Ing Mathematik: Aussagen und Aussagenverknüpfung


Man kann sagen, dass Aussagen die Substanz der Mathematik sind, das, womit die Mathematik eigentlich arbeitet. Aussagen können wahr oder falsch sein, sie können aus anderen gefolgert werden (oder auch nicht), man kann sie verknüpfen, etc. Dieses Kapitel widmet sich den (oft intuitiven) Regeln, wie man mit Aussagen umzugehen hat. Auch wenn der Ingenieur aller Wahrscheinlichkeit nach in seinem Berufsleben nie wieder Wahrheitstafeln aufstellen muss, prägt dieses grundlegende Prinzip der Mathematik die Denkweise und sollte daher durchaus ernst genommen werden.

AussagenBearbeiten

Aussage
Eine Aussage ist ein Satz in einer natürlicher oder artifiziellen Sprache, der von seinem Inhalt her entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele für Aussagen:

  • München ist die Hauptstadt von Polen.
  • Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar.
  • Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper.

Keine Aussagen sind:

  • Dubbl Dibbl Dum. (kein Satz, sinnlose Wortzusammenstellung)
  • Regnet es jetzt? (Frage)
  • Mathematik ist sinnlos. (individuelle Meinungsäußerung)

W (wahr) und F (falsch) werden als Wahrheitswerte einer Aussage bezeichnet. Wahrheitswerte sind logische Konstanten.

AussageformBearbeiten

Aussageform
Der Ausdruck   heißt Aussageform, wenn bei jeder Substitution der Variablen   durch Aussagen   der Ausdruck A in eine Aussage, egal ob wahr oder falsch, übergeht.


AussagenverknüpfungBearbeiten

Es seien A und B Aussagen.

NegationBearbeiten

Die Negation wird auch als Komplement, logisches NICHT oder non bezeichnet.

Schreibweise:  

Bedeutung: NICHT A

Wahrheitstafel:

A  A
W F
F W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

 : 4 ist keine Primzahl. (W)

KonjunktionBearbeiten

Die Konjunktion wird auch als logisches Produkt, logisches UND oder et bezeichnet.

Schreibweise:  

Bedeutung: A UND B

Wahrheitstafel:

A B A B
W W W
W F F
F W F
F F F


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

 : 4 ist eine Primzahl und durch 2 teilbar. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung   auf.


DisjunktionBearbeiten

Die Disjunktion wird auch als Alternative, logische Addition, logisches ODER oder vel bezeichnet.

Schreibweise:  

Bedeutung: A ODER B

Wahrheitstafel:

A B A B
W W W
W F W
F W W
F F F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

 : 4 ist eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung   auf.

AntivalenzBearbeiten

Die Antivalenz wird auch als ausschließendes ODER, exklusives ODER oder aut bezeichnet.

Schreibweise:  

Bedeutung: ENTWEDER A ODER B

Wahrheitstafel:

A B A B
W W F
W F W
F W W
F F F

Beispiel:

A: 3 ist eine Primzahl. (W)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

 : Entweder ist 3 eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (F)


SubjunktionBearbeiten

Schreibweise:  

Bedeutung: WENN A DANN B

Wahrheitstafel:

A B A B
W W W
W F F
F W W
F F W


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

 : Wenn 4 eine Primzahl ist, dann ist 4 durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung   auf.

BijunktionBearbeiten

Schreibweise:  

Bedeutung: A GENAU DANN, WENN B

Wahrheitstafel:

A B A B
W W W
W F F
F W F
F F W


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

 : 4 ist genau dann eine Primzahl, wenn 4 durch 2 teilbar ist. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung   auf.

Wichtige RechenregelnBearbeiten

PrioritätsregelnBearbeiten

  1.   bindet stärker als   und  
  2.   und   sind gleichberechtigt und binden stärker als  
  3.   bindet stärker als  

Doppelte NegationBearbeiten

 

AssoziativgesetzeBearbeiten

 

 

KommutativgesetzeBearbeiten

 

 

DistributivgesetzeBearbeiten

 

 

IdempotenzgesetzeBearbeiten

 

 

AbsorptionsgesetzeBearbeiten

 

 

De Morgansche RegelnBearbeiten

 

 

KontrapositionBearbeiten

 

Weitere RegelnBearbeiten

 

 

Übungen:

  • Beweisen Sie das Kontrapositionsgesetz mit Hilfe der Wahrheitstafel.
  • Beweisen Sie eines der Absorptionsgesetze mit Hilfe der Wahrheitstafel.
  • Vereinfachen Sie schrittweise   zu  
  • Wie lässt sich die Bijunktion allein durch Negation und Disjunktion ausdrücken?

