Eine (Vektor)funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
x
n
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {x} _{n}}
∀
x
i
∈
R
n
{\displaystyle \forall \mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}}
Eine (Vektor)funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
λ
x
+
μ
y
)
=
λ
f
(
x
)
+
μ
f
(
y
)
{\displaystyle f(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\lambda f(\mathbf {x} )+\mu f(\mathbf {y} )}
λ
,
μ
∈
R
;
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ;\;\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
x
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
…
+
x
n
e
n
{\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n}}
Somit ist
y
=
f
(
x
)
=
x
1
f
(
e
1
)
+
x
2
f
(
e
2
)
+
…
+
x
n
f
(
e
n
)
{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=x_{1}f(\mathbf {e} _{1})+x_{2}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +x_{n}f(\mathbf {e} _{n})}
f
(
e
j
)
=
a
1
j
f
(
e
1
)
+
a
2
j
f
(
e
2
)
+
…
+
a
n
j
f
(
e
n
)
{\displaystyle f(\mathbf {e} _{j})=a_{1j}f(\mathbf {e} _{1})+a_{2j}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +a_{nj}f(\mathbf {e} _{n})}
y
=
(
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
)
e
1
+
…
+
(
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
…
+
a
n
n
x
n
)
e
n
{\displaystyle \mathbf {y} =\left(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\right)\mathbf {e} _{1}+\ldots +\left(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}\right)\mathbf {e} _{n}}
y
=
A
x
;
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} ;\quad A=(a_{ij})}
A ist dabei eine quadratische Matrix.
Gegeben sei die lineare Vektorfunktion
y
=
A
x
{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} }
x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.
x ist dann parallel zu y , wenn
y
=
λ
x
=
λ
E
x
;
λ
∈
R
{\displaystyle \mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} =\lambda E\mathbf {x} ;\ \lambda \in \mathbb {R} }
(
A
−
λ
E
)
x
=
0
{\displaystyle \left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0}
Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
A
−
λ
E
{\displaystyle A-\lambda E}
x
≠
o
{\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {o} }
r
g
(
A
−
λ
E
)
<
n
{\displaystyle {\rm {{rg}(A-\lambda E)<n}}}
P
(
λ
)
=
det
(
A
−
λ
E
)
=
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=0}
Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.
P
(
λ
)
=
det
(
A
−
λ
E
)
=
(
−
1
)
n
λ
n
+
b
n
−
1
λ
n
−
1
+
…
+
b
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=(-1)^{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +b_{0}}
A .
Die Wurzeln
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
A .
Die Lösungen
x
i
≠
o
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}\neq \mathbf {o} }
(
A
−
λ
E
)
x
=
0
{\displaystyle \left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0}
A .
A
=
(
2
0
4
3
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&0\\4&3\end{pmatrix}}}
P
(
λ
)
=
det
(
2
−
λ
0
4
3
−
λ
)
=
(
2
−
λ
)
(
3
−
λ
)
=
λ
2
−
5
λ
+
6
=
0
{\displaystyle P(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}2-\lambda &0\\4&3-\lambda \end{pmatrix}}=(2-\lambda )(3-\lambda )=\lambda ^{2}-5\lambda +6=0}
λ
1
,
2
=
5
2
±
(
5
2
)
2
−
6
{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}-6}}}
λ
1
=
3
:
{\displaystyle \lambda _{1}=3:}
(
2
−
λ
1
0
4
3
−
λ
1
)
(
x
1
x
2
)
=
(
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2-\lambda _{1}&0\\4&3-\lambda _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}
eine mögliche Lösung:
x
(
1
)
=
(
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(1)}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor
x
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(2)}}
λ
2
=
2
{\displaystyle \lambda _{2}=2}
Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix
A
=
(
4
0
3
1
1
4
2
−
1
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&0&3\\1&1&4\\2&-1&0\end{pmatrix}}}
Ist die
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
(
A
=
A
T
)
{\displaystyle (A=A^{T})}
n Eigenwerte dieser Matrix reell.
Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal:
x
(
i
)
x
(
j
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{(i)}\mathbf {x} _{(j)}=0}
Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren
x
(
i
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{(i)}}
T
−
1
A
T
=
T
T
A
T
=
(
λ
1
0
⋱
0
λ
n
)
{\displaystyle T^{-1}AT=T^{T}AT={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots \\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}
Übung : Gegeben ist die Matrix
A
=
(
1
0
3
0
2
−
1
3
−
1
3
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&2&-1\\3&-1&3\end{pmatrix}}}
Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung
x
′
=
A
x
+
t
{\displaystyle \mathbf {x} ^{'}=A\mathbf {x} +\mathbf {t} }
A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass
det
A
=
±
1
{\displaystyle \det A=\pm 1}
A
A
T
=
E
{\displaystyle AA^{T}\ =E}
det
A
=
1
{\displaystyle \det A=\ 1}
det
A
=
−
1
{\displaystyle \det A=\ -1}
A
=
E
{\displaystyle A\ =\ E}
det
A
=
1
∧
t
=
o
{\displaystyle \det A=1\ \wedge \ \mathbf {t} =\mathbf {o} }
x
1
′
=
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
t
1
{\displaystyle x_{1}'=\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+t_{1}}
x
2
′
=
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
t
2
{\displaystyle x_{2}'=\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+t_{2}}
A gilt:
a
11
2
+
a
21
2
=
1
{\displaystyle a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=1}
a
12
2
+
a
22
2
=
1
{\displaystyle a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=1}
a
11
a
12
+
a
21
a
22
=
0
{\displaystyle a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=\ 0}
cos
2
φ
+
sin
2
φ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1}
(
−
sin
φ
)
2
+
cos
2
φ
=
1
{\displaystyle (-\sin \varphi )^{2}+\cos ^{2}\varphi =1}
−
cos
φ
sin
φ
+
cos
φ
sin
φ
=
0
{\displaystyle -\cos \varphi \sin \varphi +\cos \varphi \sin \varphi =0}
A
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}}
eine Drehung der Ebene mit dem Winkel
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
{\displaystyle \varphi }
(
x
1
x
2
)
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
(
x
1
′
x
2
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}}
φ
{\displaystyle \varphi }
(
x
1
′
x
2
′
)
=
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
(
x
1
x
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}
