Ing Mathematik: Lineare Vektorfunktionen



Lineare VektorfunktionBearbeiten

Eine (Vektor)funktion   heißt linear, wenn es Zahlen   gibt, sodass   mit   gilt.

Eine (Vektor)funktion   Funktion ist genau dann linear, wenn   mit   gilt.


Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination

  dargestellt werden.

Somit ist

 .


Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt

 .


Und somit gilt weiter

 .


Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken

 .

A ist dabei eine quadratische Matrix.

EigenwerteBearbeiten

Gegeben sei die lineare Vekorfunktion  . Die Frage nach der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.

x ist dann parallel zu y, wenn   gilt.

 

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der  -Matrix  . Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen  , wenn  . Es muss also gelten

 

Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.

  heißt charakteristisches Polynom der Matrix A.

Die Wurzeln   der charakteristischen Gleichung nennt man die Eigenwerte der Matrix A.

Die Lösungen   des linearen Gleichungssystems   heißen Eigenvektoren der Matrix A.


Beispiel:  

 

 

 

 

eine mögliche Lösung:  


Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor   für den zweiten Eigenwert   des obigen Beispiels.

Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix   .


Reelle, symmetrische Matrix ABearbeiten

  • Ist die  -Matrix   symmetrisch   und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
  • Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal:  .
  • Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren  .
     


Übung: Gegeben ist die Matrix   . Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch (Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).

BewegungenBearbeiten

Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung

 


Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass   und  .


  •  : orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
  •  : orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
  •  : Translation
  •  : Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade


Orthogonale Transformationen in der EbeneBearbeiten

 

 


Wegen der Orthogonalität von A gilt:

 

 

 


Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:

 

 

 


Das bedeutet, daß die Matrix

 

eine Drehung der Ebene mit dem Winkel  um einen festen Punkt bewirkt.


Drehung des Koordinatensystems um den Winkel   bei fest gehaltenem Vektor:

 


Drehung des Vektors um den Winkel   bei fest gehaltenem Koordinatensystem:

 

Kurven zweiter OrdnungBearbeiten

Flächen zweiter OrdnungBearbeiten