Anti-KonjunktionBearbeiten

Die Anti-Konjunktion wird auch als Sheffersche Funktion oder NAND bezeichnet.

Schreibweise: 

Bedeutung: NICHT (A UND B)

Wahrheitstafel:

A B A B
W W F
W F W
F W W
F F W


Übung: Zeigen Sie, dass sich die Negation und die Konjunktion allein durch die Anti-Konjunktion darstellen lassen.

Anti-DisjunktionBearbeiten

Die Anti-Disjunktion wird auch als Nicodsche Funktion oder NOR bezeichnet.

Schreibweise: 

Bedeutung: NICHT (A ODER B)

Wahrheitstafel:

A B A B
W W F
W F F
F W F
F F W

Übung: Zeigen sie, dass sich die Negation und die Disjunktion allein durch die Anti-Disjunktion darstellen lassen.


Tautologie und KontradiktionBearbeiten

Tautologie und Kontradiktion
Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für jede Variablenbelegung mit Wahrheitswerten wahr ist. Man nennt ihn ungültig oder Kontradiktion, wenn er für jede Variablenbelegung falsch ist.

Beispiel 1:

 

A   A A  A
W F W
F W W

Der aussagenlogische Ausdruck   ist für jede Belegung seiner Variablen immer wahr, der Ausdruck ist eine Tautologie.


Beispiel 2:

 

A   A A  A
W F F
F W F

Der aussagenlogische Ausdruck   ist für jede Belegung seiner Variablen immer falsch, der Ausdruck ist also eine Kontradiktion.


ImplikationBearbeiten

Ist die Subjunktion A B eine Tautologie, so nennen wir sie Implikation oder Folgerung.

Schreibweise:  

Bedeutung: A IMPLIZIERT B oder AUS A FOLGT B

ÄquivalenzBearbeiten

Ist die Bijunktion A B eine Tautologie, so nennen wir sie Äquivalenz.

Schreibweise:  

Bedeutung: A IST ÄQUIVALENT ZU B

A und B sind dann äquivalent, wenn sie die gleichen Wahrheitswerte liefern.

Normalformen [DRAFT]Bearbeiten

Unter einer Normalform versteht man die standarisierte Form einer logischen Gleichung. Es kommen nur Negationen, konjunktive und disjunktive Verknüpfungen vor.
Bevor eine Normalform definiert werden kann, müssen die Begriffe Minterm und Maxterm definiert werden.

  • ein Minterm ist eine konjunktive Verknüpfung von Eingangswerten, die logisch den Wert 1 am Ausgang erzeugen.

 

  • ein Maxterm ist eine disjunktive Verknüpfung von Eingangswerten die den Ausgang logisch 0 werden lassen.

 
Eine Normalform erhält man im Folgenden durch die disjunktive Verknüpfung von Mintermen oder die konjungtive Verknüpfung von Maxtermen. Beide Formen sind gleichwertig und lassen sich mit den de'Morganschen Regeln ineinander umformen.

Kanonische Normalform: Unter einer kanonischen Normalform versteht mann eine DNF oder eine KNF die alle Eingangsgrößen in allen Summentermen verwenden.

Um die Zusammenhänge zu verdeutlichen soll als Beispiel eine Hex-Anzeige angesteuert werden.

 
SevenSegmentNumber

Der Balken a soll für die Ziffern 2,3,5,6,7,8,9 sichtbar sein.

number wxyz f(x,y,z)
0 0000 0
1 0001 0
2 0010 1
3 0011 1
4 0100 0
5 0101 1
6 0110 1
7 0111 1
8 1000 1
9 1001 1

Disjunktive NormalformBearbeiten

Eine Disjunktive Normalform ist eine disjunkte Verknüpfung von Mintermen.

Die Disjunktive Normalform kann anhand der Wahrheitstabelle direkt aufgestellt werden, dazu müssen nur alle Terme der Wahrheitstabelle die 1 ergeben als disjunkte Minterme übernommen werden.  

Konjunktive NormalformBearbeiten

Eine konjunktive Normalform ist eine konjunktive Verknüpfung von Maxtermen.

Die konjunktive Normalform kann ebenso an der Wahrheitsabelle aufgebaut werden. dazu müssen alle Zeilen die logisch '0' ergeben übernommen werden.