists x:P(x)\right)$: Es gibt keinen 100kg schweren Feldhasen.

$\forall x:\left(\neg P(x)\right)$: Alle Feldhasen sind nicht 100kg schwer.

Mit etwas Phantasie kann man erkennen, dass beide Aussagen gleichwertig sind.

$\neg \left(\forall x:P(x)\right)=\exists x:\left(\neg P(x)\right)$

Beispiel:

P(x): Der Feldhase x ist 100kg schwer.

$\neg \left(\forall x:P(x)\right)$: Nicht alle Feldhasen sind 100kg schwer.

$\exists x:\left(\neg P(x)\right)$: Es gibt mindestens einen Feldhasen der nicht 100kg schwer ist.

Aneinanderreihung von Quantoren

$\forall x\forall y:P(x,y)=\forall y\forall x:P(x,y)$

$\exists x\exists y:P(x,y)=\exists y\exists x:P(x,y)$

aber

$\exists x\forall y:P(x,y)\neq \forall y\exists x:P(x,y)$

Zurück zu Logisches Schließen | Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis | Vor zu Mengenlehre