Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem der Form

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$

nennt man lineares Gleichungssystem, wobei $a_{ij}\in \mathbb {R}$ die Koeffizienten heißen und $x_{j}$ die Unbekannten sind.

Man kann dies auch als

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

oder

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i},\quad i=1\;{\rm {bis}}\;m$

anschreiben.

Gilt $A\mathbf {x} =\mathbf {o}$ , so nennt man das Gleichungssystem homogen $(\mathbf {b} =\mathbf {o} )$ , andernfalls inhomogen $(\mathbf {b} \neq \mathbf {o} )$ .

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix $(A\ \vdots \ \mathbf {b} )$

Beispiel:

${\begin{matrix}5x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=6\\-3x_{1}+7x_{2}+8x_{n}=0\\4x_{1}+4x_{2}+4x_{n}=1\end{matrix}}$

Koeffizientenmatrix:

${\begin{pmatrix}5&-2&7\\-3&7&8\\4&4&4\end{pmatrix}}$

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

${\begin{pmatrix}5&-2&7&6\\-3&7&8&0\\4&4&4&1\end{pmatrix}}$

Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems

m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
m=n: quadratisches Gleichungssystem
m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem

Zeilennormalform

Eine $(m\times n)$ -Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
Ist $a_{ij}$ das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.

Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&5&0\\0&0&1&2&0\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

Zeilenvertauschung
Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten $k\neq 0$
Addition des k-fachen einer anderen Zeile.

Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus

Nachtrag: Inverse Matrizen

Beispiel: Gegeben sei die Matrix $A={\begin{pmatrix}1&3&0\\0&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$ . Gesucht ist die inverse Matrix $A^{-1}$

${\begin{pmatrix}1&3&0&\vdots &1&0&0\\0&2&1&\vdots &0&1&0\\1&1&1&\vdots &0&0&1\\\end{pmatrix}}$

$z_{3}:\ z_{3}-z_{1}$

${\begin{pmatrix}1&3&0&\vdots &1&0&0\\0&2&1&\vdots &0&1&0\\0&-2&1&\vdots &-1&0&1\\\end{pmatrix}}$

$z_{3}:\ z_{3}+z_{2}$

${\begin{pmatrix}1&3&0&\vdots &1&0&0\\0&2&1&\vdots &0&1&0\\0&0&2&\vdots &-1&1&1\\\end{pmatrix}}$

$z_{3}:\ z_{3}/2,\quad z_{2}:\ z_{2}/2$

${\begin{pmatrix}1&3&0&\vdots &1&0&0\\0&1&1/2&\vdots &0&1/2&0\\0&0&1&\vdots &-1/2&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$

$z_{2}:\ z_{2}-z_{3}/2$

${\begin{pmatrix}1&3&0&\vdots &1&0&0\\0&1&0&\vdots &1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&\vdots &-1/2&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$

$z_{1}:\ z_{1}-3z_{2}$

${\begin{pmatrix}1&0&0&\vdots &1/4&-3/4&3/4\\0&1&0&\vdots &1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&\vdots &-1/2&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow$

$A^{-1}={\begin{pmatrix}1/4&-3/4&3/4\\1/4&1/4&-1/4\\-1/2&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$

Probe: $AA^{-1}=E$

Lösbarkeitskriterien

Ein lineares Gleichungssystem $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ist

nicht lösbar, wenn ${\rm {Rg}}A<Rg(A,\mathbf {b} )$
lösbar, wenn ${\rm {Rg}}A=Rg(A,\mathbf {b} )$

Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

genau eine Lösung, wenn ${\rm {Rg}}A={\rm {Rg}}(A,\mathbf {b} )=n$ .
eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn ${\rm {Rg}}A={\rm {Rg}}(A,\mathbf {b} )=k$ .

Daraus folgt auch:

Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

Cramersche Regel

Wikipedia: Cramersche Regel

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