Ing Mathematik: Mengenlehre

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Menge

Definition einer Menge nach Cantor

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

• Explizite Mengenbeschreibung: $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \}$
• Implizite Mengenbeschreibung: Die Menge aller Telefonnummern in der Stadt XYZ.

Von jedem Objekt soll feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (Ausschluss von Antinomien). Die Objekte einer Menge werden als Elemente bezeichnet.

• Element von: $\in$
• Nicht Element von: $\notin$

Beispiel: $A=\left\{2,4,6,8\right\}$

$4\in A;\;5\notin A$

Teilmenge

Teilmenge

Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A ($B\subseteq A$), wenn jedes Element von B auch Element von A ist.

Die Beziehung $\subseteq$ heißt Inklusion.

Ist die Menge B keine Teilmenge der Menge A, so schreibt man dies als $B\not \subseteq A$

Gleichheit von Mengen

$A=B\;\Leftrightarrow \;\left(A\subseteq B\right)\wedge \left(B\subseteq A\right)$

Echte Teilmenge

Eine Menge B heißt echte Teilmenge einer Menge A ($B\subset A$), wenn jedes Element von B auch Element von A, sowie A nicht gleich B ist.

Leere Menge

Enthält eine Menge kein Element, so heißt sie leere Menge ($\varnothing$).

Die leere Menge ist immer Teilmenge einer anderen Menge ($\varnothing \subseteq A$).

Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge

Unter der Vereinigungsmenge der Menge A und B ($A\cup B$) versteht man die Menge aller Elemente, die einer der beiden Mengen angehört.

Es gilt: $A\subseteq B\;\Rightarrow \;A\cup B=B$

Schnittmenge

Schnittmenge

Die Schnitt- oder Durchschnittsmenge ($A\cap \ B$) ist die Menge aller Elemente, die sowohl der Menge A, wie auch der Menge B angehören.

Wie man auch leicht visualisieren kann gelten folgende Regeln:

• $A\subseteq B\;\Rightarrow \;A\cap B=A$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

Ist $A\cap B=\varnothing$, so heißen die beiden Mengen elementfremd (disjunkt).

Differenzmenge

Differenzmenge

Die Differenzmenge $A\setminus B$ (Menge A ohne Menge B) besteht aus der Menge von Elementen, welche zwar der Menge A angehören, aber nicht der Menge B.

Komplement

Eine andere Bezeichnung für $A\setminus B$ ist Komplement von B bezüglich A. Ist die Menge B eine Teilmenge der Menge A, so nennt man die Menge $A\setminus B={\overline {B}}$ Komplement von B.

Für das Komplement gelten folgende Regeln:

• $B\subseteq A,\quad {\overline {\overline {B}}}=B$
• de Morgansche Regeln: $B,C\ \subseteq A,\quad {\begin{cases}{\overline {B\cup C}}={\overline {B}}\cap {\overline {C}}\\{\overline {B\cap C}}={\overline {B}}\cup {\overline {C}}\end{cases}}$

Geordnete Paare und Produktmenge

Geordnete Paare

A und B seien beliebige nichtleere Mengen, sowie $a\in A,\;b\in B$. $\left(a,\ b\right)$ heißt dann geordnetes Paar.

Gleichheit geordneter Paare: $\left(a,\ b\right)=\left(c,\ d\right)\Leftrightarrow a=c,\;b=d$

Produktmenge

Die Menge aller geordneten Paare der Mengen A und B $A\times B=\left\{(a,b)|\;a\in A\wedge b\in B\right\}$ heißt Produktmenge von A und B.

Geordnetes Tripel

A, B und C seien beliebige nichtleere Mengen, sowie $a\in A,\;b\in B,\;c\in C$. $\left(a,b,c\right)$ nennt man geordnetes Tripel.

Geordnetes n-Tupel

$A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ seien n beliebige nichtleere Mengen mit $a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\ldots ,a_{n}\in A_{n}$. $\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)$ heißt dann geordnetes n-Tupel.

Gleichheit geordneter n-Tupel: $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\Leftrightarrow a_{i}=b_{i}$

Produkt der Mengen $A_{1}$ bis $A_{n}$

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=\left\{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)\;|\;a_{i}\in A_{i}\right\}$

Ist $A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{n}$, so kann man anstatt $\prod _{i=1}^{n}A_{i}$ auch $A^{n}\$ schreiben.

Beispiel: $\mathbb {R} ^{3}$

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