Eine (Vektor)funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
x
n
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {x} _{n}}
∀
x
i
∈
R
n
{\displaystyle \forall \mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}}
Eine (Vektor)funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
λ
x
+
μ
y
)
=
λ
f
(
x
)
+
μ
f
(
y
)
{\displaystyle f(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\lambda f(\mathbf {x} )+\mu f(\mathbf {y} )}
λ
,
μ
∈
R
;
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ;\;\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
x
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
…
+
x
n
e
n
{\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n}}
Somit ist
y
=
f
(
x
)
=
x
1
f
(
e
1
)
+
x
2
f
(
e
2
)
+
…
+
x
n
f
(
e
n
)
{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=x_{1}f(\mathbf {e} _{1})+x_{2}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +x_{n}f(\mathbf {e} _{n})}
f
(
e
j
)
=
a
1
j
f
(
e
1
)
+
a
2
j
f
(
e
2
)
+
…
+
a
n
j
f
(
e
n
)
{\displaystyle f(\mathbf {e} _{j})=a_{1j}f(\mathbf {e} _{1})+a_{2j}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +a_{nj}f(\mathbf {e} _{n})}
y
=
(
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
)
e
1
+
…
+
(
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
…
+
a
n
n
x
n
)
e
n
{\displaystyle \mathbf {y} =\left(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\right)\mathbf {e} _{1}+\ldots +\left(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}\right)\mathbf {e} _{n}}
y
=
A
x
;
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} ;\quad A=(a_{ij})}
A ist dabei eine quadratische Matrix.
Gegeben sei die lineare Vektorfunktion
y
=
A
x
{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} }
x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.
x ist dann parallel zu y , wenn
y
=
λ
x
=
λ
E
x
;
λ
∈
R
{\displaystyle \mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} =\lambda E\mathbf {x} ;\ \lambda \in \mathbb {R} }
(
A
−
λ
E
)
x
=
0
{\displaystyle \left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0}
Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
A
−
λ
E
{\displaystyle A-\lambda E}
x
≠
o
{\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {o} }
r
g
(
A
−
λ
E
)
<
n
{\displaystyle {\rm {{rg}(A-\lambda E)<n}}}
P
(
λ
)
=
det
(
A
−
λ
E
)
=
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=0}
Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.
P
(
λ
)
=
det
(
A
−
λ
E
)
=
(
−
1
)
n
λ
n
+
b
n
−
1
λ
n
−
1
+
…
+
b
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=(-1)^{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +b_{0}}
A .
Die Wurzeln
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
A .
Die Lösungen
x
i
≠
o
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}\neq \mathbf {o} }
(
A
−
λ
E
)
x
=
0
{\displaystyle \left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0}
A .
A
=
(
2
0
4
3
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&0\\4&3\end{pmatrix}}}
P
(
λ
)
=
det
(
2
−
λ
0
4
3
−
λ
)
=
(
2
−
λ
)
(
3
−
λ
)
=
λ
2
−
5
λ
+
6
=
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}2-\lambda &0\\4&3-\lambda \end{pmatrix}}=(2-\lambda )(3-\lambda )=\lambda ^{2}-5\lambda +6=0}
λ
1
,
2
=
5
2
±
(
5
2
)
2
−
6
{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}-6}}}
λ
1
=
3
:
{\displaystyle \lambda _{1}=3:}
(
2
−
λ
1
0
4
3
−
λ
1
)
(
x
1
x
2
)
=
(
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2-\lambda _{1}&0\\4&3-\lambda _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}
eine mögliche Lösung:
x
(
1
)
=
(
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(1)}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor
x
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(2)}}
λ
2
=
2
{\displaystyle \lambda _{2}=2}
Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix
A
=
(
4
0
3
1
1
4
2
−
1
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&0&3\\1&1&4\\2&-1&0\end{pmatrix}}}
Ist die
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
(
A
=
A
T
)
{\displaystyle (A=A^{T})}
n Eigenwerte dieser Matrix reell.
Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal:
x
(
i
)
x
(
j
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{(i)}\mathbf {x} _{(j)}=0}
Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren
x
(
i
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(i)}}
T
−
1
A
T
=
T
T
A
T
=
(
λ
1
0
⋱
0
λ
n
)
{\displaystyle T^{-1}AT=T^{T}AT={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots \\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}
Übung : Gegeben ist die Matrix
A
=
(
1
0
3
0
2
−
1
3
−
1
3
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&2&-1\\3&-1&3\end{pmatrix}}}
Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung
x
′
=
A
x
+
t
{\displaystyle \mathbf {x} ^{'}=A\mathbf {x} +\mathbf {t} }
A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass
det
A
=
±
1
{\displaystyle \det A=\pm 1}
A
A
T
=
E
{\displaystyle AA^{T}\ =E}
det
A
=
1
{\displaystyle \det A=\ 1}
det
A
=
−
1
{\displaystyle \det A=\ -1}
A
=
E
{\displaystyle A\ =\ E}
det
A
=
1
∧
t
=
o
{\displaystyle \det A=1\ \wedge \ \mathbf {t} =\mathbf {o} }
x
1
′
=
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
t
1
{\displaystyle x_{1}'=\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+t_{1}}
x
2
′
=
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
t
2
{\displaystyle x_{2}'=\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+t_{2}}
A gilt:
a
11
2
+
a
21
2
=
1
{\displaystyle a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=1}
a
12
2
+
a
22
2
=
1
{\displaystyle a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=1}
a
11
a
12
+
a
21
a
22
=
0
{\displaystyle a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=\ 0}
cos
2
φ
+
sin
2
φ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1}
(
−
sin
φ
)
2
+
cos
2
φ
=
1
{\displaystyle (-\sin \varphi )^{2}+\cos ^{2}\varphi =1}
−
cos
φ
sin
φ
+
cos
φ
sin
φ
=
0
{\displaystyle -\cos \varphi \sin \varphi +\cos \varphi \sin \varphi =0}
A
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}}
eine Drehung der Ebene mit dem Winkel
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
{\displaystyle \varphi }
(
x
1
x
2
)
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
(
x
1
′
x
2
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}}
φ
{\displaystyle \varphi }
(
x
1
′
x
2
′
)
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
(
x
1
x
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}
Ebene Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) lassen sich durch
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
13
x
+
2
a
23
y
+
a
33
=
0
{\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}
beschreiben.
In Matrizenschreibweise:
x
T
A
x
+
2
a
T
x
+
a
33
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} +a_{33}=0}
mit
x
=
(
x
y
)
;
A
=
(
a
11
a
12
a
12
a
22
)
;
a
=
(
a
13
a
23
)
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};\;\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}};\;\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\end{pmatrix}}}
Übung: Zeigen Sie, dass
x
T
A
x
+
2
a
T
x
+
a
33
=
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
13
x
+
2
a
23
y
+
a
33
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} +a_{33}=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}}
Nicht ausgeartete Kegelschnitte:
Ausgeartete Kegelschnitte:
|
p
−
c
|
=
r
;
p
=
[
x
,
y
]
;
c
=
[
h
,
k
]
{\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {c} |=r;\;\mathbf {p} =[x,y];\;\mathbf {c} =[h,k]}
(
x
−
h
)
2
+
(
y
−
k
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}
Multipliziert man das aus, so erhalten wir eine Kurvengleichung 2. Ordnung
x
2
+
y
2
−
2
h
⏟
−
E
x
−
2
k
⏟
−
F
y
+
h
2
+
k
2
−
r
2
⏟
G
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-\underbrace {2h} _{-E}x-\underbrace {2k} _{-F}y+\underbrace {h^{2}+k^{2}-r^{2}} _{G}=0}
D.h. der Kreis ist ein Kegelschnitt.
