Ing Mathematik: Matrizen


MatrixBearbeiten

Matrix
Als  -Matrix bezeichnet man ein rechteckiges Schema von   Elementen (Zahlen, Polynome, Differentiale, etc.), die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.


 

oder in Kurzform

 


Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte entspricht einem Vektor.

Als i-ten Zeilenvektor bezeichnet man  

Als j-ten Spaltenvektor bezeichnet man  


Beispiel:

  ist eine   - Matrix

Transponierte MatrixBearbeiten

Tauscht man in einer Matrix A Zeilen mit Spalten, so erhält man die transponierte Matrix  .

 


Beispiel:

 

 


Übung: Transponieren sie die Matrix  


Spezielle MatrixtypenBearbeiten

Quadratische MatrixBearbeiten

Als quadratische Matrix bezeichnet man eine  -Matrix.

DiagonalmatrixBearbeiten

Die Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix. Bei einer Diagonalmatrix sind alle Werte außerhalb der Hauptdiagonalen mit 0 belegt.

 

mit   Kronecker-Delta

Als Spur der quadratischen Matrix bezeichnet man

 

EinheitsmatrixBearbeiten

Die Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonale mit Einsern belegt ist.

 

Spezialfall: Obere / untere Dreiecksmatrix Def. obere Dreiecksmatrix : alle Elemente der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale sind 0 Def. untere Dreiecksmatrix: alle Elemente der Matrix oberhalb der Hauptdiagonale sind 0

Anwendung: kann man eine beliebige Matrix durch äquivalente Umformungen in eine der o. g. Darstellungen bringen, lässt sich auf diese Weise leicht die Determinante dieser Matrix bestimmen, da das Produkt aller Elemente von beliebigen Geraden, mit Ausnahme der Hauptdiagonale 0 ist. Die Determinante ist folglich das Produkt aller Hauptdiagonalelemente

Symmetrische MatrixBearbeiten

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

 

oder

 


Beispiel:  

Schiefsymmetrische MatrixBearbeiten

Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

 

oder

 

Beispiel:   Die Spur muss mit Nullen belegt sein.

NullmatrixBearbeiten

Bei einer Nullmatrix sind alle Koeffizienten mit 0 belegt.

 

RechenregelnBearbeiten

Gleichheit von MatrizenBearbeiten

Eine  -Matrix A ist gleich einer  -Matrix B, wenn

  1.   und  
  2.  

MatrizenadditionBearbeiten

 

Bedingung: Die Matrizen A und B müssen gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen.


Beispiel:

 

Vielfaches einer MatrixBearbeiten

 

 

 

 


Beispiel:

 

MatrizenmultiplikationBearbeiten

 

 

Bedingung: Die Spaltenanzahl der Matrix A muss der Zeilenanzahl der Matrix B entsprechen.

Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

 


Beispiel:

 


Anschaulich durchführen kann man die Matrizenmultiplikation mittels Falkschem Schema:

Beispiel:

 


Für quadratische Matrizen sind auch Potenzen von Matrizen definiert.

 

 


Übung: Multiplizieren sie  

KommutativgesetzeBearbeiten

 

 

 

 

AssoziativgesetzeBearbeiten

 

 

DistributivgesetzeBearbeiten

 

 

Rang einer MatrixBearbeiten

Rang einer Matrix
Unter dem Zeilenrang   der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix A. Unter dem Spaltenrang   der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix A. Dabei gilt immer, dass   ist. Der Rang einer Matrix A (Rg(A)) ist gleich dem Zeilenrang bzw. Spaltenrang der Matrix A.


Beispiel 1:  

 


Beispiel 2:  

 


Zur Berechnung des Zeilen-/Spaltenranges einer Matrix kann man folgende Umformungen durchführen,

für die Bestimmung des Zeilenranges:

  • Vertauschung zweier Zeilen
  • Multiplikation von Zeilen i mit  
  • Addition des k-fachen eines Zeilenvektors zu einem anderen Zeilenvektor mit  

und für die Bestimmung des Spaltenranges:

  • Vertauschung zweier Spalten
  • Multiplikation von Spalten j mit  
  • Addition des k-fachen eines Spaltenvektors zu einem anderen Spaltenvektor mit  


Übung: Bestimmen sie den Rang der Matrix  


Der Rang einer Matrix ist insbesondere auch für die Bestimmung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen von Interesse.

Matrizen mit komplexen ZahlenBearbeiten

Für Matrizen, die komplexe Zahlen beinhalten, gelten die selben Regeln wie für reelle Matrizen.

Eine komplexe Matrix C kann man in zwei Matrizen A und B aufspalten

 

Ein wunderschönes Beispiel aus der FestigkeitslehreBearbeiten

Die allseits bekannte und beliebte Cauchysche Formel   mit

dem Spannungsvektor

 

dem symmetrischen Spannungstensor (= Spannungsmatrix)

 

und dem Normalenvektor

 

sei gegeben. Die Komponenten des Spannungsvektors sollen ermittelt werden:

  1. allgemein
  2. für  ,  ,  ,  ,   und  


Lösung:

 


 

 

 

ÜbungenBearbeiten