Ing Mathematik: Vektoren



Vektorraum Bearbeiten

Ein Vektorraum   sei die Menge aller geordneter n-Tupel von reellen Zahlen. Ein Element eines Vektorraumes heißt Vektor

 

mit den Koordinaten des Vektors

 


Vektoren weisen einen Zahlenwert (Betrag) und eine Richtung auf. Skalare haben nur einen Zahlenwert.

Freie Vektoren können beliebig im Raum verschoben werden. Ortsvektoren (gebundene Vektoren) sind ortsgebunden.


Addition von Vektoren Bearbeiten

 

 

 


 


Assoziativgesetz Bearbeiten

 


Kommutativgestz Bearbeiten

 

Nullvektor Bearbeiten

Der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition.

 

 


Differenzvektor Bearbeiten

  läßt sich stets umformen zu  .   sei in diesem Fall der Differenzvektor.


Beispiel Bearbeiten

Gegeben seien die Vektoren   und  . Gesucht sind   und  .


 


 


Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Bearbeiten

Geometrisch entspricht die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar der Streckung eines Vektors.

 


 

 


Assoziativgesetz Bearbeiten

 


Distributivgesetze Bearbeiten

 

 


Gegenvektor Bearbeiten

 

 


Parallelität Bearbeiten

Die zwei Vektoren a und b sind dann parallel, wenn gilt

 

 : gleichsinnig parallel

 : gegensinnig parallel


Beispiel Bearbeiten

Sind die Vektoren   und   zueinander parallel?


 

 .


Skalarprodukt Bearbeiten

Gegeben sind zwei Vektoren

 

 

Das Skalarprodukt ergibt sich zu

 

  • Das Skalarprodukt ordnet einem Paar von Vektoren eine reelle Zahl zu.
  • Das Skalarprodukt unterscheidet sich grundlegend von der Multiplikation reeller Zahlen oder der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.


Mittels Skalarprodukt lassen sich lineare Funktionen einfach anschreiben

 


Norm eines Vektors Bearbeiten

Die Norm (Länge) eines Vektors a ist gegeben durch

 

 


Vektoren mit der Länge Eins heißen Einheitsvektoren. Normiert man einen Vektor a, so bringt man ihn auf die Länge Eins

 


Das Skalarprodukt ist auch definiert durch

 

wobei   den Winkel zwischen den Vektoren a und b bezeichnet.


Kommutativgesetz Bearbeiten

 


Assoziativgesetz gilt nicht Bearbeiten

 


Distributivgesetz Bearbeiten

 


Chauchy-Schwarzsche Ungleichung Bearbeiten

 


Dreiecksungleichung Bearbeiten

 


Beispiel: Parallelogrammgleichung Bearbeiten

 

Es ist folgende Gleichung herzuleiten

 


Lösung:

 

 

 


und somit, wie zu zeigen war

 


Orthogonalität Bearbeiten

Zwei Vektoren a, b heißen orthogonal (= senkrecht), wenn   gilt.

Man schreibt dies auch als  .

Es gilt dann der Satz von Pythagoras

 


Orthogonalsystem Bearbeiten

Die Vektoren   bilden ein Orthogonalsystem, wenn

  1.  
  2.  

Gilt zusätzlich noch

 

dann bilden die Vektoren ein Orthonormalsystem.


Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Bearbeiten

Wikipedia: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren


Beispiel: Satz von Thales Bearbeiten

Es ist der Satz von Thales "Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises beträgt 90°" zu überprüfen.


Lösung:

 


 

 

 


 

 


Linearkombinationen Bearbeiten

Den Vektor

 

nennt man Linearkombination aus den Vektoren  .


Ist  , so nennt man die Vektoren  

  • linear abhängig, wenn  
  • linear unabhängig, wenn  


Natürliche Basis Bearbeiten

Die Einheitsvektoren (Basisvektoren)

 

nennt man natürliche Basis des  .

Für diese Basisvektoren gilt das sogenannte Kronecker-Delta

 


Für einen beliebigen Vektor   gilt

 


  nennt man die Komponenten des Vektors bezüglich der natürlichen Basis des  .


Richtungskosinus Bearbeiten

 

daraus folgt

 


Beispiel Bearbeiten

Gesucht ist der Winkel, den der Vektor   mit dem Basisvektor   einschließt.


Lösung:

 

 

 


Projektionen Bearbeiten

 


Unter Projektion ist hier die Orthogonalprojektion gemeint.


Skalare Projektion Bearbeiten

 


Daraus folgt die Gleichung für die skalare Projektion des Vektors a auf b

 


Vektorprojektion Bearbeiten

 

 


Daraus folgt

 


Beispiel Bearbeiten

Gegeben ist ein Vektor  . Gesucht ist der Winkel, den die Orthogonalprojektion des Vektors a auf die  -Ebene mit dem  -Basisvektor einschließt.


Lösung:

 

 

 

 

Dieses Zwischenergebnis hätte man natürlich auch direkt aus der Skizze ermitteln können, dann wäre aber der Witz dieses Beispiels verloren gegangen.


