Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme



Lineares GleichungssystemBearbeiten

Ein Gleichungssystem der Form

 


nennt man lineares Gleichungssystem, wobei   die Koeffizienten heißen und   die Unbekannten sind.


Man kann dies auch als

 


oder

 

anschreiben.


Gilt  , so nennt man das Gleichungssystem homogen  , andernfalls inhomogen  .

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix  


Beispiel:

 


Koeffizientenmatrix:

 


Erweiterte Koeffizientenmatrix:

 

Bestimmtheit eines linearen GleichungssystemsBearbeiten

  • m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
  • m=n: quadratisches Gleichungssystem
  • m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem


ZeilennormalformBearbeiten

Eine  -Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
  • Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
  • Ist   das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.


Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:

 


Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

  • Zeilenvertauschung
  • Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten  
  • Addition des k-fachen einer anderen Zeile.


Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.


Gauß-Jordan-AlgorithmusBearbeiten

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus


Nachtrag: Inverse MatrizenBearbeiten

Beispiel: Gegeben sei die Matrix  . Gesucht ist die inverse Matrix  


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 


Probe:  


LösbarkeitskriterienBearbeiten

Ein lineares Gleichungssystem   ist

  • nicht lösbar, wenn  
  • lösbar, wenn  


Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

  • genau eine Lösung, wenn  .
  • eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn  .


Daraus folgt auch:

  • Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
  • Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

Cramersche RegelBearbeiten

Wikipedia: Cramersche Regel


ÜbungenBearbeiten