Ing Mathematik: Logisches Schließen


Wir setzen nun fort, was im letzten Kapitel begonnen wurde. Auch wenn der Stoff etwas abstrakt erscheinen mag, ohne ihn lassen sich die mathematischen Sätze, die später kommen werden, nicht verstehen. Deshalb sollte dieser Abschnitt aufmerksam gelesen werden.

Notwendige und hinreichende BedingungenBearbeiten

Die Implikation   ist bereits bekannt (aus A folgt B; A impliziert B)). Man nennt A hier auch die Voraussetzung und B die Folgerung des Satzes.


Notwendige Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig, wenn   gilt.


Hinreichende Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S hinreichend, wenn   gilt.


Notwendige und hinreichende Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig und hinreichend, wenn   gilt.


     
B ist wahr ? S ist wahr S ist wahr
B ist falsch S ist falsch ? S ist falsch

Grundlegende SchlussregelnBearbeiten

Bei logischen Schlüssen (Konklusionen) stellen die Schlussregeln immer sicher, dass aus wahren Aussagen wieder wahre Aussagen folgen. Darin unterscheiden sie sich grundlegend von Schlussfolgerungen, die jeder immer wieder im normalen Leben zieht. Die "alltäglichen" Schlussfolgerungen können sich nämlich auch als falsch herausstellen (geozentrisches Weltbild, Hexenverfolgung, kein Alibi = schuldig, etc.)


AbtrennungsregelBearbeiten

Die Abtrennungsregel wird auch als Modus ponens bezeichnet.

Ist A wahr und ist auch   wahr, so ist auch B wahr.


 


WiderlegungsregelBearbeiten

Die Widerlegungsregel wird auch als Modus tollens bezeichnet.

Ist   wahr und ist auch   wahr, so ist   wahr.


 


KontrapositionsregelBearbeiten

Ist   wahr , so ist auch   wahr.


 


KettenschlussBearbeiten

Ist   wahr und ist auch   wahr, so ist   wahr.


 .


FallunterscheidungBearbeiten

Sind  ,  , sowie   wahr, so ist auch C wahr.


 .

Reductio ad absurdumBearbeiten

Folgt aus A sowohl B als auch  B, so ist  A wahr.


 .

ÜbungenBearbeiten

  1. Beweisen Sie die Schlussregeln durch Aufstellen der Wahrheitstafeln.
  2. Könnte man die Widerlegungsregel auch zu   umformulieren?