Ing Mathematik: Determinanten


DeterminanteBearbeiten

Jeder quadratischen  -Matrix

 

kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate

 

UnterdeterminanteBearbeiten

Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten Matrix   die Unterdeterminate   zugeordnet.

Beispiel:

 

 


AdjunkteBearbeiten

Die Adjunkte   ist die mit   multiplizierte Unterdeterminante  .

 

Berechnung von DeterminantenBearbeiten

Für  -Matrizen gilt:  

Für  -Matrizen gilt:  


Regel von SarrusBearbeiten

Zur Berechnung der Determinante einer  -Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:

Wikipedia: Regel von Sarrus

Laplacescher EntwicklungssatzBearbeiten

Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:

 

 

Beispiel:

 

 


Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix

 

Einige DeterminantensätzeBearbeiten

  • Eine Determinante bleibt ungeändert:
    • Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen:  .
    • Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.
  • Eine Determinante wird Null:
    • Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
    • Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.
  • Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.
  • Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl:  .
  • Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante.  .


Inverse MatrixBearbeiten

  heißt inverse Matrix zu A. Es gilt  .

 


Eine  -Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist:  , dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.

Eine Matrix A mit   nennt man singulär.


Übung: Ist die Matrix   invertierbar?


RegelnBearbeiten

 

 

 

 


Praktische Bestimmung der inversen MatrixBearbeiten


Orthogonale MatrizenBearbeiten

Eine  -Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:

  • alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren:  

und

  • alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander:  


 


Die orthogonale Matrix A ist regulär:

 

 


Orthogonalitätsbedingung:

 

 


Nachtrag zu VektorproduktBearbeiten

Das Vektorprodukt zweier Vektoren   kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

 


Nachtrag zu SpatproduktBearbeiten

Das Spatprodukt dreier Vektoren   kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

 


ÜbungenBearbeiten

Übung 1: Berechnen sie die Determinante der Matrix  


Übung 2: Berechnen sie die Determinante der Matrix

 


Übung 3: Für welche   ist die Matrix

 

regulär?


Übung 4: Berechnen sie die inverse Matrix   zu

 


Übung 5: Ist die Matrix

 

orthogonal?