Ing Mathematik: Determinanten

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Determinante

Jeder quadratischen $(n\times n)$-Matrix

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate

${\rm {det}}A=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

Unterdeterminante

Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten Matrix $A_{ij}$ die Unterdeterminate ${\rm {det}}A_{ij}$ zugeordnet.

Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

${\rm {det}}A_{13}={\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}$

Adjunkte

Die Adjunkte ${\rm {adj}}A_{ij}$ ist die mit $\left(-1\right)^{i+j}$ multiplizierte Unterdeterminante ${\rm {det}}A_{ij}$.

${\rm {adj}}A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}{\rm {det}}A_{ji}$

Berechnung von Determinanten

Für $(1\times 1)$-Matrizen gilt: ${\rm {det}}A=a_{11}$

Für $(2\times 2)$-Matrizen gilt: ${\rm {det}}A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Regel von Sarrus

Zur Berechnung der Determinante einer $(3\times 3)$-Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:

Wikipedia: Regel von Sarrus

Laplacescher Entwicklungssatz

Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:

${\rm {det}}A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\rm {det}}A_{ij}\qquad i={\rm {konst.}}$

${\rm {det}}A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\rm {det}}A_{ij}\qquad j={\rm {konst.}}$

Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}2&0&3\\5&9&7\\-1&3&2\end{pmatrix}}$

${\rm {det}}A={\begin{vmatrix}2&0&3\\5&9&7\\-1&3&2\end{vmatrix}}=2{\begin{vmatrix}9&7\\3&2\end{vmatrix}}-0{\begin{vmatrix}5&7\\-1&2\end{vmatrix}}+3{\begin{vmatrix}5&9\\-1&3\end{vmatrix}}=2(9\cdot 2-7\cdot 3)-0+3(5\cdot 3+9\cdot 1)=66$

Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&5&3&7\\5&0&9&0\\-1&3&4&0\\0&9&-2&0\end{pmatrix}}$

Einige Determinantensätze

• Eine Determinante bleibt ungeändert:
  • Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen: ${\rm {det}}A=\;{\rm {det}}A^{T}$.
  • Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.

• Eine Determinante wird Null:
  • Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
  • Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.

• Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.

• Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl: ${\rm {det}}(kA)=k^{n}\;{\rm {det}}A$.

• Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante. ${\rm {det}}A\;{\rm {det}}B={\rm {det}}(AB)$.

Inverse Matrix

$A^{-1}$ heißt inverse Matrix zu A. Es gilt $AA^{-1}=E$.

$A^{-1}=\left(\alpha _{ij}\right)\quad {\rm {mit}}\quad \alpha _{ij}={\frac {1}{{\rm {det}}A}}(-1)^{i+j}{\rm {det}}A_{ji}$

Eine $(n\times n)$-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist: ${\rm {det}}A\neq 0$, dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.

Eine Matrix A mit ${\rm {det}}A=0$ nennt man singulär.

Übung: Ist die Matrix ${\begin{pmatrix}2&5&3&7\\5&0&9&0\\-1&3&4&0\\0&9&-2&0\end{pmatrix}}$ invertierbar?

Regeln

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$

$\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$

${\rm {det}}\left(A^{-1}\right)={\frac {1}{{\rm {det}}A}}$

Praktische Bestimmung der inversen Matrix

• Gauß-Jordan-Algorithmus: siehe Lineare Gleichungssysteme

Orthogonale Matrizen

Eine $(n\times n)$-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:

• alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren: $\|z_{i}\|=1\ ;\quad 1\leq i\leq n$

und

• alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander: $z_{i}\cdot z_{j}=0\ ;\quad i\neq j$

$AA^{T}={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}&\cdots &z_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{1}^{2}&&z_{1}z_{2}&&\cdots &&z_{1}z_{n}\\z_{2}z_{1}&&z_{2}^{2}&&\cdots &&z_{2}z_{n}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots \\z_{n}z_{1}&&z_{n}z_{2}&&\cdots &&z_{n}^{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&&0&&\cdots &&0\\0&&1&&\cdots &&0\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots \\0&&0&&\cdots &&1\\\end{pmatrix}}=E$

Die orthogonale Matrix A ist regulär:

${\rm {det}}\left(AA^{T}\right)={\rm {det}}A\ {\rm {det}}A^{T}={\rm {det}}(A)^{2}={\rm {det}}E=1$

${\rm {det}}A=\pm 1$

Orthogonalitätsbedingung:

$AA^{T}=E=AA^{-1}$

$A^{-1}\;=\;A^{T}$

Nachtrag zu Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$ kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$

Nachtrag zu Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$ kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$

Übungen

Übung 1: Berechnen sie die Determinante der Matrix $A={\begin{pmatrix}x&x^{2}\\x-1&x^{3}-5\end{pmatrix}}$

Übung 2: Berechnen sie die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}5&9&-4&1\\-1&3&0&4\\0&1&0&1\\-5&1&-1&8\end{pmatrix}}$

Übung 3: Für welche $k\in \mathbb {R}$ ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}5&7&k+1\\1&k-1&3\\k&0&3\\\end{pmatrix}}$

regulär?

Übung 4: Berechnen sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zu

$A={\begin{pmatrix}2&3\\-1&9\end{pmatrix}}$

Übung 5: Ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}$

orthogonal?

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