Nun wollen wir das Ganze umdrehen, d.h. gegeben ist eine Kegelschnittgleichung. Wir wollen daraus die Kreisgleichung gewinnen. Dazu ergänzen wir quadratisch
x
2
+
E
x
+
E
2
4
⏟
(
x
+
E
2
)
2
+
y
2
+
F
x
+
F
2
4
⏟
(
y
+
F
2
)
2
=
E
2
4
+
F
2
4
−
G
⏟
r
2
{\displaystyle \underbrace {x^{2}+Ex+{\frac {E^{2}}{4}}} _{\left(x+{\frac {E}{2}}\right)^{2}}+\underbrace {y^{2}+Fx+{\frac {F^{2}}{4}}} _{\left(y+{\frac {F}{2}}\right)^{2}}=\underbrace {{\frac {E^{2}}{4}}+{\frac {F^{2}}{4}}-G} _{r^{2}}}
und schon haben wir die Kreisgleichung mit
h
=
−
E
2
{\displaystyle h=-{\frac {E}{2}}}
k
=
−
F
2
{\displaystyle k=-{\frac {F}{2}}}
Übung: Bestimme die Kreisgleichung zur gegebenen Kegelschnittgleichung
2
x
2
+
2
y
2
−
8
x
+
6
y
+
4
=
0
{\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}-8x+6y+4=0}
Zu beachten ist auch, dass
E
2
4
+
F
2
4
−
G
=
r
2
>
0
{\displaystyle {\frac {E^{2}}{4}}+{\frac {F^{2}}{4}}-G=r^{2}>0}
Eine Parameterdarstellung des Kreises erhalten wir mit
x
=
h
+
r
cos
t
;
y
=
k
+
r
sin
t
;
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x=h+r\cos t;\;y=k+r\sin t;\;t\in [0,2\pi ]}
Übung: Leiten Sie die Parameterdarstellung des Kreises her.
Mittelpunktgleichung der Ellipse
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Diese Gleichung lässt sich über die Brennpunktabstände herleiten. Wir wollen das hier nicht machen, sondern die Formel als gegeben hinnehmen.
Eine Parameterdarstellung lautet:
x
=
a
cos
t
;
y
=
b
sin
t
;
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x=a\cos t;\;y=b\sin t;\;t\in [0,2\pi ]}
Mittelpunktgleichung der Ellipse:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Eine Parameterdarstellung lautet:
x
=
±
a
cosh
t
;
y
=
b
sinh
t
;
t
∈
R
{\displaystyle x=\pm a\cosh t;\;y=b\sinh t;\;t\in \mathbb {R} }
Scheitelgleichung:
y
=
x
2
2
p
=
a
x
2
{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{2p}}=ax^{2}}
Eine Parameterdarstellung:
x
=
t
;
y
=
t
2
2
p
;
t
∈
R
{\displaystyle x=t;\;y={\frac {t^{2}}{2p}};\;t\in \mathbb {R} }
Wie bereits bekannt gilt
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
13
x
+
2
a
23
y
+
a
33
=
0
{\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}
δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
|
;
δ
1
=
|
a
11
a
12
a
12
a
22
|
{\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{vmatrix}};\;\delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}}
δ
≠
0
⇒
{
δ
1
<
0
⇒
Hyperbel
δ
1
=
0
⇒
Parabel
δ
1
>
0
{
a
11
δ
<
0
⇒
Ellipse
a
11
δ
>
0
⇒
leere Menge
{\displaystyle \delta \neq 0\Rightarrow {\begin{cases}\delta _{1}<0\Rightarrow {\text{Hyperbel}}\\\delta _{1}=0\Rightarrow {\text{Parabel}}\\\delta _{1}>0\;{\begin{cases}a_{11}\delta <0\Rightarrow {\text{Ellipse}}\\a_{11}\delta >0\Rightarrow {\text{leere Menge}}\\\end{cases}}\end{cases}}}
δ
=
0
⇒
{\displaystyle \delta =0\Rightarrow }
(Quellen: Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis; 2. Aufl., Springer, 2012, Seite 49f und [1] )
Siehe auch Kegelschnitt#Allgemeine_Kegelschnittgleichung Hauptachsentransformation
(1) Parabel, (2) Kreis und Ellipse, (3) Hyperbel
sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt
.svg)
![{\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {c} |=r;\;\mathbf {p} =[x,y];\;\mathbf {c} =[h,k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446a4efb07126aa3af32414c40d97d1bfbc0c90d)
![{\displaystyle x=h+r\cos t;\;y=k+r\sin t;\;t\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd12257fb007a8f002ff9527b7ec3dee94d3e334)
![{\displaystyle x=a\cos t;\;y=b\sin t;\;t\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083eb3510cde86614599dab2236afd3cb6fe80f9)
