Ing Mathematik: Funktionen

DefinitonBearbeiten

Funktion
A und B seien Mengen. Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element   dabei genau ein Element   zuordnet (eindeutige Abbildung).

A heißt Definitionsbereich von f, B ist der Zielbereich und W der Wertebereich von f.   nennt man Argument von f.   mit   bezeichnet man als "Bild von x unter f" oder "Funktionswert von f an der Stelle x".


Eine Funktion kann auch in Form eines Pfeildiagramms visualisiert werden


 


Verschiedene SchreibweisenBearbeiten

  • Exakte Darstellung:  
  • Abgekürzte Schreibweisen:
    • Funktion f von A nach B:  
    •  
    •  
    • Funktionsgleichung in expliziter Form:  
    • Funktionsgleichung in impliziter Form:  
    • Funktionsgleichung in Parameterform:  


Zwei Funktionen f und g sind dann gleich, wenn folgender Zusammenhang gilt:

 


Komposition von FunktionenBearbeiten

Beispiel: Die Schallgeschwindigkeit c ist bei gleichbleibendem Druck und Dichte des Mediums abhängig vom Isentropenkoeffizienten  . Das bedeutet  . Gleichzeitig ist aber   abhängig von der Temperatur T, also  .

Die Zusammensetzung (Komposition) ergibt  


Man schreibt für   auch  . Es ist auch zu beachten, dass  


Formal kann eine Komposition von Funktionen folgendermaßen angeschrieben werden:

 

 .


Bijektivität und UmkehrungBearbeiten

Injektive FunktionenBearbeiten

 


Injektive Funktion
Eine Funktion   heißt injektiv (eineindeutig), wenn  


Ist eine Funktion f injektiv und  , so läßt sich eine Gleichung   prinzipiell eindeutig nach x auflösen.


Beispiel:   ist nicht injektiv, da  

Surjektive FunktionenBearbeiten

Gilt, dass der Wertebereich W einer Funktion f gleich dem Zielbereich B ist, so nennt man die Funktion surjektiv. Eine surjektive Funktion muss nicht unbedingt injektiv sein.


Bijektive FunktionenBearbeiten

Ist eine Funktion f sowohl injektiv als auch surjektiv, so nennt man sie bijektiv. Zu jeder bijektiven Funktion   existiert die Umkehrfunktion  .

UmkehrfunktionenBearbeiten

 


Umkehrfunktion
Ist   eine injektive Funktion, so ist   die Umkehrfunktion zu f.  .

Monotonie und BeschränktheitBearbeiten

Monotone Funktionen
Eine Funktion y=f(x) ist genau dann monoton steigend (fallend), wenn  , bzw.   für alle   ist.
Eine weitere Unterscheidung ist "streng monoton steigend/fallend", wenn  , bzw.   für alle   gilt.
Monoton steigende Funktion
Wird x größer, so wird auch y=f(x) größer oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

 

Monoton fallende Funktion
Wird x größer, so wird y=f(x) kleiner oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

 

Beschränkte Funktionen
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen   und   gibt, sodass   für alle x gilt.

Beispiel:   und   sind beschränkte Funktionen mit   und  .

Bezug zur MonotonieBearbeiten

Satz Jede streng monotone Funktion ist injektiv. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht (kann aber).

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Symmetrische (gerade) Funktion
Eine Funktion heißt symmetrisch (zur Ordinate), wenn gilt f(x) = f(-x)

Beispiele:  ,  


Schiefsymmetrische (ungerade) Funktion
Eine Funktion heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt f(-x) = -f(x)
Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden

Beispiele:  ,  

Periodische Funktion
 , wobei T als Periode der Funktion bezeichnet wird.

Beispiel: f(x)=sin(x) Periode T=Pi/2