 

 


Vektorprodukt Bearbeiten

 

Das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren ist nur für den euklidischen Raum   definiert.

 


Die Vektoren   bilden ein Rechtssystem.


Regeln Bearbeiten

  • Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ:  
  • Orthogonalität:  
  • Parallelität:  
  • Lagrangesche Identität:  
  • Parallelogramm:   ist der Flächeninhalt des von den Vektoren   aufgespannten Parallelogrammes.   ist der von a und b eingeschlossene Winkel.
  • Distributivgesetz:  
  •  

Rechnungen Bearbeiten

 

 

 

   

 

 

Beispiel Bearbeiten

Gesucht ist ein normierter Normalenvektor auf die beiden Vektoren  .


Lösung:

 

 

 


Spatprodukt Bearbeiten

Das Spatprodukt der Vektoren   ist definiert als

 


Regeln Bearbeiten

  • Unabhängigkeit: Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig,wenn  
  • Rechtssystem:  
  • Linkssystem:  
  • Spatvolumen:  
  • Vertauschungssatz:  


Geraden Bearbeiten

Gerade durch Punkt und Richtung Bearbeiten

 


Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und ein Richtungsvektor c. Der Punkt X liegt auf der Geraden g ( ) wenn,

 

Obige Gleichung nennt man auch eine Parameterdarstellung (Parameter  ).


Gerade durch zwei Punkte Bearbeiten

 


Die Gerade sei durch die Punkte A und B gegeben (Ortsvektoren a,b). Der Punkt X liegt auf der Geraden g ( ) wenn,

 

Die Punkte A, B und X heißen kollinear, d.h. diese drei Punkte liegen auf der gleichen Geraden.


Ebenen Bearbeiten

Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungen Bearbeiten

 


Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und zwei Richtungsvektoren c,d. Der Punkt X liegt in der Ebene E ( ) wenn,

 

Die Ebene E wird also durch die zwei Geraden g und h aufgespannt.


Ebene durch drei Punkte Bearbeiten

 


Gegeben seinen drei Punkte A, B und C (Ortsvektoren a,b,c). Der Punkt X liegt in der der Ebene E ( ) wenn,

 


Die Ebene kann in diesem Fall auch über das Spatprodukt definiert werden:

 


Da die Punkte B, C und X in einer Ebene liegen, ist   und

 


Hessesche Normalform Bearbeiten

 


n sei ein Normalenvektor zur Ebene E. Es gilt  , und somit

 

Dividiert man diese Gleichung durch die Norm des Normalenvektors  , so erhält man die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform

 


In Koordinatenschreibweise Bearbeiten

Aus der Parameterdarstellung

 

erhält man in Koordinaten angeschrieben

 

Eliminiert man   aus diesen Gleichungen, so erhält man die sogenannte Abschnittsform der Ebenengleichung

 


Anwendungen: Punkte, Geraden und Ebenen Bearbeiten

Winkel zwischen Geraden Bearbeiten

 


Gegeben sind zwei Geraden im  

 

 


Den Winkel zwischen den beiden Geraden g und h kann man über das Skalarprodukt gewinnen

 


Normale: Abstand Punkt - Ebene Bearbeiten

 


Gegeben sei ein Punkt P und eine Ebene E. D sei der Durchstoßpunkt von n durch die Ebene E.


Der Abstand von Punkt P zu Ebene E ist  


Direkt aus der Abbildung oder auch mittels der Hesseschen Ebenengleichung ergibt sich

 

Weiters ist

 


Aus den beiden vorigen Gleichungen kann man nun   ermitteln

 

 

 


Und somit ist

 


Gerade als Schnitt zweier Ebenen Bearbeiten

 


Eine Gerade im Raum   kann man auch in der Form

 

darstellen. Natürlich dürfen die Ebenen hierbei nicht parallel liegen.


Beispiel: Gegeben sei eine Gerade   mit  . Gesucht sind die beiden Ebenen, welche g als Schnittgerade besitzen.


 

 

 


Daraus folgt

 


und schließlich ist

 

 


Beispiel: Gegeben seinen zwei Ebenen  . Gesucht ist die Schnittgerade in Parameterdarstellung.


Wir wählen z.B.:  

und berechnen sukzessive

 

 


Somit ist die Darstellung der Geraden in Parameterform

 


Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene Bearbeiten

Es gibt drei Möglichkeiten:

  • Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt
  • Die Gerade liegt parallel zur Ebene, aber nicht in der Ebene
  • Die Gerade liegt in der Ebene


Beispiel: Gegeben sei eine Gerade   und eine Ebene  . Der Durchstosspunkt der Gerade durch die Ebene soll berechnet werden.


Gerade g:

 

 


Ebene E:

 


Das sind drei Gleichungen für drei Unbekannte, aufgelöst

Durchstosspunkt  


Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Bearbeiten

 


 

Daraus kann man leicht den Winkel   ausrechnen.

Ähnlich funktioniert die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Ebenen. Dort verwendet man eben die Normalenvektoren der beiden Ebenen zur Winkelberechnung.

Übungen Bearbeiten